Логические основы построения компьютера

• 1 слайд

  Логические основы построения компьютера
  Основные понятия формальной логики
  Высказывания: истинные и ложные, простые и сложные
  Логические выражения и логические операции
  Законы алгебры логики
  Серебренникова Н.В. учитель информатики МАОУ СОШ №35 г.Улан-Удэ
  

• 2 слайд

  1. Основные понятия формальной логики
  Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.
  Основными формами мышления являются:
  Понятие
  Суждение
  Умозаключение
  это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других (например: человек, компьютер).
  это мысль, в которой что-то утверждается или отрицается о предметах (например: «дважды два равно четыре»).
  это приём мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод) (например: доказательства теорем в геометрии).
  

• 3 слайд

  Из истории:
  IV в. до н.э. Великий греческий учёный Аристотель (ученик Платона, воспитатель Александра Македонского) впервые разработал научную систему логики, заложил основы формальной логики.
  XVII в. Великий немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц попытался перевести формальную логику из словесного царства в царство математики.
  XVIII в. Великий английский математик Джордж Буль изобрёл своеобразную алгебру (алгебра Буля или булева алгебра)– систему обозначений и правил, применяемую к всевозможным объектам.
  Современный вид математическая логика приобрела в 1880-е годы в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге. Он ввёл впервые аксиомы логики высказываний и предикатов и сделал попытку свести математику к логике.
  

• 4 слайд

  Формальная логика (математическая логика)– это наука о законах и формах мышления. Изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы компьютера.
  Алгебра высказываний (алгебра логики, алгебра Буля, булева алгебра) - раздел математической логики, занимающийся обработкой логических выражений.
  Суждения
  Высказывания
  Логические
  выражения
  или
  

• 5 слайд

  2. Высказывания: истинные и ложные, простые и сложные
  Высказывание — это повествовательное предложение, о котором всегда можно сказать, истинно оно или ложно.
  Например:
  «Каждый ромб параллелограмм»
  «Каждый параллелограмм – ромб»
  
  Сложное (составное) высказывание получается из простых высказываний с использованием союзов-связок «И», «ИЛИ» и частицы «НЕ».
  Простые или сложные высказывания называют логическими выражениями.
  

• 6 слайд

  3. Логические выражения и логические операции
  Обозначения истинности и ложности переменных:
  Логическое выражение - это символическая запись, состоящая из логических величин (констант и переменных), объединённых логическими операциями.
  Обозначаются логические переменные буквами латинского алфавита (А, В, …), которые могут принимать два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
  

• 7 слайд

  Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция – основные логические операции.
  Дополнительные операции – импликация, эквивалентность и исключающая дизъюнкция.
  Пусть А и В – некоторые произвольные высказывания. Рассмотрим таблицу логических операций над этими высказываниями:
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  Задание: из двух простых высказываний составить сложное высказывание согласно схеме:
  A - «На улице светит солнце»
  B - «На улице пасмурная погода»
  

• 10 слайд

  Таблица истинности:
  

• 11 слайд

  1. Инверсия – одноместная логическая операция, соответствует частице «НЕ» - логическое отрицание.
  ¬ А
  Результат инверсии ложь(0), если исходное выражение истинно(1), и наоборот, результат истина(1), если исходное ложь(0).
  Пример: «Петя будет дежурным» - А «Петя не будет дежурным» - «Трижды три равно семи» - В «Неверно, что трижды три равно семи» -
  В
  

• 12 слайд

  2. Конъюнкция – двухместная логическая операция, соответствует союзу «И» - логическое умножение.
  (А&В или АВ или AxB)
  Результат конъюнкции истина (1), когда оба выражения истина (1).
  Пример:
  «K – чётное число» - А
  «K – делится на три» - В.
  Чему равен результат логического умножения А&В?
  

