Контрольно-измерительные материалы ПО МАТЕМАТИКЕ (По ППКРС: 35. 01. 15 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сх производстве» 35. 01. 13 " Тракторист

Контрольно-измерительные материалы ПО МАТЕМАТИКЕ (По ППКРС: 35. 01. 15 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сх производстве» 35. 01. 13 " Тракторист – машинист сх производства")

Скачать материал

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Сахалинский техникум механизации сельского хозяйства»

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР

А.В. Алешина

___________________

«_____»______2017 г.

Контрольно-измерительные материалы

учебной дисциплины

Математика

По ППКРС:

35. 01. 15 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельскохозяйственном производстве»

35. 01. 13 Тракторист – машинист сельскохозяйственного производства

Южно-Сахалинск

2017

Разработчик: Зайцева Алла Валерьевна , преподаватель математики

Комплект КИМ рассмотрен на заседании ПЦК « название ПЦК»:

Протокол № ____от «_____» ______________ 2017 г.

Председатель ПЦК _______________________________________________________

«_____» ________ 2017 г. ____________________

(Топоровская Г.В.)

Содержание

Паспорт комплекта измерительных материалов
Общие положения
Критерии оценивания
Общие компетенции
Текущий контроль
Литература

Паспорт комплекта измерительных материалов

Общие положения

Контрольно-измерительные материалы (КИМ) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины МАТЕМАТИКА.

Пакет КИМ включает контрольные материалы для проведения текущего контроля.

КИМ разработаны на основании ФГОС по профессиям :

35.01.13« Тракторист – машинист сельскохозяйственного производства»

35.01.15« Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельскохозяйственном производстве»

Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке

У1

Умение решать задачи математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии

выполнение арифметических действий над числами (целыми, действительными и рациональными; отрицательными и положительными);
нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютная и относительная);
сравнение числовых выражений;
нахождение значений корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства;
выполнение преобразований выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
вычисление значений функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;
построение графиков изученных функций, иллюстрация по графику свойств элементарных функций;
нахождение производных элементарных функций;
использование производной для изучения свойств функций и построения графиков;
применение производной для проведения приближенных вычислений, решения задач прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;
вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;
решение рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений, сводящихся к линейным и квадратным, а также аналогичных неравенств и систем;
распознание на чертежах и моделях пространственных форм;
соотношение трехмерных объектов с их описанием, изображением;
описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, аргументация своих суждений об этом расположении;
анализ в простейших случаях взаимного расположения объектов в пространстве;
изображение основных многогранников и круглых тел;
выполнение чертежей по условиям задач;
построение простейших сечений куба, призмы, пирамиды;
решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;
проведение доказательных рассуждений в ходе решения задач

У2

Умение применять различные методы для решения уравнений, неравенств и их систем

использование графического метода решения уравнений и неравенств;
изображение на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;
определение свойств функции по её графику
составление и решение уравнений и неравенств, связывающих неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

У3

Умение решать вероятностные и статистические задачи

решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов

По завершении освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

З1

Знание основных методов математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, элементарной теории вероятностей

Выполняет практические расчеты по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства
Интерпретирует графики реальных процессов;
Исследует и проводит построение правильных многогранников на основе изученных формул и свойств геометрических фигур
Называет последовательность действий при решении систем уравнений разложением на множители, введением новых неизвестных, подстановкой, графическим методом.
Формулирует определения и перечисляет свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов
Формулирует правила дифференцирования и называет производные основных элементарных функций
Называет табличные интегралы
Формулирует классическое определение вероятности
Знает последовательность действий при выполнении арифметических действий над числами.

Находит приблизительные значения величин
Исследует функции и строит графики
Преобразует графики функций
Использует формулы для преобразования простейших тригонометрических выражений и решения тригонометрических уравнений и неравенств
Преобразует выражения, содержащие степень с рациональным показателем, радикалы.
Преобразует логарифмические выражения
Решает иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Находит производные функций, используя формулы дифференцирования
Пользуется геометрическими преобразованиями пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости при изображении пространственных фигур.
Находит поверхности, вычисляет объемы многогранников и круглых тел.

З2

Знание математических моделей простейших систем и процессов в различных областях человеческой деятельности

пользуется формулами вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
описание и исследование с помощью функций реальных зависимостей, представление их графически
пользуется аппаратом математического анализа при решении геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения;
анализ реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
анализ информации статистического характера
Формулировка геометрического и механического смысла производной
Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного точкой
Описание процессов в естествознании и технике с помощью дифференциальных уравнений

Общие положения

Результатом освоения учебной дисциплины является:

Формирование представлений о математике как универсальном языке науки
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Критерии оценивания учебных достижений обучающегося

Общие критерии и нормы достижений обучающихся(норма критерии оценок)

Оценка устных ответов учащихся по математике

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен ном программой и учебником,
изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при от работке умений и навыков;
отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основ ном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;
допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;
допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);
имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, вы кладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

не раскрыто основное содержание учебного материала;
обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;
допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Отметка «1» ставится, если:

ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала или не смог ответить ни на один из по ставленных вопросов по изучаемому материалу.

