Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего  образования

«Югорский государственный университет» (ЮГУ)

ЛЯНТОРСКИЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИКУМ

(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Югорский государственный университет»

(ЛНТ (филиал) ФГБОУ ВО «ЮГУ»)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению практических работ

по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование

Лянтор 2022г.

УДК 004.6

ББК 32.973

         М54

Рекомендовано Методическим советом ЛНТ (филиал) ФГБОУ ВО «ЮГУ» в качестве учебно-методического пособия. Протокол № 3 заседания Методического совета ЛНТ от 22.11.2021 г.

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика специальности 09.02.07 Информационные системы  и программирование [Текст]: учебно-методическое пособие для обучающихся, обучающихся по специальности 09.02.07  Информационные системы  и программирование / Составитель Г. Ш. Гимаметдинова; М-во науки и высшего образования РФ, ЛНТ (филиал) ФГБОУ ВО «ЮГУ». – Лянтор: ЛНТ, 2019. – 75 с.

                                                                                                      УДК 004.6

                                                                                                        ББК 32.973

Содержание

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА	4
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ	6
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ	7
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1. Подсчет числа комбинаций	8
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2. Вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики	12
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3. Вычисление вероятностей сложных событий	16
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4. Построение закона распределения и функции распределения дискретной случайной величины	26
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5. Вычисление основных числовых характеристик дискретной случайной величины	30
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6. Вычисление числовых характеристик НСВ. Построение функции плотности и интегральной функции распределения	37
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7. Вычисление числовых характеристик выборки	39
Список литературы	43

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ  ЗАПИСКА

Методические указания по выполнению практических работ разработаны в соответствии Федеральным государственным образовательным  стандарта (далее - ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее - СПО) 09.02.07 Информационные системы и программирование, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «09» декабря  2016г. № 1547

Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика относится к математическому и общему естественнонаучному учебному  циклу.

Структура методических указаний определена последовательностью изучения дисциплины.

           Дидактическая цель практических работ – осмыслить и закрепить материал лекций, сформировать умения применять полученные знания на практике, реализовать единства интеллектуальной и практической деятельности, развивать выработку при решении поставленных задач самостоятельность, ответственность, точность, творческую инициативу.

В данный сборник входит 14 практических работ, в каждой работе даются краткие методические указания, и их следует строго выполнять. Далее указан номер, наименование и количество часов, отведенного на каждую работу.

           В результате выполнения практических работ обучающийся должен уметь:

                         -применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

                         -использовать расчетные формулы, таблицы, графики при решении статистических задач;

                         -применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.

        В результате выполнения практических работ обучающийся должен знать:

- элементы комбинаторики.

 -понятие случайного события, классическое определение вероятности, вычисление вероятностей событий с использованием элементов комбинаторики, геометрическую вероятность.

-алгебру событий, теоремы умножения и сложения вероятностей, формулу полной вероятности.

-схему и формулу Бернулли, приближенные формулы в схеме Бернулли. Формулу(теорему) Байеса.

-понятия случайной величины, дискретной случайной величины, ее распределение и характеристики, непрерывной случайной величины, ее распределение и характеристики.

-законы распределения непрерывных случайных величин. Центральную предельную теорему, выборочный метод математической статистики, характеристики выборки.

- понятие вероятности и частоты.

В результате освоения  дисциплины обучающийся должен  обладать общими компетенциями,  включающими в себя способность:  

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам;

ОК 02. Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности;

ОК 03 Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие;

ОК 04. Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами;

ОК 05. Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста;

ОК 06 Проявлять гражданско-патриотическую позицию, демонстрировать осознанное поведение на основе традиционных общечеловеческих ценностей; ОК 09. Использовать информационные технологии в профессиональной деятельности;

ОК 10. Пользоваться профессиональной документацией на государственном и иностранном языках.

ОК 11. Планировать предпринимательскую деятельность в  результате освоения  дисциплины обучающийся должен   обладать профессиональными компетенциями, соответствующими видам деятельности:

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

№ п/п	Наименование работы	Количество часов
1	Практическая работа №1. Подсчет числа комбинаций	2
2	Практическая работа №2 Вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики	2
3	Практическая работа №3 Вычисление вероятностей сложных событий	2
4	Практическая работа №4 Построение закона распределения и функции распределения дискретной случайной величины	2
5	Практическая работа №5 Вычисление основных числовых характеристик дискретной случайной величины	2
6	Практическая работа №6 Вычисление числовых характеристик НСВ. Построение функции плотности и интегральной функции распределения	2
7	Практическая работа №7 Вычисление числовых характеристик выборки	2
	Итого	14

ПРАВИЛА ВЫПОЛЕНИЯ   ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

   Перед выполнением практической работы обучающийся получает опережающее теоретическое домашнее задание. На занятии объясняются непонятные вопросы, опрашиваются определения, которые помогают выполнению заданий. После обучающиеся приступают к выполнению практической работы.

