Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›КОС Математика 2 курс

КОС Математика 2 курс

Скачать материал

Некоммерческое партнёрство

«Техникум экономики и предпринимательства»

Утверждаю

Директор ТЭП Никольская Н.Н.

______________________

подпись

«___»___________20___ г.

Комплект оценочных средств

для проведения итоговой аттестации

в рамках основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО

080110 Банковское дело

Тамбов, 2013

Разработчики:

Техникум экономики и предпринимательства г. Тамбов,

преподаватель II категории Удалова Т.В.

___________________ _________________ _____________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

Эксперты от работодателя[1]:

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

I. Паспорт комплекта оценочных средств

1. Область применения комплекта оценочных средств

Комплект оценочных средств предназначен для оценки результатов освоения учебной дисциплины «Элементы высшей математики»

Таблица 1[2]

Результаты освоения[3]

(объекты оценивания)

Основные показатели оценки результата и их критерии[4]

Тип задания;

№ задания[5]

Форма аттестации

(в соответствии с учебным планом)

Уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности

-Применение пределов в экономике (Вычисление сложных процентов);

- Обоснование приложения геометрического смысла одностороннего предела;

- Обоснование приложения геометрического и механического смысла производной;

- Описание процессов в естествознании и технике с помощью дифференцирования;

-Использование производной в экономике (Нахождение эластичности и ее применение в экономическом анализе);

- Обоснование приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного точкой;

- Владение приемами построения и исследования математических моделей при решении прикладных задач и задач из смежных областей;

Билеты к экзамену

Экзамен

Знать основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, основы интегрального и дифференциального исчисления

-Правильное истолкование понятия функции, выбор способа задания функции;

-Систематизация графиков функций;

-Определение свойств функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность, точек экстремума, выпуклости функции;

-Грамотность формулировок предел функции в бесконечности и в точке;

-Распознание формул (Основные теоремы о пределах. Пределы элементарных функций);

-Условия применения методов вычисления пределов;

-Определения бесконечно-малых и бесконечно больших величин;

-Систематизация формул: замечательные пределы, односторонние пределы;

- Классификация точек разрыва;

- Формулировка правил дифференцирования и перечисление производных основных элементарных функций;

- Перечисление табличных интегралов;

- Формулировка классического определения вероятности

-Формулировка свойств возрастания и убывания функций по теореме Лагранжа;

-Классификация и формулировка свойств об экстремумах функций;

-Формулировка необходимого и достаточного условия экстремума по теореме Ферма;

-Определение второй производной и ее геометрическая интерпретация (Выпуклость графика функции. Точки перегиба);

- Формулировка условий существования асимптот;

- Перечисление табличных интегралов;

-Понятие и применение неопределенного интеграла ;

-Перечисление основных свойств неопределенного интеграла;

-Аргументированность выбора методов интегрирования;

-Правильность символики и определение построения определенного интеграла;

-Нахождение площадей по формуле Ньютона – Лейбница;

-Выполнение действий над матрицами

- Вычисление определителей

- Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

- Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

- Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

-Перечисление последовательности действий при решении систем линейных уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса

- Формулировка определений и перечисление свойств скалярного, векторного и смешанного произведения векторов

- Классификация точек разрыва

- Формулировка правил дифференцирования и перечисление производных основных элементарных функций

- Перечисление табличных интегралов

Билеты к экзамену

Экзамен

2. Комплект оценочных средств[6]

2.1. ЗАДАНИЕ (теоретическое) № 1.

Текст задания

1. Матрицы. Действия над матрицами.

2. Определители. Свойства определителей.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Система координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости

6. Основные теоремы о пределах

7. Пределы элементарных функций

8. Замечательные пределы

9. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

10. Основные правила дифференцирования.

11. Теорема Лагранжа. Возрастание и убывание функции

12. Теорема Ферма. Экстремум функции.

13. Условие существования для точек перегиба

14. Общая схема исследования функции.

15. Неопределенный интеграл.

16. Основные свойства неопределенного интеграла.

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

18. Методы интегрирования.

19. Вычисление площадей криволинейных фигур.

20. Математические модели задач линейного программирования.

Эталон ответов

1. Матрицы. Действия над матрицами.

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

(1)

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i =; j = ). Числа a_{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_i
j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_i
j.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

Если все элементы a_{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Действия над матрицами.

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a_{i j}).

2. Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_i
j) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

3.Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_j
k), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c_{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c_{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +... + a_i
m b_{m k} = a_{i s} b_{s k}. (2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

4. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Аm×n = (аij) на число к называется матрица Вm×n= (bij) такая, что bij = к* аij.

5. Элементарные преобразования:

- Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

- Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

- Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

2. Определители. Свойства определителей.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (1)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (2)

где индексы q₁,q₂,...,q_nсоставляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (2) равен (- 1)^q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (1), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_i
j = b_j + c_j (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А, называемое ее определителем, следующим образом:

1. n = 1. А = (а11); det А = а11.

2. n = 2. det А = а11*а22 – а12*а21.

3. n = 3. det А = (а11*а22*а33 + а12*а23*а31+ а21*а32*а13) – (а31*а22*а13 + а21*а12*а33 + а32*а23*а11)

Минором M_{i j} элемента a_i
j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_i
j определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1)^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_i
n A_{i n} (i = )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_n_j A_n_j (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид ,

где (), – числа. называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднороным.

В этом параграфе мы будем рассматривать систему линейных уравнений с неизвестными, т.е. систему вида

(1)

Обозначим через и следующие матрицы:

и .

Матрицу называют основной матрицей системы (1), а матрицу – расширенной матрицей системы (1).

Пусть – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов, т.е.

и .

Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения . Его называют матричной формой системы (1).

Упорядоченный набор чисел называется решением системы (1) если он обращает в тождество каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решение, называется неопределенной.

Критерии совместности и определенности системы дают следующие две теоремы

ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

ТЕОРЕМА (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е.

4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Методы решения систем линейных уравнений

1) Матричный метод.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице называется матрица, обозначаемая , такая, что .

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1) Если матрица имеет обратную, то и – квадратные одного порядка.

Действительно, чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры и . Тогда матрица будет иметь размер , а матрица – размер . Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, т.е. .

2) Если обратная матрица существует, то она единственная.

Действительно, если предположить, что существует две матрицы и обладающие свойством

и ,

то будет существовать и произведение , причем

и .

Следовательно, .

3) Если матрица имеет обратную, то определитель матрицы отличен от нуля.

Действительно, так как и для любых квадратных матриц и , то

и, следовательно, и .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

Условие невырожденности матрицы оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным. Т.е. справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть – квадратная матрица порядка . Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Причем обратная матрица может быть найдена по формуле:

где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.

Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы .

Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений и число неизвестных совпадает и . Тогда:

1) и, следовательно, такая система имеет единственное решение.

2) Матрица имеет обратную матрицу .

Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы . Запишем систему в матричной форме:

(2)

Умножим обе части равенства (2) на слева. Получим:

. (3)

Таким образом, если в системе линейных уравнений и , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (3). Нахождение решения по формуле (3) называют матричным методом решения системы.

2) Метод Крамера.

Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений и число неизвестных совпадают и матрица системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам

(), (4)

где , а – определитель, получаемый из определителя заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

Формулы (4) называются формулами Крамера.

5. Система координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости

Основные приложения метода координат на плоскости

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты и каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

Мы уже рассматривали декартову систему координат при изучении векторов.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч . Положение точки плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием (полярный радиус) от полюса и углом (полярный угол), образованным отрезком с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки). Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (и ), а полярный радиус . В этом случае каждой паре точек плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и обратно.

Прямоугольные координаты точки выражаются через полярные координаты: .

Полярные координаты точки выражаются через ее декартовы координаты: .

Определяя величину , следует установить (по знакам и ) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Расстояние между двумя точками

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точками и . Числа , могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или .

Возьмем все числа положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку – вертикальную. Пусть – точка их пересечения.

Тогда по теореме Пифагора ,

откуда .

Расстояние между двумя точками и плоскости равно длине вектора :

Замечание. Формула остается в силе независимо от того, как расположены точки и , если одна из точек имеет отрицательные координаты, так как величина положительна, даже если величина отрицательна.

Пример. Определить расстояние между точками и

Решение. .

Деление отрезка в данном отношении

Пусть на прямой задан отрезок (– начало отрезка, – его конец); тогда всякая третья точка этой прямой делит отрезок в некотором отношении , где . Если точка лежит между точками и , то значение положительно; если точка лежит на прямой вне отрезка , то – отрицательно. Если точки и лежат на оси , то координата тоски делящей отрезок между точками ) и ) в отношении , определяется по формуле .
При получается формула для координаты середины отрезка .

