Методические рекомендации для самостоятельной работы

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

ГБПОУ СО «Красноуфимский педагогический колледж»

Методические рекомендации для самостоятельной работы по ОП.02. Теории вероятностей и математической статистике

для студентов специальности

 09.02.05 (код) Прикладная информатика  

(название специальности)

очной  формы обучения

Красноуфимск, 2018

Манжора О.С. Методические рекомендации для самостоятельной работы по ОП.02. Теории вероятностей и математической статистике/ Манжора О.С.; ГБПОУ СО «Красноуфимский педагогический колледж». – Красноуфимск, 2018 г.  – 44 с.

Методические рекомендации для самостоятельной работы по ОП.02. Теории вероятностей и математической статистике

разработаны для студентов, обучающихся по специальности. Прикладная информатика.

Рекомендации включают темы для самостоятельного изучения, вопросы для самоконтроля и списки литературы для самостоятельной подготовки.

Содержание

Тема	стр.
Тематический план самостоятельной работы	3
Планируемый результат	5
Самостоятельная работа №1	7
Самостоятельная работа №2	12
Самостоятельная работа №3	24
Самостоятельная работа №4	27
Самостоятельная работа №5	29
Самостоятельная работа №6	31
Приложение	34

Тематический план самостоятельной работы

ОП.02. Теории вероятностей и математической статистике (приводится выписка из учебно-тематического плана рабочей программы)

Тематический раздел	Тема для самостоятельной подготовки	Количество часов	Форма контроля
Тема 1.1. Основы теории вероятностей Тема 1.2. Элементы комбинаторики – науке о подсчете числа комбинаций	Самостоятельная работа №1	4	Тест по теме «Основные понятия теории вероятностей» (К.Т №1)
Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей	Самостоятельная работа №2	2	Практическая работа № 10. Письменная контрольная работа по решению вероятностных задач (К.Т № 2)
Тема 1.4. Схема повторных независимых испытаний	Самостоятельная работа №3	2
Тема 2.1. Дискретные случайные величины (ДСВ) и их характеристики Тема 2.2. Непрерывные случайные величины (НСВ)	Самостоятельная работа № 4	3	Практическая работа № 17. Контрольная работа по разделам: «Основы комбинаторики и теории вероятностей», «Основы теории случайных величин»  К.Т. № 3
Тема 2.3. Функция плотности НСВ. Интегральная функция распределения НСВ. Характеристики НСВ Тема 2.4. Центральная и предельная теорема. Закон больших чисел Тема 2.5. Вероятность и частота	Самостоятельная работа №5	5
Тема 3.1. Статистическая информация и статистическое наблюдение Тема 3.2. Генеральная совокупность и выборка Тема 3.3. Моделирование случайных величин	Самостоятельная работа № 6	5	Экзамен
Итого часов самостоятельной работы:		21 час

Планируемый результат

(по рабочей программе)

Тема для самостоятельной подготовки	Знать	Уметь	ОК и ПК
Тема 1.1. Основы теории вероятностей Тема 1.2. Элементы комбинаторики – науке о подсчете числа комбинаций	основы комбинаторики и теории вероятностей	рассчитывать вероятности          событий,     статистические    показатели и формулировать основные выводы
Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей	Теоремы сложения и умножения вероятностей	рассчитывать вероятности          событий,     статистические    показатели и формулировать основные выводы
Тема 1.4. Схема повторных независимых испытаний	Знать формулу Бернулли	рассчитывать вероятности          событий,     статистические    показатели и формулировать основные выводы
Тема 2.1. Дискретные случайные величины (ДСВ) и их характеристики Тема 2.2. Непрерывные случайные величины (НСВ)	основы теории случайных величин	записывать    распределения    и находить        характеристики случайных величин
Тема 2.3. Функция плотности НСВ. Интегральная функция распределения НСВ. Характеристики НСВ Тема 2.4. Центральная и предельная теорема. Закон больших чисел Тема 2.5. Вероятность и частота	статистические   оценки   параметров    распределения	рассчитывать статистические оценки параметров распределения по выборочным данным и проверять метод статистических испытаний для решения отраслевых задач
Тема 3.1. Статистическая информация и статистическое наблюдение Тема 3.2. Генеральная совокупность и выборка Тема 3.3. Моделирование случайных величин	методику моделирования случайных величин, метод статистических испытаний	собирать и регистрировать статистическую информацию проводить первичную обработку и контроль материалов наблюдения рассчитывать статистические оценки параметров распределения по выборочным данным и проверять метод статистических испытаний для решения отраслевых задач

Планы самостоятельной подготовки

Самостоятельная работа №1

Тема 1.1. Основы теории вероятностей.

