Лекция по математике на тему "Трёхгранный угол"

Лекция по теме «Трёхгранный угол»

Сегодня мы познакомимся с новой геометрической фигурой -  трехгранным углом.
Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить: 1) неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.	Картинка: Текст: AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC.
2) теорему о соотношении сторон и углов треугольника: напротив большей стороны лежит больший угол.	Картинка: Текст: RQ > RL > QL L >Q > R
3) свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианной и высотой;	Картинка: Текст: PSL –равнобедренный, ST – биссектриса,   ST – высота и медиана, т.е. PT=TL, ST  PL
3) первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.	Картинка:   Текст: А =М, AB=MN, AC=MP ABC = MNP
Определение: Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя углами с общей вершиной, не лежащих в одной плоскости и имеющими попарно общие стороны. Общая вершина этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, углы, заключенные между парами лучей являются плоскими углами и называются гранями трехгранного угла. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.	Картинка: Текст: Угол OEFG – трехгранный, О – вершина трехгранного угла, OE, OF, OG – ребра, EOF, EOG, GOF – плоские углы (грани трехгранного угла), углы GOEF, EOFG, EOGF – двугранные углы
Докажет свойство плоских углов трехгранного угла: Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов. Доказательство Рассмотрим трехгранный угол OEFG, предположим, что EOF EOG GOF Докажем случай EOF<EOG+GOF, остальные  два доказываются аналогично. Существуют два случая Первый: если угол EOF равен углу EOG, то неравенство EOF<EOG+GOF принимает вид EOF<EOF+GOF,  следовательно оно доказано. Второй, когда EOF >EOG. Поступим следующим образом на EF выберем точку S, где угол EOG равен углу EOS, а поскольку EOG <EOF, то точка S, находиться между точками E и F. Следующее, что мы сделаем, построим на луче OG точку R, где OS равно OR. Тогда получаем, что треугольники EOR и EOS равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников получаем, что ES равно ER. В основании получаем треугольник ERF из неравенства EF< ER+ RF, где EF= ES+SF и ES =ER, следует, что SF < RF. Развернем двугранный угол EOFR в одну плоскость ROFS и построим биссектрису (ON) угла SOR, равнобедренного треугольника OSR где OS равно OR (по построению), тогда получаем что биссектриса угла SOR является медианной и высотой, как биссектриса, проведенная к основанию, т.е. SN равно NR и ON перпендикулярно SR. Из выше доказанного следует, что ON пересекает большую из сторон треугольника RDF сторону ER Тогда получаем что угол SOF меньше угла ROF, т.к. ROF равен сумме углов RON и NOF. Из всего доказанного, следует, что угол EOF равен сумме углов EOS и SOF, где EOS равен EOG и все это меньше суммы углов EOR и ROF, т.е. EOG и GOF. что и требовалось доказать.	Текст: Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
	Картинка:	Текст: Дано: OEFG – трёхгранный угол Доказать, что: EOF<EOG+GOF
	Текст (доказательство появляется на экране по ходу слов диктора): Доказательство: Предположим что EOF EOG GOF. I. Если EOF = EOG, то из EOF<EOG+GOF EOF<EOF+GOF. II. Если EOF >EOG. 1) Построим S EF, где EOG = EOS, и EOG <EOF, S находиться между E и F. 2) OG R, где OS = OR. Тогда EOR = EOS (OE – общая, OS = OR – по построению, EOG = EOS пн 1.).  ES=ER. 3) вERF: EF< ER+ RF, где EF= ES+SF и ES =ERSF < RF. 4) Развернем EOFR в плоскость ROFS. ON – биссектриса SOR, OSR – равнобедренного, OS = OR (по построению),  ON – медианной и высотой, т.е. SN = NR, ONSR. Из пн. 1 - 4 ON ER, т.е. SOF<ROF, т.к. ROF = RON + NOF. EOF =EOS + SOF =EOG + SOF <EOR + ROF=EOG +GOF. что и требовалось доказать.
Решим задачу Докажите, что сумма плоских углов трёхгранного угла меньше  360º. Решение. Пусть TMNL – трёхгранный угол с вершиной T. Точки M, N, L принадлежат ребрам трехгранного угла. Построим треугольник MNL, получим еще три трехгранных угла. Применим к ним свойство плоских углов трехгранного угла, получим Неравенства при вершине M (TML+TMN>LMN), при вершине L (TLM+TLN >MLN), при вершине N (TNL+TNM >LNM). Далее мы складываем все неравенства, по частям, получаем одно неравенство, где в правой части, находятся углы треугольника MNL, а в левой сумма пар углов треугольников построенных на плоских углах трехгранного угла TMNL. Используя свойство неравенства отнимает его обе части от положительного числа 540º, поменяв его знак на противоположный, в левой части число 540º представляем в виде суммы трех числе 180º и сгруппировав их, Получаем неравенство, где в левой части сумма плоских углов трехгранного угла TMNL Применив теорему о сумме углов треугольника, получаем неравенство MТL+MTN+LTN<360º что и требовалось доказать	Картинка:		Текст: Дано: TMNL – трехгранный угол. T – вершина угла Доказать, что: MТL+MTN+ LTN<360º.
	Текст: Доказательство: 1) Построим MNL и по свойству плоских углов трехгранного угла получаем,
	TML+TMN>LMN +TLM+TLN >MLN   TNL+TNM >LNM			Складывая все неравенства
	TML+TMN +TLM+TLN+ +TNL+TNM>LMN+MLN+LNM 2) Отнимем обе части неравенства от 540, при этом поменяв знак неравенства на противоположный    180º –TML–TMN + 180º – TLM – –TLN+180º –TNL–TNM< <540º–LMN–MLN–LNM, 3) Заменяя полученные суммы по теореме об углах треугольника, следует, MТL+MTN+LTN<360º что и требовалось доказать.