Координаты точки (), делящей отрезок между точками ( и ( в заданном отношении , определяются по формулам:

; .

При получается формулы для вычисления координат середины отрезка:

; .

Площадь треугольника

Площадь треугольника с вершинами , и определяется по формуле:

итак, , где .

6. Основные теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

êx_n - a ê < e. (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n ® a.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d“.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности,

7. Пределы элементарных функций

Самые используемые свойства пределов.

, где k – коэффициент.
, если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

Таблица пределов функций

Методы вычисления пределов

1. Прямая подстановка: . Это - наиболее общий прием, который всегда используется первым: (х²-х+1)=4²-4+1=13.

2. Упрощение функций. Если при прямой подстановке получается неопределенное выражение типов: , и некоторых других, то выделение общего множителя или приведение к замечательным пределам приводят к нужному результату:

В последнем примере учтено, что, если х0, то, очевидно, и 5х0

8. Замечательные пределы

Определение. Первым замечательным пределом называется предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$

Теорема. Первый замечательный предел равен

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела $\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}$ и $\lim\limits_{x\to0-}\dfrac{\sin x}{x}$ и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда двусторонний предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равняться 1.

Итак, пусть $x\in(0;\frac{\pi}{2})$ (этот интервал -- одно из окончаний базы $x\to0+$ ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( $\vert OU\vert=1$ ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис. Тригонометрический круг

Пусть $S_{\triangle OUV}$ -- площадь треугольника , $S_{сек.OUV}$ -- площадь кругового сектора , а $S_{\triangle OUW}$ -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

$\displaystyle S_{\triangle OUV}<S_{сек.OUV}<S_{\triangle OUW}.$

Заметим, что горизонтальная координата точки равна $\vert OT\vert=\cos x$ , а вертикальная -- $h=\sin x$ (это высота треугольника ), так что $S_{\triangle OUV}=\frac{1}{2}\vert OU\vert h=\dfrac{\sin x}{2}$ . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна $\frac{1}{2}R^2x$ , так что $S_{сек.OUV}=\frac{1}{2}x$ . Из треугольника находим, что $\vert WU\vert=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Поэтому ${S_{\triangle OUW}=\frac{1}{2}\vert OU\vert\vert WU\vert=\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.}$ Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

$\displaystyle \frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.$

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

$\displaystyle \frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}=\frac{\cos x}{\sin x},$

или (умножив на $\sin x$ ) так:

$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при $x\to0+$ предел $\cos x$ в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части $\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что $\cos x\xrightarrow {x\to0+}1$ . Сперва заметим, что ${0<\sin x=h<\vert UV\vert<x}$ , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды $\vert UV\vert$ . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

$\displaystyle 0<\sin x<x$

при $x\to0+$ , получаем, что

$\displaystyle \sin x\xrightarrow {x\to0+}0.$

(2.3)

Простая замена переменной $t=\dfrac{x}{2}$ показывает, что и $\sin\frac{x}{2}\xrightarrow {x\to0+}0$ . Теперь заметим, что $\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$ . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x= \lim_{x\to0+}(1-2\sin^2\frac{x}{2})= 1-\lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}\cdot \lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}=1-0\cdot0=1.$

(2.4)

Тем самым показано, что

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}=1.$

Сделаем теперь замену ; при этом база $x\to0+$ перейдёт в базу $t\to0-$ (что означает, что если $x\in(0;{\delta})$ , то $t=-x\in(-{\delta};0)$ ). Значит,

$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=1,$

но $\sin(-t)=-\sin t$ ( $\sin$ -- нечётная функция), и поэтому

$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0-}\dfrac{\sin t}{t}=1.$

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции $y=\dfrac{\sin x}{x}$ выглядит так:

Рис.График $y=\dfrac{\sin x}{x}$

Вторым замечательным пределом называется предел

$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между $2\frac{3}{7}$ и .

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

$\displaystyle e=2{,}7182818285{\dots}\quad.$

9. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или - ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y' , f '(x_o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t_o.

10. Основные правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)' = 0, (cu)' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)' =  u^1 u' (  R).

2. (au)' = a^u lna u'.

3. (eu)' = e^u u'.

4. (log_au)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.

Прологарифмировав равенство y=u^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).