• 13 слайд

  2. Конъюнкция – двухместная логическая операция, соответствует союзу «И» - логическое умножение.
  Решение:
  Множество всех случаев, когда А истина:
  К = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…
  Множество всех случаев, когда В истина:
  К = 3, 6, 9, 12, 15, 18…
  Множество всех случаев, когда истина А&В:
  К = 6, 12, 18…
  А&B
  А
  В
  

• 14 слайд

  3. Дизъюнкция – двухместная логическая операция, соответствует союзу «ИЛИ» - логическое сложение.
  ( А+В )
  Результат дизъюнкции истина (1), когда истино (1) хотя бы одно из исходных высказываний.
  Пример:
  «К – чётное число» - А
  «К – делится на три» - В.
  Чему равен результат логического сложения А  В ?
  

• 15 слайд

  3. Дизъюнкция – двухместная логическая операция, соответствует союзу «ИЛИ» - логическое сложение.
  Решение:
  Множество всех случаев, когда А истина:
  К = 2, 4, 6, 8, 10, 12…
  Множество всех случаев, когда В истина:
  К = 3, 6, 9, 12, …
  Множество всех случаев, когда истина АВ:
  К = 2, 3, 4, 6, 8, 9…
  АВ
  

• 16 слайд

  4. Импликация – условная двухместная логическая операция, соответствует связке «ЕСЛИ…, ТО…» - логическое следование.
  Результат импликации ложь (0), когда условие истинно (1), а следствие ложно (0).
  Пример:
  «К – делится на 9» - А
  «К – делится на 3» - В
  Операция А→В означает: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3».
  

• 17 слайд

  4. Импликация – условная двухместная логическая операция, соответствует связке «ЕСЛИ…, ТО…» - логическое следование.
  а) А – ложно, В – ложно.
  б) А – ложно, В – истина.
  в) А – истина, В – истина.
  г) А –истина, В – ложно
  К= нет таких чисел.
  К={4,17,22…}
  К={6,12,21…}
  К={9,18,27…}
  

• 18 слайд

  5. Эквивалентность – двухместная логическая операция, соответствует связке «ТОГДА, и ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» - равнозначность.
  А~В или А≡В
  Результат эквивалентности истина (1), когда оба исходных выражения одновременно истинны (1) или ложны (0).
  Пример: Высказывание А: «сумма цифр, составляющих число К, делится на 3»; высказывание В: «К – делится на 3».
  Операция А↔В означает: «число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».
  

• 19 слайд

  6. Исключающая дизъюнкция – двухместная логическая операция, соответствует связке «ЛИБО…, ЛИБО…» - неэквивалентность.
  Результат неэквивалентности истина (1), когда одно из исходных выражений истина (1), другое ложь (0).
  Пример: Высказывание: «За контрольную работу мне поставят 4 или 5» истинно, т.к. одновременно 4 и 5 за контрольную получить нельзя.
  «Июнь месяц я проведу в деревне или в пионерском лагере». Союз ИЛИ подчёркивает мысль, что можно быть либо в деревне, либо в лагере, но никак не в обоих местах одновременно.
  

• 20 слайд

  Задачи:
  Из каких двух высказываний составлено следующее высказывание: «Для сдачи экзамена необходимы знания или везение» ? Какой операции равносильно это высказывание?
  Один зажиточный человек очень боялся грабителей и заказал замок, который открывался двумя ключами одновременно. С какой логической операцией можно сравнить процесс открывания?
  

• 21 слайд

  Задачи:
  Из трёх следующих высказываний составить логическое произведение и определить его истинность:
  А: «Утки зимуют на юге»
  В: «Лето утки проводят на севере»
  С: «Утки не совершают перелётов»
  Приведите пример высказывания, соответствующий логической операции – импликация.
  Приведите пример высказывания, соответствующий логической операции – эквивалентность.
  