Тема 1.2.Элементы комбинаторики – науке о подсчете числа комбинаций.

Цель занятия: знать основные понятия теории вероятностей и элементы комбинаторики

Задачи:

1.      Обобщить, систематизировать и дополнить сведения о классификации событий в теории вероятностей, научить правильно определять вид события.

2. Развивать логику, умение анализировать.
3. Рассмотреть простейшие примеры вычисления вероятностей.
4. Развивать умение мыслить в нестандартной ситуации.
5. Показать практическую значимость темы и связь математики с другими предметами.

Задание: Ответить на вопросы теста

          I.Выбрать из предложенных событий: а) достоверные; б) невозможные; в) возможные (случайные) события.

1)   Появление карты масти «пики» при вытягивании одной карты из колоды в 52 карты;

2)   Выпадение 12-ти очков при бросании двух игральных кубиков;

3)   Выпадение хотя бы 2-х очков при бросании двух игральных кубиков;

4)   Появление «орла» и «решки» при однократном подбрасывании одной монеты;

5)   Появление «орла» или «решки» при однократном подбрасывании одной монеты;

6)   Выпадение 1-го очка при бросании двух игральных кубиков;

7)   Произведение чисел, выпавших при подбрасывании двух игральных кубиков, равно 11;

8)   Произведение чисел, выпавших при подбрасывании двух игральных кубиков, равно 8;

9)   Произведение чисел, выпавших при подбрасывании двух игральных кубиков, больше или равно 1;

10)                       Появление 10-ти карт масти «червы» при вытягивании 10-ти карт из колоды в 36 карт;

       II.Выбрать из предложенных пар событий пары, которые удовлетворяют следующим условиям: а) первое событие более возможно, чем второе; б) первое событие менее возможно, чем второе; в) события равновозможны.

1)   событие А – появление «орла» при подбрасывании монеты; событие В – появление «решки» при подбрасывании монеты;

2)   событие А – выпадение числа «1» при бросании игрального кубика; событие В – выпадение числа, большего «3» при бросании кубика;

3)   событие А – выпадение разных чисел при бросании двух игральных кубиков; событие В – выпадение одинаковых чисел при бросании двух игральных кубиков;

4)   событие А- появление «туза» или «короля» при вытягивании одной карты из колоды в 36 карт; событие В – появление «туза», или «короля», или «дамы» при вытягивании одной карты из колоды в 36 карт;

5)   событие А – появление белого шара при вытаскивании одного шара из коробки с синими шарами; событие В - появление красного шара при вытаскивании одного шара из коробки с синими шарами.

    III.Выбрать из предложенных пар событий: а) несовместные события; б) совместные события.

1)   событие А – из 15 лампочек 2- стандартные; событие В – из 15 лампочек 3 –стандартные;

2)   событие А – две наиболее сильные команды из шестнадцати команд при жеребьевке оказались в одной и той же подгруппе; событие В – две наиболее слабые команды из шестнадцати команд при жеребьевке оказались в разных подгруппах;

3)   событие А – при выкладывании букв Т, О, Р в случайном порядке получили слово «ТОР»; событие В – при выкладывании букв Т, О, Р в случайном порядке получили слово «РОТ»;

4)   событие А – при случайной расстановке пятитомного собрания сочинений книги стоят в порядке нумерации томов слева направо; событие В - при случайной расстановке пятитомного собрания сочинений книги пятый том находится левее четвертого;

    IV.Выбрать из предложенных наборов событий полные группы:

1)   событие А - при выкладывании букв Т, О, Р в случайном порядке получили слово «ТОР»; событие В – при выкладывании букв Т, О, Р в случайном порядке получили слово «РОТ»; событие С - при выкладывании букв Т, О, Р в случайном порядке получили слово «ОРТ»;

2)   событие А – появление числа 30 при случайной подстановке слева от нуля любой цифры; событие В – появление числа 40 при случайной подстановке слева от нуля любой цифры; событие С – появление числа 70 при случайной подстановке слева от нуля любой цифры; событие D – появление числа 80 при случайной подстановке слева от нуля любой цифры; событие E – появление числа 90 при случайной подстановке слева от нуля любой цифры;

3)   событие А – появление числа «2» при бросании игрального кубика; событие В – появление числа, кратного двум при бросании игрального кубика;

4)   событие А – появление «орла» при подбрасывании монеты; событие В – появление «решки» при подбрасывании монеты;

5)   событие А- появление числа «3» при бросании игрального кубика; событие В – появление числа, меньшего «3» при бросании игрального кубика; событие С – появление числа, большего «3» при бросании игрального кубика.

       V.Выбрать из предложенных пар событий пары, состоящие из противоположных событий:

1)   событие А – появление «орла» при подбрасывании монеты; событие В – появление «решки» при подбрасывании монеты;

2)   событие А- появление числа «1» при бросании игрального кубика; событие В – появление числа, большего «1» при бросании игрального кубика;

3)   событие А- появление числа «1» при бросании игрального кубика; событие В – появление числа «2» при бросании игрального кубика;

4)   событие А – совпадение дней рождений хотя бы лвух студентов в группе из 25 человек; событие В – дни рождения всех студентов – различны;

5)   событие А- сдача студентов хотя бы одного экзамена из трех; событие В – ни один экзамен из трех студентов не сдан.

Методическое и материально-техническое оснащение для выполнения задания:

1.       Основная и дополнительная литература:

-       Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/М.И. Башмаков.- 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

-       Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/И.Д. Пехлецкий.- 11-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

2.       Дополнительные источники:

1.                 Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров «Задачи и упражнения по теории вероятностей»: учеб. Пособие для студ.втузов/ Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров.- 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 448 с.

2.                 Архив учебных программ и презентаций. 2004-2011 Образовательный портал RusEdu / http://www.rusedu.ru.

3.                 Кочетков Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для СПО / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – М.: Форум, 2011 -  240 с.

4.                 Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика учебник для СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. – М.: Академия, 2007- 352 с.

Интернет-ресурсы:

1.                 Образовательный     математический         сайт     / http://exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp

2.                 Virtual Laboratory Wiki. Распределение вероятностей / Категория: Распределения_вероятностей. – М., 2010. / http://ru.vlab.wikia.com/wiki/

Необходимые знания: основы комбинаторики и теории вероятностей.

Необходимые умения;  рассчитывать          вероятности   событий,        статистические         показатели и формулировать основные выводы

Вопросы для самоконтроля:

1.       Событие. Виды событий.

2.       Вероятность события.

3.       Классическое определение вероятности.

4.       Элементы комбинаторики.

Форма контроля: Тест по теме «Основные понятия теории вероятностей» (К.Т №1)

Самостоятельная работа №2

Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Цель занятия: знать основные понятия теории вероятностей и элементы комбинаторики

Задачи:

1. Познакомить с теоремами сложения и умножения вероятностей.
2. Учить применять эти теоремы для решения вероятностных задач.

Задание: Изучить лекцию по теме, разобраться с задачами. Решить задачи для самостоятельного решения письменно в тетради.

Лекция по теме: Теоремы сложения и умножения вероятностей.

В задачах, использующих вероятные количественные характеристики, проходится по вероятностям одних событий оценивать вероятность других событий. Для этого используют различные соотношения, в основе которых теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий А_1, А₂, …, А_n равна сумме вероятностей этих событий: 

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий А₁,А₂, …, А_n, то такая группа событий называется полной группой событий. Сумма вероятности несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

Например, при бросании игральной кости возможно появление одного из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого появления при единичном бросании Р(А₁)=1/6.