Итак,

(u ^v)'=u^v (vu'/u+v' ln u), u > 0. Например, если y = x ^{sin x}, то y' = x ^{sin x} (sin x/x + cos x× ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то = y'+a, где a®0 при Dх® 0; отсюда D y = y' Dх + a x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' Dх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x'Dх = 1×Dх =Dх, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

11. Теорема Лагранжа. Возрастание и убывание функции

Теорема (Лагранж). Пусть f непрерывна на [a,b] и имеет производную в каждой точке интервала (a,b). Тогда существует такая точка x ,что:

f(b) - f(a) = f^/(x)(b-a) , a<x<b (10.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - lx, (10.4)

где число l выберем таким образом, чтобы F(a) = F(b), т.е. чтобы

f(a) - la = f(b) - lb. Для этого достаточно взять

(10.5)

Тогда для F(x) выполнены условия теоремы Ролля: F(x) - непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и принимает на концах одинаковые значения, поэтому существует такая точка x Î (a,b), что F^/(x) = 0. Тогда из (10.4) получаем F^/(х) = f^/(х)-l, поэтому f^/(x) - l=0 и из (10.5) получим

(10.6)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Пусть А(а,f(а)), В(b,f(b)) - точки графика функции f, АВ - хорда, соединяющая точки А и В. Тогда отношение .

Т.е. в условиях теоремы можно сказать, что найдется точка, возможно не одна, в которой касательная к графику параллельна хорде .

З а м е ч а н и е. Теорема Лагранжа найдет ряд важнейших приложений в дальнейшем.

Запишем другую форму (10.6)

f(a) - f(b) = f^/(x) (a-b) (10.7)

т.е. она справедлива для a>b и b>a.

Следствие 1. Если f^/(х) = 0 " х Î (a,b) Þ f(х) = С - const.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть f^/(х) = 0 при х Î (a,b) тогда для любого х Î (a,b)

f(х) - f(b) = 0×(х-b). Следовательно f(х) = f(b)= const.

Рис. 10.6.

Следствие 2. Если f(х), g(x) - дифференцируемые на (a,b) и (в этих точках)

f^/(х) = g^/(x) " х Î (a,b) , а на концах промежутка, если они входят в область определения, - непрерывны, то эти функции отличаются на С - Сonst:

f(х) - g(x) = С.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^/(х) = g^/(x) при х Î <a,b>, тогда на этом промежутке êf(х) - g(x)ê^/= f^/(х) - g^/(x) = 0. В силу следствия 1 имеем

F^/(х) = 0 Þ F(x) = С, а здесь F(х) = f(х) - g(x) = С.

Возрастание и убывание функции одной переменной

Определение Функция f(х) возрастает на промежутке <a,b>, если из того, что х₂> x₁ Þ f(х₂) > f(х₁) " x₁,x₂ Î <a,b>. И f(х) убывает на промежутке <a,b>, если х₂> x₁ Þ f(х₂) < f(х₁) " x₁,x₂ Î <a,b>.

Теорема (необходимый признак возрастания (убывания) функции).

1. Если f(х) возрастает и дифференцируема на <a,b> Þ f^/(х)³0 " x Î <a,b>.

2. Если f(х) убывает и дифференцируема на <a,b> Þ f^/(х)£0 для всех x Î <a,b>.

Теорема (достаточный признак возрастания и убывания функции).

1. Если f^/(x) > 0, " x Î <a,b>, тогда f(x) возрастает на этом промежутке.

2. Если f^/(x) < 0, " x Î <a,b>, тогда f(x) убывает на этом промежутке.

З а м е ч а н и е. Если функция f(x) возрастает или f(x) убывает, то она называется монотонной. Промежутки возрастания или убывания функции называются промежутками монотонности.

12. Теорема Ферма. Экстремум функции.

Определение Будем говорить, что f(x) имеет максимум в некоторой точке х=х₁, если в некоторой окрестности О(х₁) (возможно, весьма малой) выполнено неравенство f(x₁) > f(x) , (x¹x₁).

Аналогично определим минимум функции f(x). Если при х=х₂

Рис. 11.1.

f(x₂) < f(x) (х¹х₂) в некоторой окрестности точки О(х₂), то в точке х₂ f(x) имеет минимум.

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Те точки, где f(x) достигает своих экстремальных значений, назовем точками экстремума функции.

Рис. 11.2.

