Методическая разработка открытого урока по теме: "Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема занятия:"Дифференциальное и интегральное исчисление"

Цель открытого урока: совершенствовать методы обучения математике, добиваясь понимания ее "всяким желающим из публики".

Учебная цель: обобщить, углубить, систематизировать знания  учащихся по теме: "Дифференциальное и интегральное исчисление".

Воспитательные задачи:

- воспитывать интерес к математическим знаниям посредством решения простейших задач элементарной математики с помощью высшей математики;

- воспитывать творческую личность с развитым логическим, визуальным аппаратом мышления.

Развивающие задачи:

- развивать потребность применять обобщения с умственным экспериментированием;

- развивать уверенность в своих возможностях, развивать самостоятельность мышления  и творческие способности.

Личностные УУД: понимать значимость понятий производная и первообразная в курсе математики и в профессиональной деятельности.

Регулятивные УУД: понимать последовательность действий на уроке; рационально использовать время на уроке; контролировать свою деятельность; давать эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.

Коммуникативные УУД: работать в паре, оценивать качество своей деятельности.

Познавательные УУД: применять таблицу производных и первообразных для графического дифференцирования и интегрирования, уметь определять точи экстремума функции с помощью первой и второй производной, точки перегиба графика функции.

Планируемые результаты:

Предметные:

а) студенты имеют представление о выборе метода математической модели изучаемого объекта, явления, процесса в поле информации изучаемой темы;

б) студенты умеют строить логическую цепочку знаний, которая основана на интуитивном, образном мышлении;

в) студенты умеют применять полученные знания по теме к  выполнению упражнений нетрадиционного характера.

Личностные:

Формирование математического кругозора.

Метапредметные:

1. Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для технической сферы.

 Основные понятия:

Функция, производная, смысл производной, дифференцирование, первообразная , интегрирование, таблицы производных и первообразных, их применение.

Межпредметные связи:

Основы электротехники, физика, геометрия, биология, экономика и др.

Вид урока: урок - беседа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: объяснительно - иллюстративный, частично - поисковый, информационно - развивающий, продуктивный.

Оборудование и наглядные пособия:

мультимедийный проектор. компьютер, демоэкран, презентация по теме урока, раздаточный материал к уроку, учебники, контрольно - измерительные материалы.

Формы обучения: групповая, фронтальная, индивидуальная.

План занятия:

1. Актуализация опорных знаний, введение в изучаемую тему урока.

2. Мотивация. сообщение темы, цели. плана занятия, роли изучаемой темы в практической деятельности человека.

3. Восприятие учебного материала. Демонстрация примеров и задач прикладного содержания, иллюстрирующих основные положения курса высшей математики - дифференцирование и интегрирование.                            

4. Закрепление полученных знаний. Решение мини - теста - матрицы (2*2) по теме:"Применение первой, второй производной к исследованию функций".

5. Контроль и самопроверка знаний. Решение теста с ответами в виде цифрового кода.

6. Рефлексия по проведенному уроку.

7. Итог занятия.

Структурные элементы учебного занятия

Этапы	Дидактические задачи	Показатели реального результата решения задач
Начало занятия	Для педагога: обеспечить адаптацию, актуализацию. Для студентов: Иметь представление об основной идее урока; Знать особенности изучения математических понятий посредством наглядных образов из окружающей жизни.	Результатом явились моменты развития древа математики, высказывание ученого - математика С. В. Ковалевской.
Подготовка к основному этапу	Для педагога: Познакомить с целью урока, планом урока, акцентировать внимание на межпредметные связи. Для студентов: Уточнить значение понятия "обобщение" с философской точки зрения.	Сообщены: тема, цели, план занятия, роль изучаемой темы в практической деятельности человека.
Обобщение и систематизация знаний	Для педагога: Развить частично - поисковые навыки в процессе решения задач исторического содержания. Для студентов: Осознать ценность культуры прошлого.	Решение задачи на вычисление объема лимона. а затем - эллипсоида вращения, расход воды на гидроэлектростанции, площадь прямоугольника, задача на оборот предприятия - учащиеся эти задачи решают.
Контроль и самопроверка знаний	Для педагога и студентов:  способствовать развитию образного, интуитивного мышления в процессе решения визуальных тестов.	Средний балл решенных тестов:
Рефлексия	Для педагога: Осознать правильность выбора приемов, метода проведенного урока. Для студентов: Уяснить для себя. где пригодится изучаемый материал в дальнейшем, и осознать себя субъектом познавательного процесса.	Урок положителен, исходя из оценочного результата и рефлексии Средний балл 3,9.
Итог	Для педагога: Дать анализ и оценку деятельности студентов на уроке.	Учащиеся поощрены за сотрудничество, оценочные результаты известны.