Следовательно,

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В) или Р_в(А).

Например, при бросании игральной кости может наступить событие В: «четное число очков» и событие А: «число очков меньше 6». Эти события могут произойти одновременно, т.е. совместны, поэтому можно поставить вопрос о вероятности Р(АВ) их совместного появления. Эту задачу решает следующая теорема.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло:

Если же появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

            Для нашего примера можно определить:

Р(В)=3/6=1/2, т.к. четных очков - три (2, 4, 6) из шести возможных;

Р(АВ)=2/6=1/3, т.к. событию А отвечает только два варианта (2 и 4). Тогда условная вероятность Р(А/В) наступления события А при появлении события В:

Другой пример. Бросаются два кубика отдельно друг от друга. Какова вероятность того, что на первом выпадет четное количество очков (событие А), а на втором число очков будет меньше пяти (событие В)?

В данном случае ясно, что повлиять друг на друга эти события не могут - они независимы. Вероятности Р(А)=1/2; Р(В)=2/3, следовательно, вероятность совместного появления обоих событий:

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть имеется полная группа несовместных событий В₁, В₂, … В_n c известными вероятностями Р(В₁), Р(В₂), …, Р(В_n). Событие А может наступить только при появлении одного из событий В_i, причем известны условные вероятности Р(А/В₁), Р(А/В₂), …, Р(А/В_n). Найти вероятность события А по этим данным позволяет формула полной вероятности: Р(А)=Р(В₁)·Р(А/В₁)+Р(В₂)·Р(А/В₂)+…+Р(В_n)·Р(А/В_n).

П. Предполагается произвести два выстрела в цель из орудия. Необходимо оценить вероятность события А: «разрушение цели», если вероятности попадания снаряда в цель:

- 0 снарядов Р(В_о)=1/8;

- 1 снаряда Р(В₁)=5/8=1-

- 2 снарядов Р(В₂)=2/8=

и вероятности разрушения цели при попадании в нее

- 0 снарядов Р(А/В_о)=0;

- 1 снаряда Р(А/В₁)=2/9;

- 2 снарядов Р(А/В₂)=5/9.

Так как события В_о, В₁, В₂ составляют полную группу, то вероятность разрушения цели:

Р(А)=Р(В_о)·Р(А/В_о)+Р(В₁)·Р(А/В₁)+Р(В₂)·Р(А/В₂)=

Пусть теперь событие А может, по-прежнему наступить с одним из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу. Пусть в результате какого-то из испытаний событие А произошло. Возникает вопрос, как изменяются условные вероятности событий В₁, В₂, …, В_n, т.е. Р(В_i/А) в результате наступления события А?

Ответ на этот вопрос дает формула Байеса:  

Где Р(А) - полная вероятность события А.

Пример:  По цели было произведено два выстрела, и цель была поражена. Используя данные предыдущего примера, требуется найти вероятности (Р(В_о/А), Р(В₁/А), Р(В₂/А) получения ровно 0, 1 и 2 попаданий.

Вероятность полного отсутствия попаданий:  

Вероятности одного или двух попаданий:

                                                                       

Видно, что вероятности событий после разрушения цели изменились, точнее, изменились их условные вероятности, хотя события по-прежнему составляют полную группу.

Формула Байеса широко применяется при решении проблем с недостаточной информацией: пусть имеется несколько несовместных предложений (гипотез), которые надо проверить с помощью опыта. Перед началом опыта далеко не всегда можно определить вероятности этих гипотез, которые называют доопытными или априорными вероятностями. Этими вероятностями приходится задаваться, исходя из какого-то опыта или просто по интуиции. Как только опыт проведён, появляется информация, с помощью которой можно произвести коррекцию априорных вероятностей.

Таким образом, основываясь на результатах опыта, заменяют априорные вероятности послеопытными (или апостериорными). Надо учитывать, что вероятности отдельных гипотез после опыта могут сильно измениться и даже уменьшится настолько, что ими можно пренебречь, т. е. в нашем примере - отбросить гипотезу В₀. После коррекции эксперимент можно продолжать (повторять опыт), продолжая уточнять вероятности гипотез. По мере уточнения производится обоснованное изменение различных решений практических задач, оперативных планов работы и т. п.

