Решение задач алгебры логики с использованием кругов Эйлера-Венна (на примере заданий ЕГЭ)

МБОУ «Лицей – интернат (школа для одарённых детей) г. Буинска РТ»

Урок по информатике:

«Решение задач алгебры логики с использованием кругов Эйлера-Венна  (на примере заданий ЕГЭ)».

Разработала

 учитель информатики

 первой категории

 Латыпова Л. С.

Буинск, 2014

Актуальность: Многие из учеников 10 класса изъявили желание сдавать ЕГЭ по информатике. При решении заданий ЕГЭ, наиболее трудной темой для учащихся является «Логика». По этой теме существуют различного класса задания. Например, задания части  В (составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений) часто вызвало затруднение среди  выпускников.  Решать их можно, в том числе, и с помощью кругов Эйлера, что существенно облегчает дело. Что это такое и как их используют в решении логических задач, мы рассмотрим на уроке.

 Основной задачей школы является не подача детям большого объёма знаний, а обучение учащихся самим добывать знания, умению перерабатывать эти знания и применять их в каждодневной жизни. Поставленные задачи может решить ученик, обладающий не только умением хорошо и много работать, но и ученик с развитым логическим мышлением. В связи с этим во многие школьные предметы вложены различного типа задачи, которые и развивают у детей логическое мышление. Решая эти задачи, мы применяем различные приёмы решения. Одни из приёмов решения – это использование кругов Эйлера.

Цели:

1Обучающие:

1. Познакомить учащихся с новым видом диаграмм – кругами Эйлера
2. Научить составлять схемы по условию задачи.
3. Научить решать задачи ЕГЭ с помощью этих схем.
4. Расширить арсенал средств учащихся для решения логических задач

1.      Развивающие:

1.      Развивать логическое мышление

2.      Развивать внимание

3.      Развивать память

4.      Развивать уверенность в решении задач ЕГЭ.

2.      Воспитывающие:

1.      Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников

2.      Воспитывать умение работать в группах.

3.      Воспитывать дисциплинированность

Ход урока.

1.     6 мин.  Орг. Момент. Постановка целей урока

- Здравствуйте ребята, уже несколько уроков мы изучаем основы алгебры логики. Вы многое умеете и знаете.

- Давайте вспомним, что мы узнали?

Учащиеся:

Мы  узнали:

- логическое высказывание, логические величины,    логические операции.

- этапы составления таблиц истинности;

- основные базовые элементы логических схем;

- правила составления логических схем.

- правила преобразования логических выражений и законы логики
- основные понятия и определения.

Что мы умеем?

Учащиеся:

Мы  умеем:

- приводить примеры логических высказываний;

- называть логические величины, логические операции.

- составлять таблицы истинности;

- составлять логические схемы.
- упрощать логические выражения;

- уметь решать логические задачи, сформулированные на обычном языке
- строить логические схемы по логическому выражению и наоборот;

- решать логические задачи, используя законы логики.

 Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы.

Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «зафиксирована», представлена неявно и надо уметь её извлечь.

Тема нашего сегодняшнего  урока: «Решение логических задач с использованием кругов Эйлера на примере заданий ЕГЭ». Запишите в тетради. Целями  нашего урока являются: Познакомиться с новым видом диаграмм – кругами Эйлера. Научиться составлять схемы по условию задачи. Научиться решать задачи ЕГЭ с помощью диаграмм Эйлера. Развивать логическое мышление. Воспитывать умение работать в группах.  Поэтому эпиграфом для нашего сегодняшнего урока я выбрала слова знаменитых людей: «Всё наше достоинство заключено в мысли. Не пространство, не время, которых мы не можем заполнить, возвышает нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить.»    Б. Паскаль.

«Экзамен - это уникальная возможность узнать что-то полезное хотя бы на несколько дней. / Французский бизнесмен и творческая личность Джордж Элгози.

Сегодня я разделила вас на 2 группы так, как работая в группах, вам будет легче сообща находить ответы на некоторые заданные вам вопросы и задачи, самим добывать знания.

Цель каждой группы: Проявление активности и творчества.

2. 5 мин.  Разминка. Актуализация опорных знаний.

2. Соедините правильные определения или обозначения:

      1. Логика                                            1. А → В

      2. Высказывание                                2. Логическое сложение

      3. Алгебра логики                              3. Наука о формах и способах мышления

      4. Логическая константа.                  4. Логическое отрицание.

      5. Дизъюнкция                                   5. ИСТИНА и ЛОЖЬ

      6. Инверсия                                         6. А↔В

      7. Конъюнкция.                                  7. &

      8. Импликация                                    8. Наука об операциях над высказываниями
      9. Эквивалентность                            9. Повествовательное предложение, в котором         

                                                                      что-либо утверждается или отрицается

4. Найдите значения логических выражений.

        а) (1V1)V(1V0);

        б) ((1V0)V1)V1;

        в) (0V1)V(1V0);

        г) (0&1)&1;

        д) 1&(1&1)&1;

        е) ((1V0)&(1&1))&(0V1);

        ж) ((1&0)V(1&0))V1;

        и) ((0&0)V0)&(1V1).

Ответы:  а) 1     б) 1  в) 1      г) 0      д) 1      е) 1      ж) 1     з) 0      и) 0

3. 5 мин. Основная часть.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.  Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки

Обозначение отношений между объемами понятий посредством кругов было применено еще представителем афинской неоплатоновской школы — Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.

Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга, как это показано на рисунке:

Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как это сделано на рисунке.

С помощью этих кругов очень легко понимать суть логических операций.