Этот урок не только для тех, кто изучает математику в пределах учебной программы, но и желает задуматься о природе математических законов, их полезности для практической деятельности и, наконец, красоте математики.

     Оказывается, что математические формулы лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

    При всей четкости и емкости формул - не в них душа математики.

    Софья Ковалевская: "В математических работах... главное - содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык - это формулы".

     Итак: первично - содержание, идеи, понятия, а форма, формулы - вторично.

     Древо математики не поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубину общечеловеческой практики, поэтому иллюстрациями к математическим понятиям могут служить анекдоты и приметы, пословицы и детские считалки, картины великих художников и отрывки из классических произведений, факты историй из нашей повседневной жизни.

     Итак, на сегодняшнем уроке важны основные идеи и понятия.

А если присутствующие на этом уроке войдут во вкус, то они могут заглянуть в учебники по соответствующей теме...

     Выразим иносказательно дух нашего урока. Представим себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но несведущий, а на другом - раскинулись райские сады математики, книги о математике - словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников, а в промежутке - не так уж много для уверенной переправы. Перечислить учебники...

     Где - то здесь мы и должны проложить мостик к другому берегу.

    В зарисовка, лаконичных и в то же время детальных, поэтичных и в то же  время глубокомысленных, подтверждаемых задачами из практики, мы постараемся показать в таких картинах важнейшие области математики:

Тема занятия: "Дифференциальное и интегральное исчисление"

Познавательная цель занятия: обобщить, углубить, систематизировать знания по теме: " Дифференциальное и интегральное исчисление"

План занятия:

1. Актуализация опорных знаний, введение в изучаемую тему урока.

2. Мотивация. сообщение темы, цели. плана занятия, роли изучаемой темы в практической деятельности человека.

3. Восприятие учебного материала. Демонстрация примеров и задач прикладного содержания, иллюстрирующих основные положения курса высшей математики - дифференцирование и интегрирование.                            

4. Закрепление полученных знаний. Решение мини - теста - матрицы (2*2) по теме:"Применение первой, второй производной к исследованию функций".

5. Контроль и самопроверка знаний. Решение теста с ответами в виде цифрового кода.

6. Рефлексия по проведенному уроку.

7. Итог занятия.

.

Ход урока:

Энгельс писал:

"Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и - процессы: движение".

картина мира, которую нарисовала классическая физика, выполнена в технике дифференциальных уравнений.

      Завоевывая для математики все более широкие сферы приложения, дифференциальное и интегральное исчисление одновременно наводило порядок и в тылах этой древней науки. Оно давало универсальные и эффективные методы для решения многих задач. которые по своей статической сути(например, площадь прямоугольника) принадлежат к прежней, элементарной математике.

     Элементарная математика знает формулы для объема пирамиды, конуса, шара. Каждая из этих формул далась первооткрывателям приемом оригинальным и неповторимым. Это скорее драгоценные камни, нежели строительный материал, из которого можно"смонтировать" общую формулу для объема любого тела.

Как, например, вычислить объем лимона?

Задача кажется неразрешимой.

А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее решению. готовя лимон к употреблению, нарезая его на дольки.