Примеры решения задач

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий и анализ дискретных случайных величин.

Задача 1: Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение - четырем.

 Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6·6=36

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя сочетаниями очков:

1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятствуют условию задачи.

Следовательно, по определению вероятности:

Задача 2: В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 - окрашены, а 5 - прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все они будут окрашены?

Общее число исходов при извлечении шаров:    Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:    

Следовательно,

Задача 3: Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, второго - 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадает только один стрелок.

Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание - промах» и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты событий:

- попадают оба стрелка: Р₁·Р₂=0,7·0,8=0,56;

- попадает первый стрелок и не попадает второй:      

- попадает второй и промах у первого:

- промах обоих стрелков:

Эти события образуют полную группу, т.к. 0,56+0,14+0,24+0,06=1.

Решением задачи, по правилу сложения, будет:

Задача 4: Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы А, В, С.

Вероятность того, что первый вопрос экзаменатора будет из числа известных студенту равна .

Таким образом, остается 24 вопроса, из которых 19 - известны. Следовательно,

Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос:

Таким образом, вероятность отличной оценки:

Задача 5: В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о цвете двух шаров, находящихся в мешке.

Решение: Пусть А - событие извлечения белого шара. Построим предположения о первоначальном составе шаров:

В₁ - белых шаров нет;

В₂ - один белый шар из двух;

В₃ - оба шара белые.

Так как гипотезы В₁, В₂ и В₃ по условию равновероятны, то

     А теперь промоделирует извлечение:

- если в мешке первоначально не было белых шаров, то , так как только одно событие из трех благоприятно;

- в мешке уже был один белый шар, следовательно , так как уже два события из трех благоприятны;

- в мешке оба шара были белые:

     Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности:

Задача 6: Два автомата проводят одинаковые детали. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероятность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60, а у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Пусть А - событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

- В₁ - деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит, то по условию, деталей в два раза больше второго.

- В₂ - деталь изготовлена вторым автоматом, причем

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию:

, а вторым -

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

Задачи для самостоятельного решения

1.      Бросаются три игральных кубика. Определить вероятность появления ровно 8 очков.

Ответ: 0,097

2.      Среди 28 деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна - бракованная?

Ответ: 0,57

3.      Тест содержит 40 вопросов, причем студент может ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить подряд не менее чем на три вопроса, четверки - на четыре и пятерки - на пять. Определить вероятность получения студентом оценок 3, 4 и 5.

Ответ: 0,41; 0,30 и 0,22

4.      Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «орел»?

5.      Какова вероятность максимального выигрыша в лотерее «5 из 36»?

6.      Набирая номер, менеджер забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наугад. Какова вероятность того, что набор верен?

7.       В мешке 10 кубиков, из них 6 белых и 4 красных. Извлекаются 4 кубика. Какова вероятность того, что все они будут белыми?

Самостоятельная работа №3

Тема 1.4. Схема повторных независимых испытаний

Цель занятия: Знать формулу Бернулли, уметь применять ее для решения вероятностных задач, рассчитывать вероятности   событий,        статистические         показатели и формулировать основные выводы.

Задачи:

·                    рассмотреть одну из самых универсальных вероятностных моделей – схему Бернулли;

·                    установить связь относительной частоты и вероятности;

·                    получить точную математическую формулировку устойчивости относительных частот и их приближения к вероятности случайного события при увеличении числа опытов;

·                    развитие навыков применения знаний на практике, формирование и развитие функционального мышления обучающихся, развитие навыков сравнения, анализа и синтеза, навыков работы в паре, расширение математического лексикона;

·                    воспитание интереса к предмету через практическое применение теории, достижение сознательного усвоения учебного материала обучающихся, формирование умения работать в коллективе, правильного использования математических терминов, интереса к науке.

Задание: Ответить на вопросы и решить задачи на применение формулы Бернулли.

1.      Что такое повторные независимые испытания?