Из определения следует, что экстремум функции носит локальный характер. То есть может оказаться, что минимум функции принимает большее значение, чем максимум.

Здесь речь идет о двустороннем экстремуме (в дальнейшем мы под словом экстремум будем всегда понимать двусторонний экстремум). Ниже мы введем понятие односторон-него (краевого) экстремума.

Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции).

В точке экстремума (двустороннего) дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

С л е д с т в и е. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная равна нулю или не существует.

Рассмотрим теперь достаточные условия экстремума. Из того, что f^/(x₀) = 0, вовсе не следует, что f(x) имеет экстремум при х = х₀.

Пример. Пусть y = x³ . При х₀= 0 f^/(x) = 3×х² ê_х=0= 0, но f(0) не является экстремальным значением.

Определим достаточное условие экстремума.

Теорема . (Первое правило). Если f(x) дифференцируема и для некоторого х = х₀ f^/(x₀) = 0, а также f^/(x) меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(x₀) является экстремумом функции f(x), причем:

1. f(x) имеет max при х=х₀, если f^/(x) меняет знак с “+” на “-”.

2. f(x) имеет min при х=х₀, если f^/(x) меняет знак с “-” на “+”.

Теорема. Если производная дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х=х₀ обращается в нуль, но при переходе не меняет свой знак, то f(x) в данной точке не имеет экстремума.

Теорема . (Второе правило). Если дифференцируемая функция в некоторой точке х₀ имеет первую производную, равную нулю, а вторая производная существует и отлична от нуля (f^/(x₀)=0, f^//(x₀)¹0), то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно

1. если f^//(x₀) > 0, тогда f(x₀) - min,

2. если f^//(x₀) < 0, тогда f(x₀) - max.

13. Условие существования для точек перегиба.

Определение. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x₁,x₂Î X выполняется неравенство

f(l₁ x₁+l₂x₂)£ l₁f(x₁)+ l₂f(x₂) (f(l₁ x₁+l₂x₂)³ l₁f(x₁)+ l₂f(x₂)),

где l₁³ 0,l₂³ 0, l₁+l₂ = 1.

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.

Справедлива

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)>0, x X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)<0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)³ 0, xÎ X (или f''(x)£ 0 ) xÎ X. Например, функция y = x⁴ выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x² обращается в ноль при x = 0.

Определение (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x₀ равна нулю, т.е. f''(x₀) = 0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x₀, в которой f''(x₀) = 0 меняет свой знак, то x₀ есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x₁ функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x₂ функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x₀ касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

14. Общая схема исследования функции.

Для построения графика функции нужно провести следующие исследования:

Найти область определения функции.
Найти область значения функции.
Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
Найти асимптоты графика функции.
Найти точки экстремума функции, установить интервалы монотонности функции.
Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы выпуклости.
Найти точки пересечения с осями координат.

По полученным данным можно построить эскиз графика данной функции. Для примера построим график функции y = 2x³/(x²-4).

1. Функция определена и непрерывна при всех xÎ R, кроме точек x = ± 2.

2. Область значения функции - " yÎ R.

3. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести ииследование в интервале [0,¥).

4. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.

lim_x_{® 2}_{± 0}2x³/(x²-4) = ± ¥.

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_x_{® ¥}y/x = lim_x_{® ¥}2x²/(x²-4) = 2, b = lim_x_{® ¥}(y-2x) = lim_x_{® ¥}8x/(x²-4) = 0,

то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.

5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную

y' = (6x²(x²-4)-4x⁴)/(x²-4)² = 2x²(x²-12)/(x²-4)².

В промежутке [0,¥) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 и обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2) и (2,2) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2,¥) больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x = 2 является точкой минимума.

6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную

y'' = 16x(x²+12)/(x²-4)³.

Вторая производная y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале (2,2) и (2,¥) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

7. y(2) = 6, y(0) = 0.

Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим график (рис.29).

15. Неопределенный интеграл.

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x  X справедливо равенство:

F' (x) = f(x). (8.1)

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), x X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Теорема. Если F₁(x), F₂(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F₂(x) = F₁(x)+C.