    С того же начал бы и знаток интегрального  исчисления. готовясь вычислить объем этого эллипсоида вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен сумме объемов долек, для каждого из них он приближенно выражается произведением высоты на площадь основания либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и любую промежуточную величину.

 Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

1., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

2.  , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

    При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в реке, т. е. количество воды, протекающей в данном месте за 1 сек. Ясно, что расход воды в реке равен произведению площади поперечного сечения на скорость течения. Скорость течения найти довольно просто, а вот площадь поперечного сечения найти гораздо сложнее.

   Однако  и здесь на помощь нам приходит разрезание на ломтики. каждый ломтик можно приближенно заменить прямоугольником. складывая затем площади этих прямоугольников, мы найдем приближенное значение площади сечения. Чем тоньше будут ломтики, тем более точное значение площади мы получим.

    Измерим глубину реки в точках, находящихся на расстоянии   , ширина реки - Н.

Пусть на расстоянии  от берега реки глубина равна f( ).

 Тогда площадь поперечного сечения приблизительно равна  сумме произведений одной стороны прямоугольников на другую.

В этом нетрудно усмотреть ту же схему интегрирования, по которой мы вычисляем площади криволинейных фигур (трапеций). под таким углом зрения нам видна дорога до поставленной цели сначала определить функцию, по которой меняется площадь сечения вдоль оси, для этой функции найти первообразную и, наконец, воспользоваться формулой Ньютона  - Лейбница:

    Так, в чисто статические на первый взгляд задачи входят движение, переменные величины, а вместе с ними - методы дифференциального и интегрального исчисления, основоположниками которых являются Ньютон и Лейбниц (XVII век). И задачи, не разрешимые в рамках элементарной математики, элементарно решаются благодаря новому подходу, суть которого составляют переменные величины.

    Недаром вся созданная на их основе математика, обеспечившая становление и развитие классической физики, называется высшей в отличие от прежней, элементарной.

Площадь прямоугольника, изображенного на рисунке, через интеграл равна: = kx|=kb - ka = k(b - a)

А что мы знаем о применении первой и второй производной к исследованию функций на экстремум, т. е. max, min?

Вопрос студентам: "Как называются точки экстремума функции и точки, в которых производная не существует?

Ответ: критические.

    Многочисленные приложения производной приводят к краткому и изящному решению практических задач.

     Как мы поняли из вышесказанного, что всякий процесс или явление, протекающее во времени, характеризуется наряду с другими показателями такой важной характеристикой, как скорость. можно говорить о задаче нахождения скорости неравномерного движения, о скоростях накопления биомассы, изменения линейных размеров растения, изменения урожайности, химической реакции и т. д.

   В производственных испытаниях и научных исследованиях результаты опытов чаще всего   виде таблиц и графиков, из которых можно сразу увидеть, при каких значениях регулируемых человеком факторов достигается желаемый максимум (минимум) изучаемой величины.

  Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями часто используется на практике.

Он позволяет изучать одни явления, наблюдая другие. если только оба явления описываются одинаковыми уравнениями. пусть. например, надо выяснить, как будет двигаться под землей нефть в районе буровых скважин. Наблюдать движение нефти под землей было бы очень затруднительно.

   Но движения описываются теми же самыми дифференциальными уравнениями, что и движение электричества. поэтому собирают электрическую цепь, в которой движение электричества происходит так же. как изучаемые движения нефти.

     Измеряя напряжение и силу тока в разных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее всего поставить буровую вышку,  куда надо накачивать воду, чтобы усилить выход нефти.

    Такое изучение одних явлений при помощи других, описываемых теми же самыми уравнениями. называется  моделированием явлений.

    К дифференцированию прибегают всякий раз, когда встает вопрос о скорости изменения какой - либо функции по мере изменения аргумента, когда эта скорость оказывается непостоянной, а определить ее требуется точно для любого значения аргумента.

   Заряд батареи, питающей электрическую цепь, убывает со временем.    Скорость убывания есть ток. Он может оказаться различным в разные моменты и поэтому должен определяться как производная заряда по времени.