2.      Будут ли испытаниями Бернулли следующие серии опытов (если да, то найдите p и q в тех случаях, когда это возможно):

а.       десятикратное бросание кубика; успех – выпадение шестерки;

б.      ежедневная регистрация осадков; успех – отсутствия дождя и снега;

в.      вытаскивание 10 карт из колоды без возвращения; успех – вытаскивание красной масти;

г.       ответы у доски на уроках математики в течение месяца; успех – получение пятерки;

д.      проверка лампочек при их продаже в магазине; успех – лампочка бракованная;

е.       вытаскивание 12 карт из колоды без возвращения; успех – вытаскивание черной масти.

3.      Приведите свой пример испытаний Бернулли.

4.      В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

5.      Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

6.      Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

7.      При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

8.      Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

9.      Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. Какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

10.  Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой примерно равна 0,75. Любая из торпед с одинаковой вероятностью может пробить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков крейсер тонет. Вычислите вероятность гибели крейсера.

11.  Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. Найдите вероятность того, что из 8 учеников класса заболеют 5 человек?

12.  Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,8. Найдите: а) вероятность того, что при семи выстрелах произойдет пять попаданий в мишень; б) наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах.

Вопросы и задания для самоконтроля:

1.      Запишите формулу Бернулли.

2.      Что такое распределения Бернулли? От каких параметров он зависит?

3.      Чему равна сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины?

4.      Какова вероятность, что при бросании шести кубиков выпадет хотя бы одна шестерка?

5.      Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Бернулли (распределение Бернулли)

6.      В подъезде горит 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не сгорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность, что в течение месяца:

а) сгорят все лампочки;

б) сгорит ровно одна лампочка;

в) останутся гореть по крайней мере 3 лампочки.

7.      Вратарь футбольной команды отражает в среднем каждый третий пенальти. Сколько пенальти из пяти он отразит скорее всего? С какой вероятностью?

Самостоятельная работа №4

Тема 2.1. Дискретные случайные величины (ДСВ) и их характеристики

Тема 2.2. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Цель занятия: знать основы теории случайных величин, уметь записывать распределения и находить     характеристики       случайных величин.

Задачи:

1.       Познакомить с понятием случайная величина, дискретная случайная величина и непрерывная случайная величина.

2.       Учить определять вид случайной величины, строить ряд распределения для дискретной случайной величины.

3.       Учить определять числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

4.       Учить решать задачи в стандартной и измененной ситуации на применение основ теории случайной величины, построение ряда распределения и нахождения числовых характеристик случайных величин.

Задание: Решить самостоятельно задачи:

Задачи для самостоятельного решения

1.      Найти среднее значение и дисперсию случайной величины, заданной распределением:

Х	13,8	13,9	14	14,1	14,2
Nx	4	3	7	6	5

2.      Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан закон распределения:

Х	10	12	8	4	6
Р	0,2	0,1		0,3	0,2

3.      Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения.

4.      Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан закон распределения:

Х	10	12	8	6	4
Р	0,3	0,1	0,1	?	0,2

5.      Игральную кость бросают три раза.  Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа выпадения шестерки в этой серии.

6.      У человека в кармане 4 ключа, из которых только один подходит к двери его квартиры. Ключи последовательно извлекают (без возвращения) до тех пор, пока не появится нужный ключ. Описать закон распределения случайной величины Х – числа ключей, вынутых из кармана. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7.      Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение.

Самостоятельная работа № 5

Тема 2.3. Функция плотности НСВ. Интегральная функция распределения НСВ. Характеристики НСВ

Тема 2.4. Центральная и предельная теорема. Закон больших чисел

Тема 2.5. Вероятность и частота

Цель занятия: Знать методику моделирования случайных величин, метод статистических испытаний. Уметь рассчитывать вероятности     событий, статистические показатели и формулировать основные выводы, уметь записывать распределения и находить характеристики случайных величин.

Задачи:

1.       Познакомить с понятием функция распределения и плотность распределения для непрерывной случайной величины.

2.       Учить определять числовые характеристики для непрерывных случайных величин.