Оценка письменных контрольных работ учащихся

по математике

Отметка «5» ставится, если:

работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

обязательными умениями по данной теме в полной мере

Отметка «1» ставится, если:

работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Общие компетенции

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение,
эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности

Текущий контроль

1 курс

Развитие понятия о числе

Проверочная контрольная работа по алгебре

Вариант 1

Решить уравнение: 2х²+ 3х – 5 = 0.
Решить систему уравнений: 3х – у = 3,

3х – 2 у = 0.

Решить неравенство: 6х – 5(2х + 8)14 + 2х.
Найти 15% от числа 80.
Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

(1,2 ) (3 ).

Вариант 2

Решить уравнение: 5х²- 7х + 2 = 0.
Решить систему уравнений: 2х + у = 1,

5х + 2 у = 0.

Решить неравенство: 5 + х 3х - 3(4х + 5).
Найти 45% от числа 90.
Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

(1,6 ) (4 10²).

Вариант 3

Решить уравнение: 3х²- 5х - 2 = 0.
Решить систему уравнений: х + 5у = 7,

3х + 2 у = -5.

Решить неравенство: 3(3х - 1)2(5х - 7).
Найти 40% от числа 120.
Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

Вариант 4

Решить уравнение: 2х²- 7х + 3 = 0.
Решить систему уравнений: 2х - 3у = 1,

3х + у = 7.

Решить неравенство: 5(х + 4)2(4х - 5).
Найти 30% от числа 240.
Выполните действие, и результат запишите в виде десятичной дроби:

ОТВЕТЫ к проверочной работе ВВОДНЫЙ КОНТРОЛЬ

-2,5; 1

(2;3)

х<-9

3,6∙10^-4=

0,00036

0,4; 1

(-2;5)

х>-2

40,5

6,4∙10^-3=

0,0064

; 2

(-3;2)

х<11

6∙10^-11=

0,00000000006

0,5; 3

(2;1)

х<10

0,8∙10^-2=

0,008

Самостоятельная работа № 1

Действительные и комплексные числа

ВАРИАНТ 1

Дайте определение действительных чисел.
Дайте определение абсолютной погрешности приближённого числа.
Вычислить:

При взвешивании купленного риса получилось 3,5 кг, причём известно, что предельная абсолютная погрешность равна 14 г. Определить предельную относительную погрешность и границы истинного значения (А) массы купленного риса.
Найти значение выражения если

Действительные и комплексные числа

ВАРИАНТ 2

Дайте определение комплексных чисел.
Дайте определение относительной погрешности приближённого числа.
При взвешивании купленного винограда получилось 6,6 кг, причём известно, что предельная абсолютная погрешность равна 33 г. Определить предельную относительную погрешность и границы истинного значения (А) массы купленного винограда.
Вычислить:

Найти значение выражения если

ОТВЕТЫ к самостоятельной работе «Действительные и комплексные числа»

задания

Вариант 1

Вариант 2

Совокупность всех рациональных и всех иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Числа вида z=a+bi , где а и b – действительные числа и i²=-1 называются комплексными числами.

Величина =, где А – точное значение числа; а – его приближённое значение, называется абсолютной величиной погрешности числа а.

Относительной погрешностью числа называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближённого значения.

А=3,5 кг=3500г; 14 г;

Истинное значение массы А=3500 г (14 г)

или А=3500 г

А=6,6 кг=6600г; 33 г;

Истинное значение массы А=6600 г (33 г)

или А=6600 г

= = =

Контрольная работа №1

«Развитие понятия о числе»

1 ВАРИАНТ

Запишите число в стандартном виде:

а)730000000; б)0,0000025;

в)0,24 *10^-3; г)75,2*10⁴.

Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:

а) б)

Вычислите:

Найдите сопряжённое число комплексному числу:

z= 4 + 5i.

Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

а) 0,(42); б) 0,(513).

Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби:

а) 0,0(27); б) 0,0(01).

7. Даны числа z₁= - 1 +3 i, z₂= 4 + 5i. Вычислите:

а) модули чисел z₁и z₂;

б) сумму чисел z₁и z₂;

в) разность чисел z₁и z₂;

г) произведение чисел z₁и z₂.

8. Найдите значение дроби:

2 ВАРИАНТ

Запишите число в стандартном виде:

а) 37000000; б)0,00000052;

в) 0,42*10^-4; г)52,7*10⁵.

Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:

а) б)

3. Вычислите:

4. Найдите сопряжённое число комплексному числу:

z= 4 -7i.

5. Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

а) 0,(72); б) 0,(918).

6. Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби:

а) 0,3(6); б) 0,11(6).

7. Даны числа z₁= - 3 +5i, z₂= 4 -7i. Вычислите:

а) модули чисел z₁и z₂ ;

б) сумму чисел z₁и z₂;

в) разность чисел z₁и z₂;

г) произведение чисел z₁и z₂.

