Методическая разработка "УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ"

УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ

В данной методразработке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики

В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же  различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой 

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все  объектов.

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из  объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы  (в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа . 
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде .

Распишем подробно:

 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле  необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

 – единственным способом можно взять ни одной детали;
 способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
 способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
 – единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Задача 4

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Размещения

Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле 

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

 способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

 способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей  способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали .

Найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

 способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.

Ответ: 42840

Задача 6

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Задача 7

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

 способами можно выбрать 2-х юношей;
 способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:  способами.

Ответ: 123

Задача 8

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из  цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9).  Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует:  трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение  расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами вразряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Задачи для самостоятельного решения

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

Чай(Ч) Компот (К)	Мясо с макаронами(М)	Рыба с картошкой(Р)	Курица с рисом(Кр)
Борщ (Б)	БМЧ/ БМК	БРЧ/БРК	БКрЧ/БКрК
Солянка(С)	СМЧ/ СМК	СРЧ/СРК	СКрЧ/СКрК
Грибной суп(Г)	ГМЧ/ГМК	ГРЧ/ГРК	ГКрЧ/ГКрК

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ.
Перечислим возможные варианты.

	0	2	6
2	20	22	26
3	30	32	36
6	60	62	66
7	70	72	76
9	90	92	96

4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

	1	2	3	4	5
1	211	212	213	214	215
2	221	222	223	224	225
3	231	232	233	234	235
4	241	242	243	244	245
5	251	252	253	254	255

Ответ: 25 человек.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий =  = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х  = 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В, 
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков -= 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х= 700х

12. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях 
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

13. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600
Или, зная формулу размещения, получаем 

14. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно=120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

15. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение 

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.