Доказательство. Так как (F₂(x)-F₁(x))' = F'₂(x)-F'₁(x) = f(x)-f(x) = 0, x X, то F₂(x)-F₁(x) = C, то

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

 f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то

 f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

16. Основные свойства неопределенного интеграла

dF(x) = F(x)+C. Справедливость этого равенства следует из очевидной цепочки равенств

dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.

d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства

d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Если функции f₁(x), f₂(x) имеют первообразные, то функция f₁(x)+f₂(x) тоже имеет первообразную, причем

(f₁(x)+f₂ (x))dx = f₁(x)dx+ f₂(x)dx.

Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k= 0 справедливо равенство

kf(x)dx = k f(x)dx.

Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.

Список табличных интегралов

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x₀< x₁ <...<x_n = b. Из каждого интервала (x_i_1, x_i) возьмем произвольную точку х_iи составим сумму f(х_i)х x_i_, где
x_i = x_i - x_i_1. Сумма вида f(х_i) x_i называется интегральной суммой, а ее предел при х = max x_i =0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(х_i)d x_i_. (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, k€R);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) ([a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

 f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Методы интегрирования.

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам.

Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.

I. Метод непосредственного интегрирования

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

Пример 1.

∫(1-√x)²dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫xdx+∫xdx=

II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример . ∫e^-x3x²dx

Воспользуемся подстановкой -x³=t. Тогда имеем -3x²dx=dt и ∫e^-x3x²dx=∫e^t(-1/3)dt=-1/3e^t+C=-1/3e^-x3+C

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример . Найти неопределенный интеграл ∫xe^-2xdx

Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e^-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe^-2xdx=-e^-2x+C
Следовательно по формуле имеем:
∫xe^-2xdx=x(-e^-2x)-∫-^-2dx=-e^-2x-e^-2x+C

19. Вычисление площадей криволинейных фигур. Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью и прямыми , :

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу .

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Простейший пример на вычисление площади с помощью определенного интеграла
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Математические модели задач линейного программирования.

Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

 задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

 задача о смесях (планирование состава продукции);

 задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

 транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

 математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

 данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

 многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

 некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

 целевая функция:

= c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n → max(min);

(2.1)

 ограничения:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n {≤ = ≥} b₁,
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n {≤ = ≥} b₂,

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n {≤ = ≥} b_m;

(2.2)

 требование неотрицательности:

x_j ≥ 0,

(2.3)

При этом a_ij, b_i, c_j ( ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

Далее приведем примеры некоторых типовых задач, решаемых при помощи методов линейного программирования. Такие задачи имеют реальное экономическое содержание. Сейчас лишь сформулируем их в терминах ЗЛП, а методы решения подобных задач рассмотрим ниже.

1. Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании.

Общий смысл задач этого класса сводится к следующему.

Предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.). Ресурсы ограничены, их запасы в планируемый период составляют, соответственно, b₁, b₂,..., b_m условных единиц.

Известны также технологические коэффициенты a_ij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида ( ).

Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна c_j.

В планируемом периоде значения величин a_ij, b_i и c_j остаются постоянными.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль преприятия была бы наибольшей.

Далее приведем простой пример задачи такого класса.

Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Критерии оценки

Условия выполнения задания[i]

1. Место (время) выполнения задания – учебная аудитория

2. Максимальное время выполнения задания: 40 мин.

3. Бумага, ручка.

(указать используемое оборудование (инвентарь), расходные материалы, литературу и другие источники, информационно-коммуникационные технологии и проч.)

4. Указать другие характеристики, отражающие сущность задания: в реальных (модельных) условиях профессиональной деятельности __________________________________________________

2. 2. ЗАДАНИЕ (практическая работа) № 2

Текст задания:

1. Вычислить определитель .

2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

3. Выполнить действия:

4. Вычислить .

5. Вычислить .

6. Вычислить .

7. Вычислить .

8. Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

9. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

10. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16  50 м³. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

11. Найти  arctg x dx.

12. Вычислить  e^xsin x dx.

13. Вычислить интеграл J = .

14. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)sin x.

15. Найти y', y = tg x +.

16. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

17. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

18. Найти асимптоты графика функции

19. Исследовать функцию на экстремум с помощью производной первого порядка.

20. Исследовать на максимум и минимум функцию с помощью знака второй производной.

21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Эталон ответов

1. Вычислить определитель .

Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой:

Ответ: 0.

2. Решить систему методом Гаусса.

Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.

~ ~ ~

Таким образом, система равносильна системе

Находим

Ответ: , ,

При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.

3. Выполнить действия:

Решение. Выполним решение по действиям.

