Конспект урока по геометрии на тему "Центральные и вписанные углы"

Задачи №6. Вписанные, центральные углы

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

 

Рассмотрим примеры, после чего для вас — тест по теме «Вписанные, центральные углы».

Задача 1.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности.

Решение: - спрятать

Окружность составляет , поэтому дуга АС, которая составляет  окружности, равняется . Поэтому вписанный угол АВС равен , так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры  дуги, на которую опирается.

Ответ:  

Задача 2.

Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен 

Решение: - спрятать

Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС — на дугуАВС).

Так как вписанный угол АВС, равный , опирается на дугу АС, то она равна . Значит дуга АВС равна . А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен .

Ответ:  

Задача 3.

Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке:

Решение: - спрятать

Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть .

Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, .

Ответ:  

Задача 4.

Найти величину угла D, изображенного на картинке:

Решение: - спрятать

1)  как вертикальные.

2) Из треугольника АВS: 

3) , так как углы опираются на одну дугу.

Ответ:  

Задача 5.

Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение:  - спрятать

Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда 

Так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, то составим уравнение: , откуда 

Ответ:  

Задача 6.

Найти градусную меру  угла ВАD:

Решение: - спрятать

, следовательно  как дуга вписанного угла. Аналогично, , следовательно . Тогда  . А так как    (AD — диаметр), то . А значит, .

Ответ:  

Задача 7.

Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно  и .

Решение: + показать

Задача 8.

Найдите величину угла АВС.

Решение: - спрятать

 — центральный для  вписанного угла . Угол же АОС равен  (например, потому, что для треугольника АОС    выполняется теорема Пифагора (, ) ). Тогда .

Ответ:  

Задача 9.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Решение: - спрятать

Так как хорда АС равна  радиусу окружности, то треугольник АОС — равносторонний. А значит, . Тогда дуга АВС составляет .  Откуда следует, что дуга АС равна . Стало быть, вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АС, равен 

Ответ:  

Задача 10.

Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:

Решение: - спрятать

Правильный восьмиугольник делит дугу окружности своими вершинами на восемь одинаковых частей, а значит на каждую такую часть приходится .  опирается на дугу , составленную из трех дуг по  ( то есть  дуга  равна ), поэтому равен .

Ответ:  

Задача 11.

Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке:

Решение: - спрятать

Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется разделить результат на 2, — получим градусную меру угла АВС.

Итак, опустим из точки С перпендикуляр СТ к прямой АО. Получили прямоугольный треугольник СТО. Гипотенуза в нем — радиус окружности, то есть 4 (смотрим по клеточкам), катет СТ  равен 2. Стало быть  , так как напротив него лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть центральный угол АОС равен 

Поэтому искомый угол АВС равен .

Ответ:  . 

Задача 12.

Четырёхуголь­ник  впи­сан в окруж­ность. Угол  равен 106°, угол  равен 64°. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение:

Вписанный угол  равен половине дуги , на которую опирается.

Заметим при этом , аналогично 

Тогда 

Ответ: 42.