Конспект урока на тему "Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии "

Конспект  урока на тему:

«Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Класс - 9

Тип урока:          урок изучения нового материала

 Цели  урока:

   Образовательные:

    - выделить из множества числовых последовательностей арифметическую прогрессию;

    - дать чёткое определение арифметической прогрессии;

    - вывести формулу n-го члена прогрессии;

    - на примерах осуществить первичную отработку применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

   Воспитательные и развивающие:

    - развивать логическое  и аналитическое мышление;

    - память;

    - развитие и осмысление использования в речи математических терминов при ответах на вопросы.

Ход    урока

1.                             Организационный момент

Вступительное слово учителя  (нацеливание учащихся – мотивация).

Ребята, предыдущий  урок алгебры был посвящен теме «Последовательности». Из всех числовых последовательностей особо выделяют две. Их назвали прогрессиями.

2.                             Устная работа

1) Устные упражнения по теме « Последовательности»

 1.Что называется  числовой последовательностью?

 2.  Приведите примеры числовых последовательностей.

3. Последовательность задана формулой   α_n = 4n – 1.  Найдите:   α ₅,  α₁₀,   α_k .

4. с₁ = - 20,    с_n+1 = с_n + 10. Найдите :  с₂, с₃, с₄.

2) На доске:                

   1) 1,   2,   4,   7,   …        

   2) 2,   0,2,    0,02,     0,002…                                

   3) 1,     4,     9,      16 …            

   4)  2008,      2012,       2016,      2020     …            

   5)  – 1,    - 2,      - 3,      - 4,     …

   6)  5,    5,     5,         5, …..    

Ответьте на  вопросы:  

·                                 Какая закономерность наблюдается в каждой последовательности?  

·                                 Найдите 5-ый и 6-ой члены  каждой из числовых последовательностей.

·                                 А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общем признаком?              

3.                             Объяснение нового материала

Какие последовательности образованы с помощью одного и того же правила? (Учащиеся пытаются сформулировать определения самостоятельно)              

   Определение:

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Слово прогрессия в переводе с латинского означает    «движение вперед».

  Число, которое прибавляют к каждому члену прогрессии, чтобы найти последующий член называетсяразностью арифметической прогрессии                              

                                    d  =  a_n+1 – a_n

Найти разность арифметической прогрессии:       (устно)  

4;      6;       8;   …                                                  

-6;      -10;      -14; …                                              

8;        8;         8;         8; …                                                  

d может быть любым числом; если  d > 0, прогрессия возрастающая; если d < 0 – убывающая.

Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию достаточно задать:

1 способ:     2;     10;  (два члена её);            

 2 способ:     а₁ = 2;   d = 0,5;

Вспомним, как называется формула для нахождения любого члена числовой последовательность которого используется предыдущим члены (или члена)

-рекуррентная формула

Т. е. найти любой член арифметической прогрессии можно с помощью рекуррентной формулы

                            a_n+1 = a_n + d        

Найдите       4-е члена арифметической прогрессии: (a_n) a₁ = 2; d = 0,5

a₂ = 2 + 0,5 = 2,5

a₃ = 2,5 + 0,5 = 3

a₄ = 3 + 0,5 = 3,5

А что если нужно найти 31- й  или 101 –й член прогрессии?

Понятно, что выше использованный способ нахождения любого (в том числе с большим порядковым номером) члена арифметической прогрессии неудобен из-за значительных вычислений.

Попробуем вывести формулу n-ого члена прогрессии.

Рассмотрим арифметическую прогрессию (a_n), в которой a₁ -1-ый член , d - разность.

По определению арифметической прогрессии:

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d = a₁ + d + d = a₁ + 2d

a₄ = a₃ + d = a₁ + 2d + d = a₁ + 3d

a₅ = a₄ + d = a₁ + 3d + d = a₁ + 4d

 А нет ли какой-то связи между порядковым номером числа прогрессии и числа, стоящего перед d.     Есть: она на 1 меньше.

Тогда     a_n = a₁ + (n - 1)d

Это и есть формула n-ого  члена арифметической прогрессии.

4. Первичное закрепление

1) Последовательность (с_n) – арифметическая прогрессия. Найдите:

а) с₁₆, если с₁ = 20 и d = 3;                б) с₂₁, если с₁ = 5,8  и  d = - 1,5.

2) Найдите десятый и n-й члены арифметической прогрессии:

а)  -8;  -1;   ….;                                    б) 2,3;  1;  …. .

5. Решение задач по новой теме

     (У каждого ученика на парте лист с текстами задач)

     1) Дана арифметическая прогрессия   -7;   -2;   3;   а;   13.

                     Чему равно число а?

     2)  Арифметическая прогрессия задана формулой n-го  члена

                      а_n = 3(n – 8). Укажи её разность d.

   3)   Студенты должны выложить плиткой мостовую. В первый день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м²  уложат студенты в 15 день?

    4)  Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 6 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем  ряду 126 мест. Сколько мест в первом ряду?

6. Тест по теме  « Арифметическая прогрессия»

( проверка усвоения нового материала)

1. Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго, равен предыдущему

а)  сложенному с одним и тем же числом

б)  умноженному на одно и то же число

в) разделенному на одно и то же число

г) возведенному в квадрат

2. Что бы найти разность арифметической прогрессии, надо:

а) из первого члена  вычесть второй

б) второй член разделить на первый

в) первый член умножить на второй

г) из последующего члена вычесть предыдущий

3. Укажите формулу  n – го члена арифметической прогрессии:

а) a_n = a₁ ∙ d (n-1)                                       б) a_n = a₁+ d (n-1)

 в) a_n = a₁: d (n-1)                                        г) a_n = d + a₁ (n-1)

4. Какая из последовательностей чисел является арифметической прогрессией

а) 1; -1; 1; -1; 1; -1;…                                  б) -1; 3; 7; 11; 15; 19;…

в) -1;  -3;  -9;  -27; - 81; - 243…                  г) -1;  3; - 7;  11; - 15;  19;…

5.  Первый член арифметической прогрессии  а₁;  а₂;  4;  8;…     равен  

а) 1                       б) 12                      в) -4                      г) -1

6. Найдите разность арифметической прогрессии,  если а₃ = 4,     а₄ = 8

а) -4                     б) 0,5                      в) 6                        г) 4

7. Найдите четвертый член арифметической прогрессии,  если  а₁ = 10;   d = - 0,1

а) 97                     б) 9,7                     в) -97                     г) – 9,7

8. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый  равен 10. Найдите первый член этой прогрессии.

а) 1                       б) -1                       в) 2                        г) 0

     9. Найдите b_к  ,если (b_n ) арифметическая прогрессия   4;  b_к; 9 …

а) 5,5                   б) 7,5                      в) 8,5                     г) 6,5

Взаимопроверка по готовым ответам,  объявляют количество баллов. 

Проверка теста:

1 правильный ответ -1 балл.

1 - а,     2 - г,   3 - б,    4 - б,   5 - в,   6 - г,    7 - б,    8 - в,     9 – г.

7. Рефлексия. Постановка домашнего задания

      Что же сегодня мы узнали? – Посмотрите на таблицу, в ней отображено всё:

·                                 Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии      

 a_n+1 = a_n + d

·                                 Разность прогрессии                                              d = a_n+1 - a_n

·                                 Формула n-ого члена                                            a_n = a₁ + d(n - 1)                                                   

8. Домашнее задание:

         п. 25,      № 575 (б, г),  577 (а),   580,    599,    600(а).

Учитель оценивает учащихся, отвечающих у доски и активно с места.

Ученики записывают домашнее задание.