Ответ: .

4. Вычислить .

В любой задаче на пределы сначала рассматривается прямая подстановка . Если при этом получается конечное значение (в том числе и 0) или ¥, или – ¥, то расчет закончен. В данном примере

Ответ: 13.

5. Вычислить .

Решение:

Ответ: функция бесконечно малая при

6. Вычислить .

Решение: .

Здесь использована теорема: величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, т.е. 0.

7. Вычислить .

Решение: .

В данном случае прямая подстановка привела к неопределенности. Попробуем упростить функцию:

Таким образом,

Ответ: функция – бесконечно малая при х®1.

8. Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x² - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x₁ = 2 и x₂ = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x₁ = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x₂ = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x₂ = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x₁ = 2 и x₂ = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a² /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

10. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м³. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR²Н Þ Н = V/pR²=16p/pR²= 16/R². Значит, S(R) = 2p(R²+16/R). Находим производную этой функции:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R²) = 4p (R- 8/R²). S ¢(R) = 0 при R³ = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

11. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как
ò x dx/(x²+1) = 1/2 ò d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

12. Вычислить ò e^xsin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^xdx, v=ò sin x dx= - cos x Þ ò e^xsin x dx = - e^x cos x + ò e^xcos x dx. Интеграл ò e^xcos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем:
ò e^xcos x dx = e^x sin x - ò e^xsin x dx. Получили соотношение ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x - ò e^xsin x dx, откуда 2 ò e^xsin x dx = - e^xcos x + e^xsin x + С.

13. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=.

14. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x³-2x+1)'×sin x + (3x³-2x+1)×(sin x)' =
= (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

15. Найти y', y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = + = .

16. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

Решение. Находим производные

y' = 4x³+3x²-36x+24, y'' = 12x²+6x-36.

Отсюда y'' = 0 при x₁ = -2, x₂ = 3/2. Следовательно, y''>0 на интервалах (-¥,-2), (3/2,¥) и функция выпукла вниз; y''<0 на интервале (-2,3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки x₁ = -2 и x₂ = 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2,-124) и (3/2,-129/16) являются точками перегиба.

17. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_x_{® 3}_{± 0}5x/(x-3) = ±¥.

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_x_{® ±¥}y/x = lim_x_{® ±¥}5x/x(x-3) = 0. b = lim_x_{® ±¥}(y-kx) =lim_x_{® ±¥}5x/(x-3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

Найти асимптоты графика функции

Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:

1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку .

Прямая является вертикальной асимптотой для графика при .

2) Наклонные асимптоты:

Прямая является наклонной асимптотой для графика при .

Ответ:

19. Исследовать функцию на экстремум с помощью производной первого порядка.

1) Находим производную .

2) Находим критические значения аргумента:

а) находим точки, в которых производная обращается в нуль: , ;

б) находим точки, в которых производная не существует: .

Отметим, что при рассматриваемая функция определена и непрерывна.

Других критических точек нет.

3) Исследуем характер полученных критических точек.

Исследуем точку . При , а при , следовательно, это точка максимума. Значение функции в этой точке .

Исследуем вторую критическую точку . При , а при , следовательно, это точка минимума. Значение функции в этой точке . График этой функции изображён на рис.

20. Исследовать на максимум и минимум функцию с помощью знака второй производной.

Так как функция является периодической периода , то достаточно исследовать её на отрезке .

1) Находим производную:

2) Находим критические значения аргумента:

, , , .

3) Находим вторую производную:

4) Исследуем характер каждой критической точки:

. Следовательно, это точка максимума. .

. Следовательно, это точка минимума. .

. Следовательно, это точка максимума. .

. Следовательно, это точка минимума. .

График этой функции изображён на рис.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение: .

Корнями уравнения являются , , ; концами отрезка являются точки и . Находим:

, , , , .

Наибольшим из этих чисел является , а наименьшим .

Критерии оценки

Условия выполнения задания[7]

1. Место (время) выполнения задания – учебная аудитория

2. Максимальное время выполнения задания: 40 мин.

3. Бумага, ручка, калькулятор.

