Методическая разработка урока "Примеры применения интеграла"

 

 

 

 

 

 

ПОДРОБНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

  ОТКРЫТОГО УРОКА

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА:

 АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА;

ГЕОМЕТРИЯ

В ГРУППЕ ПО14

ТЕМА УРОКА: «Примеры применения интеграла

 в физике и геометрии»

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Павлова Наталья Геннадьевна

2016 г.
План урока

 

              I.      Приветствие

           II.      Проверка домашнего задания

        III.      Изложение нового материала

        IV.      Закрепление изученного

          V.      Итоги урока

3 мин.

30 мин.

25 мин.

30 мин.

2 мин.

 

Урок по теме «Примеры применения интеграла в физике и геометрии»

Цель урока: изучить области применения интеграла.

Требования к знаниям и умениям:

Студенты должны знать:

·                  определение и свойства  первообразной функции;

·                  таблицу первообразных;

·                  определение и свойства неопределенного интеграла;

·                  определение и свойства определенного интеграла;

·                  формулу Ньютона-Лейбница;

Студенты должны уметь:

·         вычислять неопределенные и определенные интегралы;

·         применять полученные знания для решения прикладных задач.

Программно-дидактическое обеспечение: презентация, учебные пособия, карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

I. Приветствие. Проверка присутствующих. Оформление тетрадей: запись числа, слов «Классная работа» и запись домашнего задания (стр.199-204 №1-3).

II.  Проверка домашнего задания.

Проверка тетрадей.

Устный опрос.

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. В чем заключается признак постоянства функции?

3. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на I?

4. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

5. В чем заключается основное свойство первообразной?

6. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их первообразных»?

7. Что называется неопределенным интегралом?

8.Что называется определенным интегралом?

Математическая эстафета (Вычисление интегралов).

1 ряд	2 ряд	3 ряд
1.                    (1б)	1.  (1б)	1. (1б)
2.                     (1б)	2. (1б)	2. (1б)
3.                    (1б)	3. (1б)	3. (1б)
4.                   (1б)	4. (1б)	4. (1б)
5.            (2б)	5. (2б)	5. (2б)
6.           (2б)	6. (2б)	6. (2б)
7.         (2б)	7.         (2б)	7. (2б)
8.                       (2б)	8.                       (2б)	8.  (2б)
9.               (2б)	9.                (2б)	9. (2б)

Ответы

1 ряд	2 ряд	3 ряд
1.	1.	1.  -6x+c
2.	2.	2.
3.	3.	3.
4.	4.	4.
5.	5.	5.
6.	6.	6.
7.	7.	7.
8.	8.	8.
9.	9.	9.

III.  Изложение нового материала.

Приложение интегрального исчисления

Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с  (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками x = a, x, … ,x = b  разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”

Δ A(I = 1, … , n): A = ΔA + ΔA+ … + ΔA

2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

Δ A≈ f(c) ΔX

При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A≈ f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX = f(c) ΔX

1.                  Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = f(c) ΔX = f(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра­ла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков”:

1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А — А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е.  [а, b] -  один из параметров величи­ны А;

2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA -  f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция пере­менной x  (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dА ≈ ΔA при Δx 0, находим искомую величину путем интегрирования dA  в пределах от а до b:

A(b) = A = f(x)dx.

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a  ≤ x ≤ b.

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

1.                  Точками X = a, X, … , X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M ,           … , M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM , длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, … , ΔL.

Получим ломанную, длина которой равна L =  ΔL+ ΔL+ … + ΔL =  ΔL.

2.                  Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

ΔL = , где ΔX = X - X, ΔY = f(X) – f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C) ΔX, где C  (X, X). Поэтому

ΔL =  =  ,

а длина всей ломанной MMM … MM равна

L =  ΔL = .

Длина кривой AB, по определению, равна L = L =  ΔL. Заметим, что при ΔL  0 также и ΔX   0 (ΔL =  и следовательно | ΔX | < ΔL). Функция  непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L =  ΔL = , кода  max ΔX   0:

L =  = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Решение:

Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = ,  ¼L =  dx = R arcsin = R .

Значит L = 2R.           

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S = S(x), a≤  x≤  b

Применим схему II (метод дифференциала).

1.                  Через произвольную точку x  [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой  

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой      dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

2.                  Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,

S(x)=y.

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

V = ydx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен

V =xdy.

Пример: Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V =xdy.

 находим:

V = 2ydy = y = 8.

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если  f(х )≥0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b] то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

 или

                                              

Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.

Ðèñ 9

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох .

Решение. Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь

S =

Ðèñ 10

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии  (рис 10). [1]

Решение. Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы

 и  , имеем, что искомая площадь

Механические приложение определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле

A =

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t_2.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения

равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,

получаем S =

Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).[5]

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S =

IV. Закрепление изученного

Решение задач

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х²,  у=0.

2. Тело движется  с ускорением а(t)=   4sin t( м/с²).  Определите как изменится скорость за время от 0 до п/3сек.

3. Определить массу стержня длины L=10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону р(х) =6+0,3x кг/м, где х — расстояние от одного из концов стержня.

4. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящей через точку с абсциссой Х, является квадратом, сторона  которого равна дроби 1/Х . Найдите объём этого тела.

5. Найти уравнение кривой, проходящей  через точку А(0;1), у которой касательная имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

6. По цепи идет переменный ток  I= 6t -t²(А) . Найдите величину заряда прошедшего по цепи за первые  6  сек.

7. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)= 16t – 4t² (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала движения до его остановки.

8. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной равен  2х.

V. Итоги урока

Оценивается работа студентов на уроке.