Логические операции и их визуальное представление с помощью диаграмм Эйлера-Венна

В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству. Для построения соответствующей диаграммы выберем строку таблицы истинности, в которой Ā=1. На диаграмме заштрихуем область, в которой значение А такое же, как в выбранной строке, т.е. 0. Здесь и далее следует учесть: в области, изображающей объём понятия А (множество А), значение А равно 1, вне этой области- 0.

В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения множеств.Например, А- множество спортсменов класса.  В- множество отличников класса.  А&В- множество спортсменов и отличников класса.

В теории множеств дизъюнкция соответствует операции объединения множеств.

Например: АvВ – множество спортсменов или отличников класса.

В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее можно отобразить импликацию с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Заштрихуем три области, в которых значения А→В равно 1.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквивалентности  множеств.

Заштрихуем две области, в которых значения А↔В равно 1.

4. 20 мин. Закрепление полученных знаний

Рассмотрим решение некоторых задач. Начнём с самой простой:

5 мин. Задание В6 из демоверсии ЕГЭ 2013. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический (М), физический  (Ф) и химический  (Х) кружки, причём  М посещают 18 человек, ф – 14, х – 10. Кроме того известно, что  2 человека посещают все три кружка,

8 человек – и математический и физический,  5 – и математический и химический,

3 – и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

 (Прочесть условие задачи. Дать время на самостоятельное решение. После решить задачу поэтапно, задавая наводящие вопросы и получая ответы учеников.)

Вопросы: Как в решении можно использовать круги Эйлера? Как обозначим подмножества учеников? Как обозначим учеников, которые посещают все три кружка? Как можно найти количество учеников не посещающих ни один кружок?

3 мин. Задача на сообразительность.

Задача 1. Устно и очень быстро  (по рисунку на доске) ответить на вопросы учителя. На рисунке изображена схема школьников, изучающих разные языки.

А) Сколько всего учащихся (школьников)?  77

Б) Сколько учащихся изучают английский?  28

В) Сколько учащихся изучают английский и немецкий?  6

Г) Сколько учащихся изучают немецкий?  10

Д) Сколько учащихся изучают английский и французский? 8

Е) Сколько учащихся изучают английский и французский, но не изучают немецкий? 6

Ж) Сколько всего учащихся изучают все три языка? 2

З) Сколько всего учащихся ничего не изучают? 41

6 мин. Сейчас каждая группа получит по 1 задаче из демоверсии ЕГЭ. Они разные. Каждая группа должна попытаться решить эти задачи с помощью диаграмм Эйлера. После чего один представитель из каждой команды выйдет к интерактивной доске и покажет нам ход решения.  

Задача для 1 группы: Задание В6 из демоверсии 2014

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

декабрь & февраль

Решение: 645-225+113=533.

Задача для 2 группы: В3. Миша, Коля и Лева прочитали вместе 3 книги. Только Миша и Коля вместе прочитали 1 книгу; только Миша и Лева вместе не прочитали ни одной книги; только Коля и Лева вместе прочитали 3 книги.

Миша в одиночку книг не читал; Коля в одиночку прочитал лишь одну книгу, а Лева – 2. Кто из трех мальчиков прочитал книг меньше всех; кто больше всех?

Решение:

Задания для групп:

• 6мин. Творческое задание.  Каждая  группа должна нарисовать  диаграмму Эйлера для другой группы, содержащую не более5 логических операций. И передать ее др. группе, которая должна и построить по ней логические формулы.

   Обе группы должны прорешать свое задание и задание соперников. Затем один представитель выходит к доске, ставит полученную от другой команды диаграмму под документ камеру и показывает логические формулы, которые они смогли написать в команде.

5. 6 мин. Заключительный тест.Проверка полученных знаний. Ученики выполняют тест индивидуально за компьютерами.  Сразу же после выполнения они видят свои оценки.  

Тестовые вопросы:

1.  Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:

А) алгебра;    Б) геометрия;             В) философия;      Г) логика.                      

2.  Повествовательное предложение, в к-ом что-то утверждается или отрицается называется:

А) выражение;    Б) вопрос;            В) высказывание;      Г) Умозаключение. 

3.  Константа, которая обозначается «1» в алгебре логики называется:

А) ложь;       Б) истина;        В) правда;           Г) неправда.        

4.  Какое из следующих высказываний являются истинным?

А) город Париж — столица Англии;     Б) 3+5=2+4;    В) II + VI = VIII;  Г) томатный сок вреден.                                                 

5.  Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называ¬ется:

А) инверсия;   Б) конъюнкция;      В) дизъюнкция;       Г) импликация.         

6.Чему равно значение логического выражения    (1v1)&(1vО)?

А)1;     Б) 0;       В) 10;        Г) 2.      

7.Какая из логических операций не является базовой?

А) конъюнкция;        Б) дизъюнкция;         В) инверсия;       Г) эквивалентность.      

6. 3 мин. Подведение итогов урока. (Ученики с учителем проводят рефлексию, учитель даёт домашнее задание)

Подведем итоги урока. Достигли ли мы целей, которые ставили перед собой в начале урока? Сегодня мы с вами познакомились с новыми схемами – кругами Эйлера, научились их строить и при помощи них решать логические задачи. Сегодня вы повысили свою квалификацию как ученики – научились новому приему решения логических задач. (Учитель сообщает полученные оценки) и даёт домашнее задание.

Домашнее задание:

В12. Решить домашние задания с помощью кругов Эйлера. Пятеро одноклассников: Ирина, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии.

Известно, что:

• победитель олимпиады по информатике учит Ирину и Тимура работе на компьютере;
• Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;
• Тимур всегда побаивался физики;
• Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;
• Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;
• Ирина cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?