2.3. ПАКЕТ ЭКЗАМЕНАТОРА

[1] Рекомендуется согласовать комплект контрольно-оценочных средств с представителями профессионального сообщества (работников и или специалистов по профилю получаемого образования, руководителей организаций отрасли, профессиональных экспертов и др.) и приложить документы, подтверждающие факт согласования

[2] Правила заполнения таблицы см. в разъяснениях по разработке КОС

[3] Указываются коды и наименования результатов обучения в соответствии с программой учебной дисциплины (знания, умения) или профессионального модуля ( общие, профессиональные компетенции, умения, знания, практический опыт). Подробнее см. разъяснения по разработке КОС

[4] Критерии указываются, если необходимы для того чтобы впоследствии эксперты могли дать ответ в экспертном листе, используя дуальную систему: «выполнил – не выполнил»; «да-нет» и т.п. Чаще всего помимо показателей требуются критерии при разработке оценочных средств по программам СПО.

[5] № задания указывается, если предусмотрен.

[6] Заполняется пункт (пункты), соответствующие результатам (объектам) и типам аттестации, указанным в разделе 1. Остальные удаляются.

[7] Для теоретических заданий, используемых в ходе аттестаций по учебной дисциплине или МДК, это требование факультативно.

ПАКЕТ ЭКЗАМЕНАТОРА

Задание № 1. Теоретическое

указывается тип задания (теоретическое), номер задания и его краткое содержание

Результаты освоения

(объекты оценки)

Критерии оценки результата

(в соответствии с разделом 1 «Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств)

Отметка о выполнении

• основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, основы интегрального и дифференциального исчисления

• описание процессов в естествознании и технике с помощью дифференцирования;

• использование производной в экономике

· виды задач линейного программирования и алгоритм их моделирования

-Правильность символики и определение построения определенного интеграла;

• полнота знаний основных понятий и методов математического анализа, линейной алгебры, основы интегрального и дифференциального исчисления

• правильное истолкование понятия функции, выбор способа задания функции

• ясность и аргументированность в использовании терминов.

балльная оценка

Задание № 2. Практическая работа

указывается тип задания (практическое), номер задания и его краткое содержание

· умение решать системы линейных уравнений;

· производить действия над векторами, составлять уравнения прямых и определять их взаимное расположение;

· вычислять пределы функций;

· дифференцировать и интегрировать функции

· моделировать и решать задачи линейного программирования;

· уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности

· аргументированность выбора методов решения поставленных задач;

· правильность символики и определение построения определенного интеграла

балльная оценка

Условия выполнения заданий (если предусмотрено)

Время выполнения задания мин./час. (если оно нормируется)_____80 мин.____________________

Требования охраны труда: ______инструктаж по правилам работы в аудитории и компьютерном классе_______________

инструктаж по технике безопасности, спецодежда, наличие инструктора и др.

Оборудование: _______сетевой компьютер или распечатанные и размноженные комплекты тестов и ручка______________________________________

Литература для экзаменующихся (справочная, методическая и др.) _____-_______________________________________________

Дополнительная литература для экзаменатора (учебная, нормативная и т.п.)_-____________________________________

Скачать материал

Скачать материал "КОС Математика 2 курс"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 671 782 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Проверочная работа по математике "«Сложение и вычитание» 4 класс «Школа России»

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
Тема: Сложение и вычитание

23.05.2023
445
15

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

docx

Практическая работа №1 по курсам "Обновленные курсы 2023г"

23.05.2023
1369
85

docx

Конспект урока по математике в 3 классе на тему: "Решение задач на движение с использованием элементов сингапурской методики"

Учебник: «Математика (в 3 частях)», Петерсон Л.Г.
Тема: Урок 11 Решение задач

23.05.2023
177
1

«Математика (в 3 частях)», Петерсон Л.Г.

docx

ФОРМИРОВАНИЕ ФИНАНСОВОЙ ГРАМОТНОСТИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Тема: 6.3. «Главная» задача на проценты

23.05.2023
339
4

«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

pdf

Творческая работа по теме:"Координатная плоскость"(6 класс)

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Тема: § 46. Координатная плоскость

23.05.2023
139
1

«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

docx

Разработка наглядных пособий для уроков математики 4 класс

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

23.05.2023
453
12

docx

Урок "Деление обыкновенных дробей"

23.05.2023
111
0

pptx

Презентация по математики "Единицы времени".

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.
Тема: Единицы времени

23.05.2023
189
6

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 23.05.2023 175
- DOCX 1.4 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Удалова Татьяна Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Удалова Татьяна Викторовна
- На сайте: 9 лет и 4 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 17049
- Всего материалов: 12