"Метод проблемного обучения" конспект урока

Керченский учебно-воспитательный комплекс-интернат

лицей искусств

Кафедра математики, физики, информатики

Урок в 9 классе

Тема: «Теоремы синусов и косинусов»

Учитель математики:

Дорошенко Татьяна Петровна

г. Керчь

2015 г.

Урок проведен в рамках реализации проекта «Метод проблемного обучения»

Тема урока: «Теоремы синусов и косинусов»

Цель урока: добиться сознательного усвоения нового материала: содержания и доказательства теорем синусов и косинусов. Показать применения выводов к решению задач; показать практическое приложение математических знаний; воспитывать интерес к математике; развивать логическое мышление, творческие способности, способности к самообучению и самообразованию.

Тип урока: школьная лекция.

I.                 Актуализация опорных знаний.

- Мы начинаем изучать тему «Решение треугольников»

Треугольник является одной из основных геометрических фигур. Почему? (многие из известных фигур: параллелограмм, трапеция, произвольный многоугольник можно разбить на конечное число треугольников.)

- Назовите основные элементы треугольника. (стороны, углы)

- Что значит решить треугольник? (Это значит по заданным элементам треугольника найти остальные).

Какие треугольники мы умеем решать? (Прямоугольные).

- Сколько элементов нужно знать, чтобы решить прямоугольный треугольник? (Два).

- Сколько элементов нужно знать, чтобы решить произвольный треугольник? (Следует задать две стороны и угол между ними; одну сторону и два прилежащих угла; три стороны. По этим данным можно построить единственный треугольник).

_ Дать определение синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

 ;

   ;                                  

-         Назовите основное свойство пропорции:

-         Восстановить пропорцию, если известно:

 ;  5а = 8р ;

II.                Решая прямоугольные треугольники, мы научились решать такую геодезическую задачу:

Определить высоту дерева:

Угломерный прибор – теодолит.

- Рассмотрим еще одну геодезическую задачу:

Найти высоту скалы.

Задача отличается от предыдущей тем, что подойти к вершине прямого угла нельзя.

По сути, нужно решить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

;

АС найдем из , в котором CD = a;  ; .

III.           Чтобы решить эту задачу и другие, установим зависимость между

сторонами и углами треугольника.

Введем обозначения элементов треугольника.

- По какой известной формуле можно установить зависимость между сторонами и углами треугольника?

Используя формулы для нахождения площади треугольника можно записать:

Используя основное свойство пропорции, восстанавливаем пропорцию:

Следовательно:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

- Запишите в тетрадях:

Теорема синусов:              

; ;   .

Отсюда следует, что .

Используя основное свойство пропорции, по произведению восстановим пропорцию:

- Существуют и другие способы доказательства теоремы синусов.

Из

 Из

Значит,

 =

-         Как получить еще одно отношение? 

(провести еще одну высоту)

- Почему доказательство первым способом более общее, чем вторым?

(Для второго доказательства использовали остроугольный треугольник и, следовательно, нужно рассмотреть отдельно случай, когда высота треугольника расположена вне треугольника.)

- Теперь вернемся к нашей задаче.

IV.         Итак, мы доказали теорему синусов и с ее помощью можем решать треугольники.

V.             Решить задачу 4 по теореме синусов мы не можем. Решив ее, мы докажем еще одну теорему!

(Предложить учащимся самостоятельно решить задачу)

 Проведем высоту АН.

  Из

HB = CB – CH = a -

 По теореме Пифагора:

–Это теорема косинусов

- Как прочитать эту формулу?

- Что мы использовали при доказательстве?

- Доказывая теорему косинусов, мы использовали остроугольный треугольник, как и для теоремы синусов.

Рассмотреть самостоятельно вывод формулы для тупоугольного треугольника.

- Будут ли эти формулы справедливы для прямоугольного треугольника? Почему?

- Теорема косинусов была доказана ученым-математиком аль-Бурини (973-1048 гг.).

Домашнее задание: доказать теорему косинусов для тупоугольного треугольника.

VI.         1) Что мы выучили на уроке?

2)  Для чего нам нужны эти теоремы?

3) Где на практике применяют изучаемые формулы?

4) Что интересного было на уроке?

5) Ваше впечатление от урока изобразите на карточке.

Всем спасобо!