3.       Учить решать задачи в стандартной и измененной ситуации на применение основ теории случайной величины, построение функции распределения и нахождения числовых характеристик случайных величин.

Задание: Решить самостоятельно задачи:

Задачи для самостоятельного решения

1.      Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, вероятность попадания в интервал . Построить графики и .

2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность распределения вероятности , математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

3.      Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Самостоятельная работа № 6

Тема 3.1. Статистическая информация и статистическое наблюдение

Тема 3.2. Генеральная совокупность и выборка

Тема 3.3. Моделирование случайных величин.

Цель занятия: Умеет по статистическому распределению вычислить характеристики случайной величины, уметь по выборочным данным построить статистическое распределение, построить гистограмму или полигон распределения.

Задачи: уметь составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и ее частотами; строить статистическое распределение; изобразить полигон или гистограмму распределения.

Задание: Решить самостоятельно задачи:

Задачи для самостоятельного решения

1.     В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения:

16	17	9	13	21
11	7	7	19	5
17	5	20	18	11
4	6	22	21	15
15	23	19	25	1

Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0,25) на 5 участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму относительных частот.

2.     Результаты испытаний случайной величины даны в следующей таблице:

2	5	7	1	10
5	9	6	8	6
2	3	7	6	8
3	8	10	6	7
3	9	4	5	6

Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и ее частотами; 2) построить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распределения.

3.       В результате проверки распределения рабочих цеха по тарифным разрядам получены следующие данные:

3	5	6	3	2	4	3	5	5	5
4	3	2	3	4	5	4	2	4	4
5	3	4	5	4	3	3	6	2	2
4	6	3	4	4	5	4	5	3	3
2	6	3	4	5	3	4	4	5	5

Требуется составить таблицу статистического распределения. Построить гистограмму относительных частот.

4.       Вычислить среднее значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной распределением:

	10,2	10,4	10,6	10,8	11	11,2	11,4	11,6	11,8	12
	2	3	8	13	25	20	12	10	6	1

5.      Определить  и   для статистического распределения:

	5	7	9	11	13	15	17	19
	12	4	25	8	6	15	20	10

6.       В результате проверки распределения рабочих цеха по тарифным разрядам получены следующие данные:

2	5	4	6	4	3	6	3	4	5
5	4	6	2	5	5	4	2	3	4
3	2	3	5	3	2	6	5	4	6
4	3	6	3	6	3	3	6	3	4
3	5	3	2	3	4	6	5	4	6

Требуется составить таблицу статистического распределения. Построить гистограмму относительных частот.

7.       Вычислить среднее значение, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной распределением:

	11,1	11,2	11,4	11,6	11,8	12	12,2	12,4	12,6	12,8
	4	5	10	5	20	15	20	15	4	2

8.      Определить  и   для статистического распределения:

	3	5	7	9	11	13	15	17
	10	15	4	20	15	20	10	6

Теория вероятностей. Основные понятия

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда. В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного. Исходя из этих общих понятий, можно дать определение вероятности.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта.

Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.  Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Примеры задач по теории вероятностей и математической статистике с решениями

Задача 1

В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

Решение. Пусть событие А – оба билета выигрышные. Пусть В – первый билет выигрышный, С – второй билет  выигрышный. Тогда событие А равно произведению событий В и С. По классическому определению вероятности . Событие С произойдет только тогда, когда событие В уже произошло, тогда . Поскольку второй билет покупают из набора 999, из которых выигрышных 499, то событие С произойдет с вероятностью . Тогда искомая вероятность .

Ответ: .

Задача 2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение. Пусть ,  и  - события, заключающееся в попадании первым, вторым и третьим стрелком,  соответственно вероятности попадания для 1, 2 и 3 стрелков. Так как события ,  и  - независимые, то . Вероятность того, что все три стрелка попадут в цель равна .

Ответ: 0,54.   

Задача 3. В цехе работают 20 однотипных станков с одинаковой производительностью. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность изготовления детали отличного качества для этих станков равна, соответственно, 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент выпускаемых цехом деталей имеет отличное качество?

