Методическая разработка. Подготовка к ЕГЭ по математике: эффективность применения координатного метода при решении стереометрических задач

Подготовка к ЕГЭ по математике: эффективность применения координатного метода при решении стереометрических задач

(методическая разработка)

Ширшова Наталья Валерьевна,

учитель математики МАОУ «Ишимский
городской общеобразовательный

лицей им.Е.Г.Лукьянец»

РФ, Тюменская обл., г.Ишим

Стереометрические задачи № 14 традиционно вызывают затруднение при сдаче ЕГЭ по математике. Решение многих таких задач традиционными методами и сложно, и объемно, требует сложных вычислений.

Координатному методу в школьной программе геометрии 10 – 11 классов отводится совсем мало времени. Между тем, координатный метод позволяет легко и изящно решить целый класс стереометрических задач.

Покажем эффективность применения координатного метода при решении некоторых типов стереометрических задач, встречающихся на ЕГЭ.

1.      Задачи на нахождение угла между прямыми.

Задача 1.На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁ = 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

Решение 1 (без использования координатного метода)

Примем ребро куба за  

Тогда 

Поскольку , получаем:  и 

Проведем через точку  прямую, параллельную  Она пересекает ребро  в точке , причем треугольники  и  равны. Искомый угол равен углу  (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике  с прямым углом 

В прямоугольном треугольнике  с прямым углом 

В треугольнике 

Откуда

Тогда 

Ответ: 

Решение 2 (координатным методом)

Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D. Ось Ох направим вдоль DA, ось Оу – вдоль DC, ось Oz – вдоль . Пусть ребро куба равно трем единичным отрезкам.

Тогда точки D, А, В, Е и имеют координаты:  

D(0;0;0), A(3;0;0), B(3;3;0), E(0;3;1), (0;3;3)

Скалярное произведение векторов равно:

||=

||=

=||=,

тогда =

Ответ: .

Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом. Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

Решение 1 (без использования координатного метода)

Проведем высоту CH треугольника ABC.

Из пропорциональности сторон  и равенства углов: следует, что треугольники AA₁H и AB₁A₁ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу, следовательно,  Углы A₁HA и BB₁A равны как накрест лежащие. Так как  и  как накрест лежащие, а  то  тогда 

Прямая A₁H перпендикулярна AB₁, A₁H — проекция A₁C, следовательно, , что и требовалось доказать.

Решение 2 (координатным методом)

Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке С. Ось Ох направим вдоль СA, ось Оу – вдоль СВ, ось Oz – вдоль . За единичный отрезок примем   АС.

Тогда точки С, ,  и  A имеют координаты:

C(0;0;0), (1;0;1), (0;1;1), A(1;0;0)

Так как скалярное произведение векторов  и  равно 0, то .

2.      Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Задача. На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 4, а B₁Q = 3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

Решение 1 (без использования координатного метода)

а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рисунок). Тогда точка М — точка пересечения прямых QRи СС₁.

Треугольники ARB и PRC подобны, откуда  

Треугольники QRB и MRC подобны, откуда  следовательно,  Значит, М — середина СС₁.

б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны, равен

C другой стороны, объём пирамиды CPRM равен  Значит,

В треугольнике RPM находим стороны:   

По теореме косинусов

откуда 

Площадь треугольника RPM равна 

Следовательно, 

Ответ: б) 

Решение 2 (координатным методом)

Покажем решение пункта б) координатным методом.

Ведем прямоугольную систему координат с началом координат в точке С. Ось Ох направим вдоль СD, ось Оу – вдоль СВ, ось Oz – вдоль. За единичный отрезок примем АС.

Тогда точки С, А, Pи Q имеют координаты:

C(0;0;0), A(12;12;0), P(8;0;0), Q(0;12;9)

Уравнение плоскости:

Так как плоскость проходит через т. A, P и Q, то

D=-8A

12A+12B-8A=0

4A+12B=0

A+3B=0

B=-A

-4A+9C-8A=0

-12A+9C=0

9C=12A

C=A

Пусть A=3, тогда B=-1, С=4, D=-24

.

Ответ: .

3.      Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми часто сводятся к задачам на нахождение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью, а значит к задачам на нахождение расстояния от точки до плоскости. Рассмотрим решение таких задач на примере одной задачи.

Задача. В единичном кубе A… найдите расстояние между прямыми  и BD.

Решение. Так как     Поэтому расстояние

ρ(; ) = ρ(; )=  ρ(; ).

Введем систему координат, как показано на рисунке, и определим координаты точек:                

 (0; 0; 0),  (0; 1; 0),  (1; 0; 0), (1; 1; 1).