8. Найдите значение дроби:

Ответы к контрольной работе по теме «Развитие понятия о числе»

Вариант 1

Вариант 2

а) 7,3*10⁸; б) 2,5*10^-6; в) 2,4*10^-4; г) 7,52*10⁵.

а) 3,7*10⁷; б) 5,2*10^-7; в) 4,2*10^-5; г) 5,27*10⁶.

а) 0,8(6); б) 0,(315). а) 0,(27); б) 0,(285).

- 2 - 2

а) ; б) а) ; б)

а) ; б) . а) ; б) .

а) б) 3 + 8i; в) -5 – 2i; г) -20 + 7i.

а) б) 1 - 2i; в) -7 + 12i; г) 23 – i .

16,2 -147,6

Корни и степени

Самостоятельная работа №2

«Свойства степеней»

1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) ; б) ; в) ;

2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения

а) ; б) ; в)

а) ; б) ; в) ;

3.Вычислите:

а) ; б) в) ; г) ;

Контрольная работа №2

«Свойства корней и степеней»

Вариант II

Обязательный уровень (с выбором ответа)

А1. Вычислить:

1) 81; 2) 9; 3) 3;

А1. Вычислить:

1) 1; 2) 2; 3) 20;

А2. Вычислить: -2

1) -8; 2) 4; 3) -4;

А2. Вычислить

1) 100; 2) 10; 3) 1;

А3. Вычислить:

1) 50; 2) 25; 3) 5;

А3. Вычислить: -6

1) - 24; 2) – 12; 3) 12;

А4. Решить уравнение: х⁶=64

1) 2; 2) -4; 4 3) -2; 2

А4. Решить уравнение: х⁵=32

1) -2; 2) 2; 3) -2; 2

Обязательный уровень (указать ответ)

А5. Вычислить:

Ответ:

А5. Вычислить:

Ответ:

А6. Преобразовать выражение:

Ответ:

А6. Преобразовать выражение:

Ответ:

Задания с развернутым решением

В1. Найти значение выражения:

Ответ:

В1. Найти значение выражения:

Ответ:

Прямые и плоскости в пространстве

Зачет по теории

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………
Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ……………….., перпендикулярна и самой наклонной.
Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..
Все линейные углы……………….угла равны друг другу.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.
…………………прямоугольного параллелепипеда равны.
Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:
а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.
Какое из следующих утверждений неверно:
а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?
Перечислите основные фигуры в пространстве.
Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на прямой?
Перечислите способы задания плоскости.
Прямые a и b пересекаются в точке M, прямая cпересекает одновременно a и b. Сделайте рисунок.
Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Как расположены прямые AC и BD?
Могут ли точки A, B, C из предыдущего задания лежать на одной прямой?
Точки A, B, C соединены попарно отрезками. Как расположены эти отрезки?
Верно ли, что если две точки окружности принадлежат плоскости, то и вся окружность принадлежит плоскости?

Контрольная работа №3 по теме

«Прямые и плоскости в пространстве»

Вариант 1

1. Плоскость  пересекает стороны AB и BC треугольника ABC

соответственно в точках D и E, причем AC||. Найдите AC, если BD:AD=3:2 и DE=9 см.

2. Ребро куба равно 8 см. Найдите:

а) диагональ куба;

б) площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.

3. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. К плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр ОК. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ=ВС=20 см., АС=24 см., ОК=12 см.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD дано: АВ=ВС=см., ВD=12 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА;

б) угол между прямой ВDи плоскостью ABC.

Вариант 2

1. Плоскость  пересекает стороны AB и BC треугольника ABC

соответственно в точках D и E, причем AC||. Найдите AC, если BD:AD=4:3 и DE=12 см.

2. Ребро куба равно 6 см. Найдите:

а) диагональ куба;

б) площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD дано: АВ=ВС=см., ВD=16 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА;

б) угол между прямой ВDи плоскостью ABC.

Вариант 3

1. Плоскость  пересекает стороны AB и BC треугольника ABC

соответственно в точках D и E, причем AC||. Найдите AC, если BD:AD=5:4 и DE=10 см.

2. Ребро куба равно 12 см. Найдите:

а) диагональ куба;

б) площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD дано: АВ=ВС=см., ВD=20 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА;

б) угол между прямой ВDи плоскостью ABC.

Вариант 4

1. Плоскость  пересекает стороны AB и BC треугольника ABC

соответственно в точках D и E, причем AC||. Найдите AC, если BD:AD=6:5 и DE=18 см.

2. Ребро куба равно 10 см. Найдите:

а) диагональ куба;

б) площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD дано: АВ=ВС=см., ВD=24 см. Найдите: а) расстояние между прямыми ВD и АА;

б) угол между прямой ВDи плоскостью ABC.

ОТВЕТЫ

задания

1 вариант

15 см

см,

см

3 см,

60°

2 вариант

21 см

см,

см

4 см,

60°

3 вариант

18 см

см,

см

5 см,

60°

4 вариант

33 см

см,

см

6 см,

60°

Координаты и векторы

Зачет по теории

Карточка №1

Расскажите, как задаётся прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора.
Запишите формулы выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Вычислите угол между векторами ВD и CB.

Карточка №2

1.Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.