     Тепло, содержащее в нагреваемом теле, нарастает с ростом температуры.        Интенсивность нарастания есть теплоемкость - своя для каждой температуры. И здесь не обойдешься без дифференцирования: теплоемкость - производная  количества тепла по температуре.

     Подобно тому, как дифференцирование оказывается полезным не только при определении мгновенной скорости движения, так и интегрирование применяется не только тогда. когда требуется рассчитывать пройденный путь по времени и скорости.

    Операция, обратная дифференцированию, интегрирование, позволяет определять, как зависит от времени заряд. если в каждый момент известно значение тока, как растет количество тепла в теле. если для каждой температуры известна его теплоемкость.

Короче говоря, интегрирование позволяет рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.

      Колокольный звон - с какой операцией дифференцирования или интегрирования ассоциируется?

     А сейчас выполним задание:

На карточке расставить знаки () у первой и второй производной (5 - 7 минут)

Дополнительная задача: ( в зависимости от оставшегося времени)

Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49 х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

А теперь выполним тест на графическое дифференцирование и интегрирование.

    Перед вами 15 графиков функций, для которых из второго столбца нужно выбрать функцию так, чтобы между двумя картинками можно было поставить знак равенства, учитывая, что выполнить надо две операции: дифференцирование и интегрирование. Ответы написать в 2- х строчках в виде цифрового кода.

I Ответ: 5 - 6 -4 - 8 - 7- 1 -2 -3

II ответ: 3-1-4- 5-6-2-7 (цифры кода писать в 2-х экземплярах)

Краткое описание документа:

Методический материал к открытому уроку по математике, проведенному в 2019 году для студентов I курса, по теме: "Дифференциальное и интегральное исчисление"

Из самоанализа проектируемого урока по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Главной проектируемой целью урока длясебя я ставлю цель совершенствования технологических приемовУДЕ на уроках математики.

Традиционная методика ведения уроков по математике направлена на развитие, активизацию левополушарных учеников, т.е. учеников с развитымлогическиммышлением. Понекоторымоценкам у 87 % детей школьного возраста доминирует правое полушарие, что важно учитывать при организацииобразовательногопроцесса.

Правополушарное мышление - этодревний механизм образного мышления и, как я считаю, образовательный процесс должен быть построен с учетомцелостной природы человека: на основене только интеллектуальных возможностей, но и на основе образногомышления, чувств и прочих проявлений правого полушария мозга.

УДЕ на уроках математики обеспечивает тесную связьлево -и правополушарного мышления.

Дидактическойцелью я ставлю цель: использовать средства активного повторения через преобразование, изменение, дополнение уже имеющихсяпредставлений об интегрируемости дифференцируемости функций.

Целью развития личности ставлю:

- воспитание потребности применять обобщения, поскольку онисвязаны с преобразованиеммыслей с умственнымэкспериментированием; оно есть одно из самых важных средств самообучения, автодидактики, то есть самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.

Вид урока: смешанный

Тип урока: усвоение обобщения и систематизациизнаний

Метод обучения по источнику знаний: словесно- наглядный.

Повторение известныхправил,формул, графиковфункций рассматриваетсяодновременно на аналитическом, графическомязыке, языке матриц.

Изучение древа знаний по данной теме приводит к экономному обучению, повышающему сохранностьпамяти и действенность знаний, выявление новыхсвязей.

На уроках демонстрируется связьизучаемогоматериала с производственнойсферой приложенияматематических знаний,дисциплинами: физикой, геометрией, электротехникой и др.

Самоанализоткрытогоурокапоматематике преподавателя

Куриловой Л.А

Тезаурус:

- принцип научности - использование правил эффективногообщения, как-то: контакт субъектов эмоционально - чувственный (эмотивный). Стиль изложенияучебногоматериала высокопарный;

- принципбиоэнергетический (энерго - информационныйконтакт, т. е. создание позитивной энергетики в пространстве общения, объединяющей всех участников, и как результат - получение удовольствия от общениядруг с другом, ощущение чувства радости от встречидруг с другом;

- принцип адресности (учет того, что урок проводился в группеэлектриков и межпредметнаясвязь нацелена на электротехнику и ее приложения в народномхозяйстве);

- принцип креативности (графическоедифференцирование и графическое интегрирование);

- принципэкзистенциальности (подаче информации через образное представление - приемом УДЕ).

