Методические рекомендации при подготовке к ЕГЭ «Задачи на движение протяженных тел»

 «Решение задач на движение протяженных тел».

 Текстовые задачи являются традиционным заданием ЕГЭ и относятся к категории заданий, которые вызывают у учащихся трудности при решении. Причиной тому служат неумение читать условие задачи,  непонимание логики задачи, неумение составлять уравнение. Поэтому есть необходимость уделить особое внимание этому виду заданий, тем более некоторые типы задач не изучаются в школьном курсе математики.

  Выделяют следующие основные группы:

1)    Задачи «на движение»;

2)    Задачи «на работу»;

3)    Задачи «на проценты, концентрацию, части, доли».

  Разумеется, тематический список текстовых задач не исчерпан этими группами, но умение решать такие задачи является ключевым при подготовке к решению задач по теме «Задачи на составление уравнений», задачи 11 профильного уровня ЕГЭ. [6]

  В свою очередь каждую группу задач можно разбить на подгруппы. Основными типами задач  «на движение» являются следующие:

     1) Движение на встречу друг с другом;

2) Движение в одном направлении;

3) Движение с изменениями в режиме движения:

а) Движение с задержкой в пути;

б) Другие изменения в режиме движения.

     4) Движение по воде;

     5) Движение по окружности;

     6) Задачи на среднюю скорость;

     7) Движение протяженных объектов. [5]

    По способу решения выделим задачи, приводящие к уравнениям и задачи,  приводящие к системе двух  уравнений, хотя на экзамене предлагаются и задачи, в которых для нахождения неизвестных, можно пользоваться условиями,  не записывающимися в форме уравнения.

  Рассмотрим более подробно один из типов этих задач, а именно задачи «на движение протяженных объектов», т.к. это один из типов  задач «на движение», которому не уделяется внимание в школьном курсе математики.

  Задачи на движение обычно содержат следующие величины:

t– время,

v– скорость,

S– расстояние

и формулы, выражающие закон равномерного движения:

S= v∙t.

Применять эти формулы можно, если величины S, t и v выражены в одинаковых единицах измерения. Например, S (м), t (с) и v (м/с). 

  Протяженными будем считать тела, длина которых соизмерима с расстоянием, которое они проезжают.               

   В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация:

-определение длины поезда, проезжающего мимо столба; лесополосы определенной длины; другого двигающегося поезда

-длина протяженной платформы. [6]

  В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

   Рассмотрим примеры решения таких задач арифметическим способом или с помощью уравнения, (систем уравнений).

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах. [4]

Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 1212мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние S = v⋅t, S=1000⋅12=500 (м).

Ответ: 500м.

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах. [5]

Решение: Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние S=v⋅t,

S=1500⋅1=1500,

1500-800=700 (м). (Минус длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 700 метров).

Ответ: 700 м.

Задача 3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина поезда, 

Тогда S=(х+400) м, t=1/60  ч., v=60 км/ч=60 000 м/ч.

S= v⋅t ,

(х+400)=60 000∙ 1/60,

х+400= 1000,

х=600.

Ответ: 600м.

  При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). 

Задача 4: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? [5]

Решение: Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v (м/мин) , равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние 400м+ 120м +600м +80м =1200м.

v = S / t,

v = 1200:12 = 100(м/мин) = 6000 (м/ч) = 6 (км/ч).

Ответ: 6 км/ч.

Задача 5: По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. [2]

Решение: Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина пассажирского поезда,

Тогда S =(х+600) м, t =1мин., v =1000 м/мин.,

S= v⋅t

х +600 =1000 ⋅ 1,

х +600 =1000,

х  =400.

Ответ: 400м.

Задача 6: По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. [5]

Решение:

65 +35 =100 (км/ч) =100 000 (м/ч)

Скорость навстречу друг другу (сумма скоростей при движении навстречу друг другу). Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина товарного поезда,

Тогда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч.

 v =100 000 м/ч.,

S= v⋅t

х +700 =100 000 ⋅ 0,01,

х +700 =1000,

х  =300.

Ответ: 300м.

Задача 7. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатору и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору? [2]

Решение: Пусть N - число ступенек эскалатора, y- скорость эскалатора, x- мальчика.
N/(x+y) -время движения вниз, равное  30/х,

 N/(x-y) - время движения вверх, равное 70/х.
Отсюда
N/(x+y) =  30/х,
N/(x-y) = 70/х.

Делим первое на второе, получаем  (x-y) /(x+y) =  3/7. Отсюда, как было у  получаем  y=0,4x.
Тогда подставляем в первое уравнение и получаем  N=42.
Следовательно, он пробежит 42 ступеньки по неподвижному эскалатору.

Ответ: 42.

Для закрепления материала предлагаются задачи для самостоятельного решения:

1.     Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 55 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям  со скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда. [5]

2.     Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям  со скоростью 6 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда. Ответ дайте в метрах. [5]

3.     Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд, а мимо платформы длиной 378 метров – за 25 секунд. Найдите длину поезда в метрах. [1]

4.     По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют  пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1400 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам.

       Ответ дайте в метрах.  [5]

5.     По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах. [6]

6.     Пассажирский поезд едет со скоростью 60 км/ч, навстречу ему по параллельной колее едет товарный состав. Человек в купе пассажирского поезда засек время, за которое товарный состав прошел мимо него. Найдите длину товарного состава, если это время равно 20 секунд, а скорость товарного  состава равна 30 км/ч. Ответ дайте в метрах.  [6]

7.     По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая  длиной 60 метров, вторая — длиной 40 метров. Сначала вторая  баржа  отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 200 метров. Через 18 минут после этого уже первая баржа  отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 300 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй?  [6]

8.     По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая  длиной 70 метров, вторая — длиной 30 метров. Сначала вторая  баржа  отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 250 метров. Через 14 минут после этого уже первая баржа  отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 350 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? [6]

9.     По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй — длиной 70 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 200 метров. Через 8 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 500 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?  [6]

10. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору? [1]

11.  Два человека одновременно стали спускаться, считая ступеньки по движущемуся вниз эскалатору метро, причем один шаг вдвое быстрее другого. Один из них отсчитал по окончании движения 60 ступенек, а второй  - 40. Сколько ступенек пришлось бы отсчитать при движении по неподвижному эскалатору? [2]

12. Лида спустилась вниз по движущемуся вниз эскалатору за 24 секунды. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительно  него она спустилась за 42 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося  эскалатора? [6]

13. Таня  спустилась вниз по движущемуся вниз эскалатору за 28 секунд. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительно  него она спустилась за 44 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося  эскалатора? [6]

14. Ваня сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 40 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?  [6]

Ответы к задачам для самостоятельного решения:

1.     500м, 2.  400м , 3.  147 м, 4.  600м,  5.  400м, 6.  500м, 7.  2км/ч, 8.   3км/ч,

9.  6,6 км/ч , 10.   50 , 11.  120 , 12.  56 , 13.  77, 14.  48 .