• 22 слайд

  1. Инверсия
  2. Конъюнкция
  3. Дизъюнкция
  4. Импликация
  5. Эквивалентность
  Порядок выполнения логических операций с учётом скобок слева направо:
  Для изменения порядка используются круглые скобки.
  

• 23 слайд

  Задача 1: перевести на язык алгебры логики высказывание.
  «Я поеду в автобусе или в трамвае и почитаю по дороге книгу».
  Решение: Данное высказывание создано из трёх простых высказываний :
  А: «Я поеду в автобусе»
  В: «Я поеду в трамвае»
  С: «По дороге я почитаю книгу»
  А и В образуют логическую сумму: А В
  Сумма (А В) вместе с высказыванием С образуют логическое произведение: (А В) С
  

• 24 слайд

  Задача 2: для высказываний расшифровать выражения.
  Даны высказывания:
  А: «Петя едет в автобусе»
  В: «Петя читает книгу»
  С: «Петя насвистывает»
  Расшифровать выражения:
  а) Х = ¬А  В  ¬С б) Х = ¬(АВ)
  «Петя не едет в автобусе и, не насвистывая, читает книгу»
  «Неверно, что Петя едет в автобусе и насвистывает»
  

• 25 слайд

  Задача 3: перевести на язык алгебры логики высказывание.
  «Вася пойдёт на рыбалку и, если ему повезёт, он вернётся домой с уловом».
  Решение: Данное высказывание создано из трёх простых высказываний :
  А: «Вася пойдёт на рыбалку»
  В: «Ему повезёт»
  С: «Он вернётся домой с уловом»
  В и С образуют импликацию: В → С
  Импликация (В →С) вместе с высказыванием А образуют конъюнкцию: А  (В→С)
  

• 26 слайд

  Задача 4: перевести на язык алгебры логики высказывание.
  «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит лишь тогда, когда нет дождя».
  Решение: Высказывание разобьём на три простых:
  А: «Дует ветер»
  В: «Солнце светит»
  С: «Дождь идёт»
  В и ¬С образуют эквивалентность: В ↔  С
  Высказывание А с эквивалентностью (В ↔С) образуют импликацию: А → (В↔С)
  Результат:
  

• 27 слайд

  4. Законы алгебры логики
  Для операций конъюнкции, дизъюнкции и инверсии определены законы булевой алгебры, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:
  Закон идемпотентности (отсутствие степеней и коэффициентов): А & A = A A  A = A
  Закон коммутативности (переместительный): A  B = B A A & B = B & A
  Закон ассоциативности (сочетательный): (A B) C = A (B  C) (A & B) & C = A & (B & C )
  Законы дистрибутивности (распределительные): (A B) & C = (A & C) (B & C) (A & B) C = (A C)&(B C)
  Законы де Моргана: первый – A & B = A B
  второй – A B = A & B
  

• 28 слайд

  6. Закон двойного отрицания: А = A
  7. Закон исключения третьего (тождественно-истинное высказыва-ние): A  А = 1 (всегда истина)
  8. Закон противоречия (тождественное высказывание): A & А = 0 (всегда ложь )
  9. Действия с логическими константами: A 1 = 1 (всегда истина) А & 1 = A А 0 = А А & 0 = 0 (всегда ложь)
  Следствие основных законов:
  Формулы поглощения: А  А & В = A A & (A  B) = A
  А  (А & В) = A  B A & (A  B) = A & B
  2. Формулы склеивания: A & B A & B = A (A B) & (A B) = A
  3. Формулы замены операций: A ↔ B = A & B A & B
  A ↔ B = (A B) & (A  B)
  A ↔ B = (A→B) & (B→A )
  A→B = ¬A B
  

Краткое описание документа:

Презентация "Логические основы построения компьютера" может быть использована на уроках информатики как учителями, так и учащимися 9-11 классов для самостоятельного подготовки по теме "Логические основы построения компьютера". В презентации представлены основные понятия логики, логические операции и законы логики, а также задания для самоконтроля.