Конспект занятия на тему: "Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Однородные уравнения."

Специальности 08.02.08 «Монтаж и эксплуатация оборудования и систем

газоснабжения », 54.02.01 «Дизайн (по отраслям)», 07.02.01 «Архитектура».

Группа

Курс 1

Дата:

Технологическая карта учебного занятия

Занятие № 31  по дисциплине «Математика»

Количество часов __2__

Тема занятия: Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Однородные уравнения.

Тип занятия: Изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности.

Вид занятия: лекция с элементами семинара.

Цели:

1.      Образовательные – обеспечить  повторение  и  систематизацию  материала  темы.  Научить  при  решении  уравнений  применять  основные тригонометрические формулы.  Создать  условия  контроля  усвоения  знаний  и  умений.

2.     Развивающие – способствовать  формированию  умений  применять  приемы:  сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса  знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи,  внимания  и  памяти.

3.     Воспитательные – содействовать воспитанию  интереса  к  математике  и  ее  приложениям,  активности,  мобильности,  умения  общаться,  общей  культуры.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.

Ход занятия:

1.      Организационный момент (Запись темы занятия в журнале. Подготовка рабочего места. Создание проблемных ситуаций) (1-5 мин).

2.      Проверка знаний обучающихся. Подведение итогов проверки ( ____ мин).

3.      Сообщение темы занятия, постановка цели и задач занятия ( ____ мин).

4.      Изложение нового материала, применяемая методика ( ____ мин).

При решении тригонометрических уравнений остаются в силе общие правила решения алгебраических уравнений. Если при этом использованы неравносильные преобразования уравнений, то на конечном этапе решения необходимо проверить: принадлежат ли найденные значения неизвестного к корням данного уравнения или нет.

Каждое конкретное уравнение может быть решено различными способами, что при безошибочности выполняемых действий приведет к одному и тому же окончательному результату. Однако следует иметь в виду, что из-за различия методов решения результат может быть получен в разных формах (приводимых друг к другу тождественными преобразованиями).

Тождественные преобразования с помощью тригонометрических формул в процессе решения позволяют, как правило, свести данное уравнение к одному из нескольких основных типов, решаемых стандартными  (наиболее часто встречающимися) методами.

Решить уравнение.

Решение. Перенесем слагаемые в одну часть уравнения и по формуле разности синусов имеем

.

Из последнего равенства получается совокупность двух уравнений

, ,

имеющая, соответственно, решения       ,

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример . Решить уравнение: 2 cos²x + 3 sin x = 0.
Решение:

т. к. cos²x = 1 - sin²x,

2(1 - sin²x) - 3 sin x = 0,

2 sin²x - 3 sin x - 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)^k arcsin(-1/2)+πk

x = (-1)^k+1π/6 +πk, k Є Z.

Решение однородных уравнений

Однородными называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 - первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:  

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

Ответ: 

1.Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

2.Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

3.Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

4.Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

 

5.      Закрепление изученного материала ( ____ мин.).

Стр.303 № 11.12(1 столбик), 11.13(1 столбик), 11.15(г, е, м),11.26(а,в).,11.27(а,в)

Выберите среди данных уравнений однородное уравнение первой степени и решите его:

1.                             сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.

cos x – 3sin x = 0

 Ответ: arctg + πn, nZ

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1.    8 cos²x – 6 cos x – 5 = 0.

2.    sin²x + sinx = 0.
3.    sinx – cosx = 0.

4.    sinx + cosx = .     

Дополнительно:   

Решите однородное уравнение.      

6.      Подведение итогов ( ____ мин).

7.      Задание для самостоятельной работы обучающихся во внеаудиторное время.

В а р и а н т 1.	В а р и а н т 2.
1)  Разложение  на  множители.
2)  Уравнения  сводимые  к  алгебраическим.
3)  Введение  новой  переменной.

8.      Литература, необходимая для подготовки к занятию.

Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 10класс. М., 2014.

9.      Задания для обучающихся на дом.

§11 п.11.3, 11.4

 I уровень: Стр.303 № 11.13(б, е), 11.15(б, г).

II уровень  № 11.26(д),11.27(д)