Решение. Пусть А – изготовлена деталь отличного качества. Можно рассмотреть три гипотезы: - детали изготовлены на станках марки А, - детали изготовлены на станках марки В, - детали изготовлены на станках марки С. Вероятности гипотез соответственно равны:, , .

По формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н₁)·Р(А/Н₁)+Р(Н₂)·Р(А/Н₂)+Р(Н₃)·Р(А/Н₃), отсюда .

Ответ: 83 %.  

Задача 4

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Решение. А = {«В мишень попала одна пуля»};

{«-й охотник попал в мишень»};

По формуле Байеса: , где .

Так как . Условные вероятности соответственно равны: ; ,

.

Подставим в формулу: .

Ответ: Вероятность того, что в мишень попал первый стрелок - 0,857.  

Задача 5. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение.

Решение. К этой задаче применима формула Бернулли. Число попаданий – это число появлений события А в трех независимых опытах. Пусть событие А – поражение мишени при каждом выстреле. По условию . Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2, 3.

Обозначим искомые вероятности  и составим ряд распределения. По формуле Бернулли:, , , .

Ряд распределения величины  имеет вид:

	0	1	2	3
P	0,343	0,441	0,189	0,027

Дисперсию найдем по формуле . , ,

.

Составим функцию распределения, пользуясь определением

.

Если , то, так как значений меньших 0 величина  не принимает, то .

При   случайная величина  может принимать значение 0 с вероятностью  и значение 1 с вероятностью . Следовательно, одно из этих значений  (безразлично какое)  может принимать с вероятностью . .

Если , то .

Если , то

Итак, функция распределения имеет вид

График функции приведен на рисунке

 

Задача 6. Вероятность того, что в гостинице есть свободное место, равна . Записать закон распределения случайной величины  - числа гостиниц, которые посетит приезжий, если в городе 4 гостиницы. Найти , . Составить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Возможные значения случайной величины : 1, 2, 3,

4. Для того чтобы величина  приняла значение 1, необходимо, чтобы в первой гостинице оказалось свободное место. Вероятность этого . Чтобы  приняла значение 2, нужно, чтобы в первой гостинице свободных мест не было, вероятность этого , а во второй было свободное место. Так, что  принимает значение 2 с вероятностью . Рассуждая аналогично, получим, что  принимает значение 3 с вероятностью . Наконец,  принимает значение 4, если в первых трех гостиницах не окажется свободных мест. Вероятность этого .

Ряд распределения величины  имеет вид:

	1	2	3	4
P	0,3	0,21	0,147	0,343

Дисперсию найдем по формуле . , .

Составим функцию распределения, пользуясь определением

.

Если , то, так как значений меньших 1 величина  не принимает, . Если , то .

При  случайная величина  может принимать значение 1 с вероятностью  и значение 2 с вероятностью . Следовательно, одно из этих значений  (безразлично какое)  может принимать с вероятностью . . Если , то

.

Если , то Итак, функция распределения имеет вид

График функции приведен на рисунке

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ 24 ГРУППЫ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 09.02.05 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

1.      Основные понятия теории вероятностей. Классификация событий. Операции над событиями.

2.      Схема случаев и классическое определение вероятностей.

3.      Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Примеры.

4.      Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

5.      Элементы комбинаторики. Виды соединений. Размещения. Перестановки. Сочетания. Примеры.

6.      Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа. Примеры.

7.      Схема повторных независимых опытов (испытаний). Формула Бернулли.

8.      Понятие о случайной величине. Дискретные и случайные величины и ряд распределения.

9.      Закон распределения для непрерывных случайных величин. Свойства функции и плотности распределения. Вычисление математического ожидания и дисперсии для непрерывных случайных величин.

10.   Числовые характеристики. Вычисление математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин.

11.   Основные законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный закон распределения и закон Пуассона; их математические ожидания и дисперсии; практическое значение.

12.   Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения. Плотность вероятности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

13.   Основные непрерывные законы распределения: равномерный, показательный и нормальный  законы распределения. Практическое значение нормального закона распределения; теоретико-вероятностный смысл его параметров.

14.   Двумерные (n-мерные) случайные величины (4 час.) Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Условные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия.