Методы решения квадратных уравнений

                                                                                             Волоконовская СОШ

 

 

 

 

 

 

 

 

8 класс

 

 

                                                                                       Учитель математики

                                                                                  Коломицева В.Д.

 

 

 

 

 

Цели и задачи урока:

¯ выявить специфику решения отдельных квадратных уравнений, научить применять соответствующие методы к решению квадратных уравнений;

¯ развивать логическое мышление.

Оборудование: компьютер, портрет Виета.

Ход урока

I. Организация класса.

Отсчёт консультантов о выполнении домашней работы.

II. Постановка цели и объявление темы урока.

III. Фронтальный опрос.       (слайд 1)

1. Какое уравнение называется квадратным?
2. Что такое дискриминант?
3. Когда квадратное уравнение имеет:

а) один корень;
б) два корня;
в) не имеет корней?

4. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
5. Какие квадратные уравнения называются неполными?
6. Сколько типов неполных квадратных уравнений? Какие?

( слайд 2):   

1. Назовите коэффициенты квадратных уравнений:

а) 2х² + 4х + 21 = 0;
б) 3х² + 6 = 0;
в) 7х - х² + 20 = 0;
г) 2х²  = 0;
д) 20 - 4х² - 7х = 0;
е) х² – х = 0.

Назовите неполные квадратные уравнения.

(Те  учащиеся,  которые не участвуют в эстафете, решают неполные квадратные уравнения:

а) 3х² + 6 = 0;
б) 2х²  = 0;
в) х² – х = 0.)

IV. Эстафета (две команды)

Учитель объявляет условия эстафеты: чья команда победит, ту команду ждёт поощрительный приз, который находится в конверте на последней ступени эстафеты.

Ответы (на отдельных карточках):

1.     {-1/4;1/4};

2.     {0;5/6};

3.     {0;1};

4.     {0;18};

5.     {0;-5/6};

6.     {-1/5;1/5};

7.     {0;7/8};

8.     {0;8};

9.     {0;-7/8};

10. {0;-8}.

Игроки выбегают к доске, решают снизу вверх уравнения

Решив уравнение, игрок находит ответ (ответов больше, чем уравнений), закрепляет его пластилином напротив своего уравнения, передает мел следующему игроку своей команды. И так продолжается эстафета.

V. Различные способы решения полных квадратных уравнений.

- А теперь обратимся к полным квадратным уравнениям.

Рассмотрим уравнение:

(x - 2)(x + 2) = 3(2x - 4).

Упростим его:

x² – 4 = 6x – 12;

x² - 6x + 8 = 0.

Получили полное квадратное уравнение. Решим его различными способами (вызываются к доске 4 ученика).

1 способ:        выделение квадрата двучлена.

х² – 6х + 8 = 0;

(х – 3)² = 1;

х - 3 = -1                 или            х – 3 = 1

х₁ = 2                                         х₂ = 4

Ответ: 2; 4.

2 способ:           по I формуле дискриминанта.

х² – 6х + 8 = 0;

D = b² – 4ac = 4

X_1,2 =             х₁ = 2  ,    х₂ = 4.      

Ответ: 2; 4.

3 способ:          по II формуле дискриминанта.

х² – 6х + 8 = 0;

k == -3

D₁ = k² – ac = 1

х_{1,2 =}                    х₁ = 2  ,    х₂ = 4.      

Ответ: 2; 4.

4 способ:                по теореме, обратной теореме Виета, т.к. а=1.

 х² – 6х + 8 = 0;

               

х₁ = 2,          х₂ = 4.

Ответ: 2; 4.

Остальные учащиеся решают это уравнение в тетради любым методом.

Обсуждение решений.

Теорему Виета можно цитировать стихами:

Корни надобно сложить,
Минус р чтоб получить (р=b/a).
Двух корней произведенье
Даст нам q из уравненья (q=c/a).

По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета.

Из истории.      Портрет Франсуа Виет   (слайд 3)

         Физкультурная минутка

VI. Другие методы решения полных квадратных уравнений (устно).

а) х² + 10х – 24 = 0                                      х₁ = 2,    х₂ = -12.

б) х² + 7х + 12 = 0                                       х₁ = -3,    х₂ = -4

в) 132х² – 247х + 115 = 0            проверяем: а + b + c = 0x₁=1 и x₂ =

г) 345х² + 137х  - 208 = 0           проверяем: а - b + c = 0x₁= -1 и x₂ =

д) 2х² – 11х + 15 = 0                    метод «переброски»:

                         2х² – 11х + 15 = 0

                         У² – 11у + 30 = 0

По теореме, обратной теореме Виета  у₁ = 6, у₂ = 5.

(х₁ =    и           х _{2 =}  )                х₁ = 3, х₂ = 2,5      

VII. Самостоятельная работа

(разбивается класс на 3 варианта: 1 вариант – «слабые учащиеся», 2 вариант – «средние учащиеся», 3 вариант «сильные» учащиеся).

Вариант 1

Решить уравнения:

а) х² – 5х + 6 = 0;      б) □х² + 5х – 3 = 0         в) х² + □х = 0.

Ответ: 0; 3.

Вариант 2

Решите уравнения:

а) х² – 7х + 12 = 0;      б) 4у² – 4у - □ = 0;         в) □ = 0.

Ответ: -7; 7.

Вариант 3

Решите уравнения:

а)      ;       б) (х - □)(х + □) = 2 (х + 10);              в) 25у² + □ = 0.

Ответ: -0,4; 0,4.

Все решают первое уравнение; из корней находят наименьший и вставляют его вместо квадратика во второе уравнение, затем решив его, опять выбирают наименьший корень и вставляют его в квадратик третьего уравнения и решают его.

Проверка уравнений осуществляется самими учащимися. Учитель даёт только окончательные ответы. Ученики выставляют карандашом оценку.

VIII. Решение задачи с помощью квадратного уравнения.

Индусская задача (её перевёл автор превосходной книги «Кто изобрел алгебру?» В.И. Лебедев,  стр.136 «Занимательная алгебра»).

Задача.

«На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали...
Вместе сколько ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?»

Решение:

Пусть общая численность стаи х, тогда

;

х² – 64х + 12*64 = 0;

х² – 64х +768 = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

х₁ = 48       х₂ = 16.

Ответ: 16; 48.

IX. Итог урока.

Какие методы решения квадратных уравнений использовались на уроке?

X.  Домашнее задание: придумать 5 квадратных уравнений на различные методы и решить их.