Плоскость, проходящая через точки, имеет вид

x + y – z – 1 = 0

 Расстояние между прямыми  и  равно расстоянию от точки до плоскости

Ответ:

4.      Задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью

Задача. В единичном кубе  найти угол между прямой  и плоскостью α, проходящей через точки , E и F, где точка E — середина ребра , а точка F лежит на ребре так, что  .

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как на рисунке.  Тогда

 (0; 0; 0),   (0; 0; 1),   (1; 0; 1),

Пусть {x; y; z} — вектор, перпендикулярный плоскости α. Найдем его координаты из условий перпендикулярности этого вектора векторам  и  то есть из условий Пусть x = 2, тогда y = –4, z = 3 и {2; − 4; 3}, .

Так как  то

=   Отсюда

Ответ:

5.      Задачи на нахождение угла между плоскостями

Задача. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 4 . Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA₁ = 14 .

а) В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?

б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.

Решение 1 (без использования координатного метода)

а) Так как  и  то  и  

Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым, поэтому она пересекает ребро  в такой точке  что прямая  параллельна прямой  Значит, треугольники  и  подобны, а поскольку  то и  Значит,  и 

б) Так как прямая  перпендикулярна плоскости опустим перпендикуляр  из точки  на прямую  пересечения этих плоскостей. Угол  будет искомым. Найдём  Для этого проведём в трапеции  высоту  (очевидно,  — середина ).

Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника  найдём  то есть

   

Тогда  

Ответ: а)  б) 

Решение 2 (координатным методом)

Покажем решение пункта б) координатным методом.

Ведем прямоугольную систему координат с началом координат в точке В. Ось Ох направим вдоль ВА, ось Оу – вдоль ВС, ось Oz – вдоль В . Так как ВА=9, ВС=6, В , то точки В, Е, Т и   имеют координаты:B(0;0;0), E(9;0;8), (9;6;14), T(0;3;14).

Найдем вектор нормали плоскости ():

Ax+By+Cz+D=0

6B+6C=0

C=-B

3B-14B+D=0

D=11B

9A-8B=11B=0

A=-B

Если B=3, то A=3, C=-3

 ||=;

Вектор нормали  к плоскости  это вектор , тогда ,

||=6,  и =||==,  тогда=

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения, которые можно решить координатным методом

1. Расстояние от точки до плоскости.

1. В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 12 и . Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) До­ка­жи­те, что SA — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

2. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 4, точка N — се­ре­ди­на ребра AC, точка O центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка P делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BS.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой NP.

3. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R со­от­вет­ств­енно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

4. На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 4, а B₁Q = 3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

5. На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 8 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 7, а B₁Q = 3. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С₁ до плос­ко­сти A₁PQ.

6. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна , а вы­со­та SH пи­ра­ми­ды равна 3. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер CD и AB, со­от­вет­ствен­но, а NT — вы­со­та пи­ра­ми­ды NSCD с вер­ши­ной N и ос­но­ва­ни­ем SCD.

а) До­ка­жи­те, что точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной SM.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между NT и SC.

7. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD бо­ко­вое ребро SA равно , а вы­со­та SH пи­ра­ми­ды равна . Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер CD и AB, со­от­вет­ствен­но, а NT — вы­со­та пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной N и ос­но­ва­ни­ем SCD.

а) До­ка­жи­те, что точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной SM.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между NT и SC.

2. Угол между прямыми.

1.      На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁ = 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

2.      В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный  треугольник ABC с гипотенузой AB, равной  Высота призмы равна 12. Найдите угол между прямыми AC₁ и CB₁.

3. Угол между прямой и плоскостью.

1.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью A₁BC и прямой BC₁, если AA₁ = 8, AB = 6, BC = 15.

2.      В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.

4. Угол между плоскостями.

1.        В правильной четырёхугольной призме A…стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечены точка Е так, что . Найдите угол между плоскостями   .

2. В правильной четырехугольной призме KLMNK₁L₁M₁N₁ точка E делит боковое ребро KK₁ в отношении KE : EK₁ = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость  параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN₁ в точке F.

а) Докажите, что плоскость  делит ребро NN₁ пополам.

б) Найдите угол между плоскостью  и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK₁ = 4 .

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

4. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором   Расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD₁, делит отрезок BD₁ в отношении 1 : 7, считая от вершины D₁.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD₁, и плоскостью основания призмы.

Список используемой литературы и Интернет- ресурсов

1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.

2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010.

3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия.    Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.

4. https://ege.sdamgia.ru