2. Запишите формулы выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.

3. Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А(1;1;0), В (3;-1; 0), С(4; -1;2), D (0;1;0)

Карточка №3

Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение.
Запишите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
Даны точки А(0;4;0), В (2;0;0), С(4;0;4), D(2;4;4). Докажите, что АВСD - ромб.

Карточка №4

1.Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов.

2. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Даны координаты трёх вершин параллелограмма АВСD : А(-6;-4; 0), В(6; -6;2), С(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами АС и ВD.

Карточка №5

1.Дать определение движения пространства. Приведите примеры движения.

2. Запишите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

3. Даны векторы а 1;2;-1 b -3; 1; 4 c 3; 4 ;-2 d 2 ;-1; 3 . вычислите скалярное произведение ( a + 2b) ( c-d).

Карточка №6

Назвать виды движения.
Как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.
Вычислите косинус угла между прямыми АВ и СD если: А (7; -8;15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5) D(-1; 0; 4)

Контрольная работа № 4

по теме «Векторы»

Вариант 1

1. Найдите координаты вектора , если А (5; –1; 3), В (2; –2; 4).

2. Даны векторы (3; 1; –2) и (1; 4; –3). Найдите .

3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку А (1; –2; –4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если , , = 2, = 3, = 60°, , .
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AD₁ и BM, где M – середина ребра DD₁.
При движении прямая отображается на прямую b₁, а плоскость β – на плоскость β₁ и b || β₁.

Вариант 2

Найдите координаты вектора , если С (6; 3; – 2), D (2; 4; – 5).
. Даны вектора (5; – 1; 2) и (3; 2; – 4). Найдите .
Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку В (– 2; – 3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если , , = 3, = 2, = 60°, , .
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AC и DC₁.
При движении прямая a отображается на прямую a₁, плоскость α – на плоскость α₁, и . Докажите, что .

Комбинаторика

Самостоятельная работа № 3 по теме «Элементы комбинаторики»

Вариант № 1.

Что такое событие? Какие виды событий вы знаете?
Найдите, сколько информации несёт сообщение, что ученик получил по одному из предметов 3(всего предметов 16)?
Вероятность поражения цели первым стрелком 0,3, а вторым 0,45. Какова вероятность того, что оба стрелка, стреляя независимо друг от друга, попадут в цель?
Для ремонта использовали белую, синюю и коричневую краски. Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски. Сообщение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок коричневой краски израсходовали на ремонт?

Вариант № 2.

Как мы оцениваем, сколько информации несёт то или иное событие? С помощью, каких формул происходит вычисление?
Какова вероятность, что из набора содержащего яблоко, грушу, лимон, апельсин, банан, вы возьмете:а) лимон б) грушу в) фрукт д) огурец
Вероятность поражения цели первым стрелком 0,7, а вторым 0,35. Какова вероятность того, что хотя бы один попадет в цель?
Учащимся дали список из 18 книг. Сколькими способами их можно расставить на полке? Выбрать из них 5 штук?

Контрольная работа № 5

по теме: «Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики»

Вариант № 1.

В 9 «А» классе 25 человек, в 9 «Б»-20, а в 9 «В»-18. На пришкольный участок надо выделить 12 из 9 «А», 9 из 9 «Б» и 5 человека из 9 «В». Сколько способов выбора существует?
Найти число возможных перестановок букв в слове «астрономия».
Мишень имеет форму квадрата, в который вписан круг. По мишени наудачу производится 4 независимых выстрела. Какова вероятность получения ровно 3 попаданий в круг?
На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.
В урне 3 шара: черный, красный и белый. Из урны шары извлекались по одному 5 раз, причем после каждого извлечения шар возвращался обратно. Найдите вероятность того, что черный и белый шары извлечены не менее чем по 2 раза каждый.

6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий.

1.Одно из выбранных чисел – единица.

2. Оба числа четны.

7. Алфавит состоит из шести букв А, Б, В, Г, Д, Е и четырех цифр 0, 1, 2, 3. Вычислите вероятности следующих событий.

1. Случайным образом составленное трехбуквенное слово содержит 2 согласных буквы и одну цифру.

2. Случайным образом составленное трехбуквенное слово оказалось четным числом.

Вариант № 2.

Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на второй этаж, а четверых, из оставшихся, на третий. Сколькими способами это можно сделать?
Найти число возможных перестановок букв в слове «астронавтика».
Игральная кость брошена 6 раз. Найдите вероятность того, что на верхней грани 3 раза появится четное число, 2 раза – число 5 и один раз появится 1 или 3.
Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится по крайней мере одному.
Найдите наиболее вероятное

число выпадения шестерки при 46 бросаниях игральной кости.

6. Алфавит состоит из шести букв А, Б, В, Г, Д, Е и четырех цифр 0, 1, 2, 3. Вычислите вероятности следующих событий.

1.В случайным образом составленном шестибуквенном слове чередуются буквы и цифры?

2.В пятибуквенном слове четыре буквы и цифра 1, причем буквы идут в алфавитном порядке.

7. Из 16 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий.

