Круги Эйлера как способ решения олимпиадных задач

• 1 слайд

  «Всё наше достоинство заключено в мысли. Не пространство, не время,
  которых мы не можем заполнить, возвышает нас, а именно она,
  наша мысль.
  Будем же учиться хорошо мыслить»
  Б. Паскаль
  

• 2 слайд

  Разгадайте внешне похожие ребусы
  1ОЧКА
  1БОР
  Ш1А
  Ф1А
  2Д
  ПО2Л
  одиночка
  разбор
  школа
  фраза
  парад
  подвал
  

• 3 слайд

  В шестнадцати клетках таблицы
  записаны вразнобой числа от 1 до 20.
  Это означает, что какие-то четыре числа в таблице пропущены.
  Без помощи ручки или карандаша, только глазами отследите все числа и запомните недостающие.
  
  Ответ: 3,6,11, 17
  

• 4 слайд

  Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?
  Задача № 1:
  

• 5 слайд

  Круги
  Эйлера
  

• 6 слайд

  Леонард Эйлер
  
  Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он очень много работал и вскоре стал первым математиком мира.
  

• 7 слайд

  Леонард Эйлер
  
  Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
  При решении целого ряда задач он использовал идею изображения множеств с помощью кругов и эти круги получили название «Круги Эйлера».
  

• 8 слайд

  Типы кругов Эйлера
  

• 9 слайд

  Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?
  Задача № 1:
  

• 10 слайд

  В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?
  Задача № 2:
  Решение:
  капуста
  морковь
  горох
  7
  6
  5
  4
  3
  2
  1
  3
  2
  1
  1
  1
  1
  Ответ: 10 человек.
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  «Гарри Поттер, Рон и Гермиона»
  На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
  Задача № 3:
  

• 13 слайд

  Решение:
  Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: 
  
  
  Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг,
  из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона,
  то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри.
  Следовательно, 
  26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 
  
  5
  8
  

• 14 слайд

  Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?
  Задача № 4:
  Решение:
  немецкий
  французский
  75
  83
  х
  100-10=90
  Получим уравнение: 75+83-х=90
  158-х=90
  х=68
  Ответ:
  68 человек знали оба языка
  

• 15 слайд

  Рефлексия
  
  Я узнал ….
  У меня получилось…
  Теперь я умею….
  У меня сначала вызвало затруднение, а потом …
  Меня удивило….
  Я смогу теперь решить….
  

• 16 слайд

  До новых встреч с занимательными задачами
  

• 17 слайд

  В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются только двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
  Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
  
  Задача № 5:
  

• 18 слайд

  
  Решение:
  Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,
  а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно что одним лишь видом спорта – баскетболом- занимаются
  
  16 - (4 + z + 3) = 9 - z;
  одним лишь хоккеем
  17 - (4 + z + 5) = 8 - z;
  одним лишь футболом
  18 - (3 + z + 5) = 10 - z.
  

• 19 слайд

  
  Решение:
  
  Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочками:
  3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38, z = 2.
  
  Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
  Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
  Ответ:
  Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта . Увлекающихся лишь одним видом спорта - 21 человек.
  

• 20 слайд

  Задача № 1:
  В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?
  Решение:
  классическая музыка
  джаз
  народная музыка
  14
  15
  14
  6
  7
  9
  5
  1
  4
  2
  7
  4
  3
  Ответ:
  29-7-2-1-5-3-4-4=3(человека)
  – не любят никакую музыку.
  Задачи для самостоятельного решения:
  

• 21 слайд

  Задача № 2:
  На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них -10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м². Найдите площадь участка пола:
  а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром;
  б)покрытого только первым ковром;
  в)не покрытого коврами.
  Решение:
  1
  2
  3
  10
  8
  6
  3
  3
  3
  1
  5
  3
  2
  2
  2
  1
  Ответ:
  а) 10м²;
  б)5 м²;
  в) 24-10-5-1=8 м²
  Задачи для самостоятельного решения:
  

• 22 слайд

  В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и музей – трое, в цирке и музее был один человек. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а трое вообще никуда не ходили?
  Ответ: 20 человек
  Задача для самостоятельного решения:
  Задача № 4:
  

• 23 слайд

  В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?
  Ответ: 10 ребят, 11 спортсменов.
  Задача для самостоятельного решения:
  Задача № 5:
  

• 24 слайд

  Задача для самостоятельного решения:
  Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?
  Ответ: 7 сотрудников
  Задача № 6:
  

• 25 слайд