Открытый урок по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление» является нетрадиционным по следующим признакам:

а) использование внепрограммногоматериала, углубленноепроблемное изучениетемы в аспектеприложения к практической деятельности;

б) индивидуальноетворчество преподавателя (УДЕ, тесты - графики)

Урок обобщает ранее изученныетемы: «Дифференцирование функций», «Интегрированиефункций»черезактивноеповторение, дополнение имеющихсяпредставлений (примеры с эллипсоидом вращения, с гидроэлектростанцией, S прямоугольника, добычей нефти, производственной задачей и т.д.).

В процессеурокаучитывались особенностистудентов по каналам восприятия:

аудиалы - слушали запись голоса учителя, стихи, изреченияматематиков,необычныйстиль изложенияучебного материала - высокопарный и др;

визуалы - длянихяркиемоментыурока: лимон, слайды с чертежами, портретамиученых;

кинестеты - воспринимали информацию, связанную с действиемрадиоящика , т.е. транзистора, на языке радиотехники и математики. Более «слабым» была оказана незначительнаяпомощь в решении визуальныхтестов.

Целеполагание быловыполнено подтакимуглом: проектировочная цель, дидактическаяцель (знания и умения), воспитательныецели, цельразвитияличности, УУД, рефлексивныецели.

На уроке студенты применяли известнуюформулуинтеграладлярешениянестандартныхзадач, таких как: S прямоугольника, S треугольника,

V эллипсоидаи др.

Контрольно - измерительнымиматериалами явились:

Мини - тест (матрица) «Применениепервой, второй производной к исследованиюфункций»

Тест - графическое дифференцирование

Тест - графическое интегрирование

Учебныйматериал дополняет ранее изученныйматериал, показывает егоприменение на практике, в обыденнойжизни.

Приемактивноговключения в познавательныйпроцесс - речь учителя, записаннаянапленку с изречениемС. Ковалевскойобосновнойидее урока и еепортретом - создалив начале урокаположительную мгновеннуюмотивацию. Изречение П.М. Эрдниева - авторатехнологии УДЕ, академика РАО, заслуженного деятеля науки РСФСР:

«Обобщение означает переходзнания на болеевысокийуровень на основе установления дляданныхобъектов общихсвойств илиобщихотношений»

Лимон,модели: пирамиды, конуса, цилиндра, шара - все этопослужило средствомактивизации познавательногопроцесса.

Урокпослужил формированию надпредметного умения обобщать путемсравнения графическогодифференцирования и графическогоинтегрирования. Форма, вкоторой этоумениедолжно быть освоено всемиучащимися, - решение сравнительных визуальныхтестов.

Впроцессеурока былообращеновнимание на развитие психологическиххарактеристик личностиучащихся

- интересакпрошлому (исторические моменты)

- склонностейксравнению, сопоставлениюсобытий прошлогоинастоящего, к оценкеявленийпрошлого спозицийэстетических, научных, мировоззренческих, нравственных

-психическихсвойств, таких, как память, вербальная и образная, произвольноевнимание, сочувствие, эмпатия, коммуникативность, воображениеясностьречи.

Урок послужил целям:

- личностно - ориентированного обучения и воспитания;

- дифференцированного обучения и воспитания (по рефлексии учащихся появляется возможность глубже понимать студентов, через слово развиваетсяречь, осмысленнаяречь);

- диалоговоеобучение и воспитание -интерактивное.

Ход урока предвиден и соответствуетчеткомуплану. Результатомурока послужили за два теста средний балл 3,9. Урокцелидостиг.

Помимо оценочнойрезультативности урока в рефлексии студентов прозвучали положительные отзывы о качестве проведенногоурока