1. Ни одно из чисел не делится на 3.

2. Разность между большим и меньшим из выбранных чисел равна 5.

Многогранники

Зачет по теории

Вариант 1.

Задание 1. Изобразите треугольную пирамиду. Дайте определение пирамиды. Что называется высотой пирамиды? Основанием? Боковой гранью? Какая пирамида называется правильной? Что такое апофема? Как вычислить площадь боковой поверхности пирамиды? Как вычислить площадь полной поверхности пирамиды?

Задание 2. Ответьте на вопросы:

Верно ли, что все грани прямой призмы - прямоугольники?
Призма – это многогранник или многоугольник?
Что лежит в основании правильной треугольной призмы?
Что вы можете сказать о боковых рёбрах призмы?
Когда высота призмы равна её боковому ребру?
Верно ли, что если две боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости основания, то призма является прямой?
Какими геометрическими фигурами являются боковые грани прямой призмы?
Сколько диагоналей у четырёхугольной призмы?
Может ли сечение куба делить его на две правильные призмы?
Тетраэдр является разновидностью призмы или пирамиды?
Какие элементы правильной 4-угольной призмы нужно знать, чтобы вычислить площадь её боковой поверхности?
Назовите две пары параллельных граней прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁если ее основание – трапеция АВСD с боковыми сторонами АВ и СD.
Сколько градусов составляет угол между боковым ребром и основанием прямой призмы?
В треугольной пирамиде DАВС назовите высоту, если боковые грани DАВ и DВС перпендикулярны к основанию АВС.
В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ проведено сечение, параллельное ребрам АВ и СС₁. Определите вид многоугольника, полученного в сечении.
Верно ли, что если призма правильная, то все ребра ее основания равны?
В пирамиде DАВС ребра DА, DВ и DС равны. Определите вид треугольника АВС, если основание высоты пирамиды лежит вне треугольника АВС.
Плоскость, пересекающая правильный тетраэдр DАВС, параллельна ребрам DА и ВС. Определите вид многоугольника, полученного в сечении.

Вариант 2.

Задание 1. Изобразите треугольную призму. Дайте определение призмы. Что называется высотой призмы? Основанием? Боковой гранью? Какая призма называется прямой? Какая призма называется правильной? Как вычислить площадь боковой поверхности призмы? Как вычислить площадь полной поверхности призмы?

Задание 2. Ответьте на вопросы:

Верно ли, что все грани наклонной призмы - параллелограммы?
Куб является разновидностью призмы или пирамиды?
Какой будет призма, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям?
Пирамида – это многогранник или многоугольник?
Что лежит в основании правильной четырёхугольной призмы?
Какими геометрическими фигурами являются боковые грани пирамиды?
Сколько диагоналей у треугольной призмы?
Верно ли, что если две смежные боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости основания, то призма является прямой?
Что вы можете сказать об основаниях призмы?
Можно ли найти площадь боковой поверхности правильной 5-угольной призмы, зная только сторону её основания и высоту?
Когда боковое ребро призмы больше её высоты?
Может ли сечение куба делить его на две прямых треугольных призмы?
Назовите две пары параллельных граней прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁если ее основание – трапеция АВСD с боковыми сторонами АD и ВС.
В треугольной пирамиде DАВС назовите высоту, если боковые грани DАС и DВС перпендикулярны к основанию АВС.
В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ проведено сечение, параллельное ребрам ВС и АА₁. Определите вид многоугольника, полученного в сечении.
Верно ли, что если все ребра основания прямой призмы равны, то она является правильной?
В пирамиде DАВС ребра DА, DВ и DС равны. Определите вид треугольника АВС, если основание высоты пирамиды лежит на отрезке АС.
Плоскость, пересекающая правильный тетраэдр DАВС, параллельна ребрам СD и АВ. Определите вид многоугольника, полученного в сечении.

Контрольная работа №6 по теме «Многогранники»

Вариант №1.

Высота правильной призмы АВСДА₁В₁С₁Д₁ равна 10 см. Сторона её основания – 12 см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую АВ и середину ребра СС₁.
Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Радиус окружности, описанной около её основания, - 4. Вычислите:
1. Длину бокового ребра пирамиды
2. Площадь боковой поверхности
Основание пирамиды МАВСД – квадрат, сторона которого равна 12 см. Боковое ребро МД перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Угол между плоскостями основания и грани МАВ равен 30⁰. Вычислите:
1. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АС
2. Площадь полной поверхности пирамиды.

Вариант №2.

1. 1. Высота правильной пирамиды КМРК₁М₁Р₁ равна 15 см. Сторона её основания - 8см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую РР₁ и середину ребра КМ.
  2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, сторона её основании – 8 см. Вычислите:

Длину бокового ребра пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды

1. 1. Ребро МА пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости её основания. АВ=ВС=18 см, ВАС=90⁰. Угол между плоскостями основания и грани МВС равен 45⁰. Вычислите:

Расстояние от вершины пирамиды до прямой ВС
Площадь полной поверхности пирамиды.

Тела и поверхности вращения

Зачет по теории

Зачёт по теме «Тела вращения» № 1

1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?

2. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найди площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от неё.

3. Лежит ли точка А(5; - 1; 4) на сфере, заданной уравнением?

4. Площадь осевого сечения цилиндра дм², а площадь основания равна 64 дм². Найди высоту цилиндра.

5. Расскажи о взаимном расположении сферы и плоскости.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 2

1. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?

2. Радиус большего основания, образующая и высота усечённого конуса равны 7см, 5 см и 4 см соответственно. Найди площадь осевого сечения и боковой поверхности конуса.

3. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и см лежать на сфере радиуса см?

4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найди радиус основания цилиндра.

5. Какой вид имеет уравнение сферы?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 3

1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?

2. Радиус шара равен 17 см. Найди площадь сечения шара, удалённого от его центра на 15 см.

3. Найди координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением .

4. Отрезок СД равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найди расстояние от отрезка СД до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.

5. Запиши формулу полной поверхности цилиндра.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 4

1. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?

2. Радиус сферы равен 15 см. Найди длину окружности сечения, удалённого от центра сферы на 12 см.

3. Найти координаты центра и радиус сферы .

4. Высота конуса равна см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найди площадь основания конуса.

5. Запиши формулу боковой поверхности конуса.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 5

1. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

2. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найди расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

3. Напиши уравнение сферы радиуса 7 см с центром в точке А(2; 0; - 1).

4. Отрезок ДЕ – хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 9 см;

КО – высота конуса, причём КО = см. Найди расстояние от точки О (центр основания конуса) до плоскости, проходящей через точки Д, Е и К.

Запиши формулу полной поверхности конуса.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 6

1. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны 1 дм и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найди площадь осевого сечения и полной поверхности конуса.

3. Найди площадь сферы, радиус которой равен см.

4. Радиус основания конуса равен см. Найди наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.

5. Запиши уравнение сферы.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 7

1. Объясни, какое тело называется усечённым конусом.

2. Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45° к радиусу. Найди площадь сечения шара этой плоскостью.

3. Найди координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением .

4. Вычисли площадь круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

5. В каком случае сфера называется вписанной в многогранник?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 8

1. Что представляет собой сечение сферы?

2. Вычисли полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения ΔАВС вокруг его стороны АС, если АС = 8 см, ВС = 5 см.

3. Вычисли радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 см.

4. Найди площадь сферы, радиус которой равен 6 см.

5. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая тока отрезка АВ?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 9

1. Объясни, какое тело называется цилиндром.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3см и 6 см, а высота равна 4 см. Найди площадь осевого сечения и боковой поверхности конуса.

3. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и см лежать на сфере радиуса см?

4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 12 см². Найди площадь основания цилиндра.

5. Сформулируй свойство касательной плоскости к сфере.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 10

1. Что представляет собой осевое сечение цилиндра?

2. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 40 см и перпендикулярна к образующей конуса, равной 30 см. Найди площадь сечения и полной поверхности конуса.

3. Шар радиуса 41 см пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найди площадь сечения.

4. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найди образующую конуса.

5. Сформулируй признак касательной плоскости к сфере.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 11

1. Объясни, какое тело называется конусом.

2. Вычисли полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения ΔАВС вокруг его стороны АВ, если АВ = 4 см, ВС = 3 см.

3. Найти координаты центра и радиус сферы .

4. Площадь осевого сечения цилиндра равна м² , а площадь основания 5 м². Найди высоту цилиндра.

5. Что называют наибольшим размером грани?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 12

1. Объясни, какое тело называется шаром.

2. Высота конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найди площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

3. Напиши уравнение сферы с центром в точке О( -2; 2; 0), проходящей через точку А(5; 0; - 1).

4. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найди площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

5. Какой многогранник называется описанным около сферы?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 13

1. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса?

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найди площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Лежит ли точка А(- 2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением?

4. Радиус основания цилиндра 3 см, высота 8 см. Найди диагональ осевого сечения.

5. Запиши формулу боковой поверхности усечённого конуса.

Зачёт по теме «Тела вращения» № 14

1. Что представляет собой сечение сферы?

3. Вычисли радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 см.

4. Найди площадь сферы, радиус которой равен 6 см.

5. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая тока отрезка АВ?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 15

1. Объясни, какая поверхность называется сферой и какое тело называется шаром.

2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 90°. Найди площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 3 см.

3. Напиши уравнение сферы радиуса 4 см с центром в точке А(- 2; 1; 0).

4. Радиус основания конуса равен 3 см, а высота 4 см. Найди образующую и площадь осевого сечения.

5. Какая пирамида называется вписанной в конус?

Зачёт по теме «Тела вращения» № 16

1. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

2. Радиус основания конуса равен 3 см, а высота 4 м. Найди образующую и площадь осевого сечения.

3. Найти координаты центра и радиус сферы.

4. Стороны треугольника МКН касаются шара. Найди радиус шара, если МК = 9 см, МН = 13 см, КН = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости МНК равно см.

5. Какая плоскость называется касательной к сфере?

Контрольная работа №7 по теме «Тела и поверхности вращения»

Вариант №1.

1) Осевое сечение цилиндра – квадрат. Площадь основания цилиндра равна. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2) Высота конуса равна 6см. Угол при вершине осевого сечения равен .

а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен .

б) Найти площадь боковой поверхности конуса.

3) Диаметр шара равен 2р. Через конец диаметра проведена плоскость под углом к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Вариант №2.

1) Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2) Радиус основания конуса равен 6см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом .

а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен .

б) Найти площадь боковой поверхности конуса.

3) Диаметр шара равен 4р. Через конец диаметра проведена плоскость под углом к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Измерения в геометрии

Самостоятельная работа № 4 по теме «Формулы объема»

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=3, a=4, h=5.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=4, a=6, h=3.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=6, a=3, h=4.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=3, a=6, h=2.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=4, a=8, h=4.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=6, a=2, h=9.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=3, a=8, h=6.

Ответ: ___________________

Ф. И. __________________________________

1. V– объем цилиндра, r - радиус основания, h – высота. Заполните таблицу.

2. Дана правильная n-угольная призма, сторона основания которой равна а, высота призмы – h. Найти объем призмы, если n=4, a=5, h=8.

Ответ: ___________________

Контрольная работа №8 по теме «Измерения в геометрии»

I вариант

1. В цилиндр вписан шар. Найдите, во сколько раз объем цилиндра больше объема шара?

2. Вычислите объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 13, диагональ основания равна 5, а одна из сторон основания равна 3.

3. Вычислите объем и площадь поверхности конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг с радиусом, равным 2.

II вариант

1. В шар, радиус которого равен 4, вписан цилиндр. Высота цилиндра равна радиусу шара. Найдите, во сколько раз объем шара больше объема цилиндра?

2. У прямоугольного параллелепипеда в основании квадрат со стороной 5. Диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом 60. Найдите площадь поверхности и объем параллелепипеда.

3. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 2. Найдите объем и площадь поверхности конуса.

Основы тригонометрии

Самостоятельная работа№5 по теме :«Основы тригонометрии»

Вариант 1

1. Известно, что . Сравните с нулем значение выражения: а); б); в); г).

2. Зная, что - угол третьей четверти, упростите выражение: а); б); в); г).

3. Укажите соответствующий знак синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

148⁰

221⁰

510⁰

-56⁰

-347⁰

Вариант 2.

1. Известно, что . Сравните с нулем значение выражения: а); б); в); г).

2. Зная, что - угол третьей четверти, упростите выражение: а); б); в); г).

3. Укажите соответствующий знак синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

125⁰

216⁰

500⁰

-46⁰

-187⁰

Вариант 3.

1. Известно, что . Сравните с нулем значение выражения: а); б); в); г).

2. Зная, что - угол второй четверти, упростите выражение: а); б); в); г).

3. Укажите соответствующий знак синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

118⁰

274⁰

510⁰

-56⁰

-347⁰

Самостоятельная работа № 6 по теме: «Тригонометрические выражения»

В – 1

1. Найдите значение выражения:

а) ;

б) sin 315⁰ * cos 225⁰+ctg 210⁰ *tg 300⁰

2. Вычислите:

а) ;

б)

3. Упростите выражения:

а)2

б) ; в)

В - 2

1. Найдите значение выражения:

а) ;

б) cos 210⁰ * sin 300⁰+ctg 45⁰ *tg 225⁰

2. Вычислите:

а) ;

б)

3. Упростите выражения:

а) 2

б) ; в)

2 курс

Основы тригонометрии

Самостоятельная работа №1

Вариант 1

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол +2k, где k
Вычислите: .
Известно, что . Вычислите: .
Решите уравнение: .
Докажите тождество: .
Вычислите:
Упростите выражение: а)

б)

Вариант 2

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол +2k, где k
Вычислите:
Известно, что . Вычислите: .
Решите уравнение: .
Докажите тождество: .
Вычислите:
Упростите выражение: а) .

б)

Вариант 3

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол - +2k, где k
Вычислите: а) ; б) в) г)
Известно, что Вычислите: .
Решите уравнение: а) б)
Докажите тождество
Вычислите:
Упростите выражение: а)

б)

Самостоятельная работа №2 по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнение, сделав подстановку.

а) 2 sin²x – 5 sin x – 3 = 0

б) 2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0

в) 2 tg x + 2 ctg x = 5

Решите уравнение методом разложения на множители:

а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0

б) sin 7x – sin x = 0

Решите уравнение, используя однородность:

а) sin x - cos x = 0

б) sin²x – 3 sin x * cos x + 2 cos²x = 0

вариант 2

Решить уравнение, сделав подстановку.

а) 2 sin²x – 5 sin x + 2 = 0

б) 2 cos²x + 5 sin x - 4 = 0

в) 3 tg x - 3 ctg x = 8

2. Решите уравнение методом разложения на множители:

а) 7 cos x - 4 sin 2x = 0

б) cos 5x + cos x = 0

3. Решите уравнение, используя однородность:

а) sin x - cos x = 0

б) 3 sin²x + 4 sin x * cos x + cos²x = 0

Контрольная работа №1 по теме: «Основы тригонометрии»

Часть 1. Задания с выбором ответа.

А1. Упростите выражение 5соs²α-7+5sin²α

1) 1+ соs²α 2)2 3)-2 4)12

А2. Упростите выражение cosx+tgxsinx

1)1 2)2 cosx 3) cosx+sinx

A3. Упростите выражение -tg²α

1)ctg²α 2)0 3) ctg²α- tg²α 4)2tg²α

A5. Найдите значение выражения 2- tg²α если sinx=0,2

1)1,2 2) 1,96 3)1,04 4)1,6

А6. Решите уравнение sin2x=-1

1)-+πк, кZ 2)-π+4πк, кZ 3) -+, кZ 4) πк, кZ

А7. Решите уравнение sinx-=0

1) +2πк, кZ 2)(-1)^к+πк , кZ 3)+πк , кZ 4)±+2πк , кZ

А8. Решите уравнение cos2x=0,5

1) ±+πк , кZ 2) ±+2πк , кZ 3) ±+πк , кZ 4) ±+2πк , кZ

Часть 2. Задания с кратким ответом

B1. Найдите значение выражения 2sin870^o+cos570^o-60^o

В2. Найдите область значений функции y=-2sin5x

Часть 3. Задания с развернутым ответом.

С1. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения (x-)-3cos(7π-x)sin(x+)=2

C3. Укажите промежутки возрастания функции y=2sin(x + ) - 2.

Функции, их свойства и графики

Самостоятельная работа №3 на тему: Свойства функций

Вариант 1

А1. Найдите нули функции:

А2. По графику функции у= f(x), изображенному на рисунке определите:

а) промежутки возрастания и убывания данной функции;

б) ее наибольшее значение;

в) нули функции.

В1. Найдите область определения функции .

Вариант 2

А1. Найдите нули функции:

А2. По графику функции у= f(x), изображенному на рисунке определите:

а) промежутки возрастания и убывания данной функции;

б) ее наименьшее значение;

в) нули функции.

В1. Найдите область определения функции .

Контрольная работа №2 «Функции, их свойства и графики»

1 вариант.

Найдите область определения функции:

А) ;

Б)

Найдите область значений функции:

А) ;

Б) .

Исследуйте функцию на чётность:

А) ;

Б)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2 вариант.

1. Найдите область определения функции:

А)

Б)

Найдите область значений функции:

А) ;

Б) .

Исследуйте функцию на чётность:

А) ; Б)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Начала математического анализа

Самостоятельная работа №4 на тему «Производные»

Вариант 1.

Найдите производную

1. f’ (х) = (х + 2); 2. f’ (х) =; 3. f’ (х) = + – х² – 3х; 4. f’ (х) = (х - 1) (х + 2).

5. f(x) = sin(2x² – 3x + 1); 6. f(x) = cos³(2x – 1); 7. f(x) = .

Вариант 2.

Найдите производную

1. f’ (х) = (х + 1); 2. f’ (х) =; 3. f’ (х) = + х³– – 2х; 4. f’ (х) = (х + 3) (х - 2).

5. f(x) = cos(3x² – 4x + 2); 6. f(x) = sin³(2 - 3x); 7. f(x) = .

Самостоятельная работа №5 «Геометрический и физический смысл производных»

I вариант

1. Вычислите производные функций и найдите значение производной в точке x = 1:

y = x⁵ + 3x³ – 12x² + – 18; y = ; y = sin 2x; y = ; y = e^–^x^+ 1  ln 2x.

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = cos 2x в точке с абсциссой x = .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x² – 4, параллельной прямой y = x – 4.

II вариант

1. Вычислите производные функций и найдите значение производной при x = –1:

y = 3x⁴ – x³ – 3 ∙ + 5x + 9; y = 6 – ; y = cos 3x; y = ; y = e^2 –^x  ln (–2x).

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = sin 0,5x в точке с абсциссой x = .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x² + 2, параллельной прямой y = 2x.

Контрольная работа №3 «Первообразные и исследование графиков»

I вариант

1. Проверьте, является ли функция y = –0,2 cos 5x + – 5x – 7 первообразной функции y = sin 5x – .

2. Вычислите первообразную функции y = (2x – 1)⁴ – x³ – 3x + 1, график которой проходит через точку с координатами (1; 0).

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4 – x², y = 3x, y = 0.

4. Исследовать(при помощи производных) и построить график функции

1) ; 2) ;

II вариант

1. Проверьте, является ли функция y = 3x² + 2 ln x – 4 sin 0,5x – 5 первообразной функции y = 6x + – 2 cos 0,5x?

2. Найдите первообразную функции y = (2 + 3x)⁴ – 4x² + 3x – 2, график которой проходит через точку с координатами (–1; 0).

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4x – x², y = x, y = 0.

4. Исследовать(при помощи производных) и построить графики функции

1) ;

УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА.

Самостоятельная работа №6 «Иррациональные уравнения и неравенства»

Проверочная работа