При выполнении работ обучающийся должен самостоятельно изучить методические рекомендации по проведению конкретной работы; выполнить соответствующие задания и расчеты; пользоваться справочной и технической литературой; подготовить ответы на контрольные вопросы.

Изучая теоретическое обоснование, обучающийся должен иметь в виду, что основной целью изучения теории является умение применить ее на практике для решения практических задач.

После выполнения работы обучающийся должен представить отчет о проделанной работе с полученными результатами и выводами и устно ее защитить. Отчеты по практическим работам выполняются в отдельной тетради в клетку. Необходимо оставлять поля шириной 25…30 мм для замечаний преподавателя. Все графики  и рисунки, сопровождающие выполнение практических работ выполняются карандашом в соответствии с требованиями ГОСТ.

Неаккуратное выполнение практической работы, несоблюдение принятых правил и плохое оформление графиков и схем могут послужить причиной возвращения работы для доработки.

Если обучающийся не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть внеурочное время, согласованное с преподавателем.

Оценку по практической работе обучающийся получает, с учетом срока выполнения работы, если:

-          задания выполнены правильно и в полном объеме;

-          сделан анализ проделанной работы и вывод по результатам работы;

-          обучающийся может пояснить выполнение любого этапа работы;

-          отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы.

Зачет по практическим работам обучающийся получает при условии выполнения всех предусмотренных программой работ после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы и контрольные вопросы во время практических занятий.

Критерии оценки выполнения практических заданий

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся выполнил работу в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности действий; в ответе правильно и аккуратно выполняет все записи, таблицы, рисунки, чертежи, графики, вычисления; правильно выполняет анализ ошибок.

Оценка «хорошо» ставится, если обучающийся выполнил требования к оценке «отлично», но допущены 2-3 недочета.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся выполнил работу не полностью, но объем выполненной части таков, что позволяет получить правильные результаты и выводы; в ходе проведения работы были допущены ошибки.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся выполнил работу не полностью или объем выполненной части работы не позволяет сделать правильных выводов;

Практическая работа  № 1

(2 часа)

Тема: Подсчет числа комбинаций.

Цель: рассмотреть задачи комбинаторного характера, которые имеют отношение к теории вероятностей;

Обучающийся должен знать: виды комбинаторики и их формулы вычисления;

Обучающийся должен уметь: подсчитать число различных вариантов, ответить на    вопрос «сколько?» или «сколькими способами?»

Теоретическое обоснование.

1. Размещения.

Размещением из n элементов по m  элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного множества.

,  или

, 

где  «эн факториал» равен: 

2. Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

3. Сочетания.

Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Свойства:

1)                                           2)

3)                     4)                  

Задание № 1. В группе из 30 обучающийсяов нужно выбрать старосту, ответственного за дежурство и физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30 обучающийсяов староста, ответственный за дежурство и спортсмен?

Решение:

Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента, т.е.

Задание № 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке 6 различных книг?

Решение:

Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.                

Задание № 3. В бригаде из 25 электриков нужно выделить 4 для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Так как порядок выбранных четырех электриков не имеет значения, то это можно сделать  способами.  Находим    

Задание № 4. Решить уравнение: 

Решение:

;      ;   или               

,   , 

,        ()

- не удовлетворяет, т.к. по условию   и 

Ответ:

Ход работы:

В - 1	№ 1	№ 31
В – 2	№ 2	№ 32
В – 3	№ 3	№ 33
В – 4	№ 4	№ 34
В – 5	№ 5	№ 35
В – 6	№ 6	№ 36
В – 7	№ 7	№ 37
В – 8	№ 8	№ 38
В – 9	№ 9	№ 39
В - 10	№ 10	№ 40
В - 11	№ 11	№ 41
В - 12	№ 12	№ 42
В - 13	№ 13	№ 43
В - 14	№ 14	№ 44
В - 15	№ 15	№ 45

В - 16	№ 16	№ 46
В - 17	№ 17	№ 47
В - 18	№ 18	№ 48
В - 19	№ 19	№ 49
В - 20	№ 20	№ 50
В – 21	№ 21	№ 51
В – 22	№ 22	№ 52
В – 23	№ 23	№ 53
В – 24	№ 24	№ 54
В – 25	№ 25	№ 55
В – 26	№ 26	№ 56
В – 27	№ 27	№ 57
В – 28	№ 28	№ 58
В – 29	№ 29	№ 59
В – 30	№ 30	№ 60

Вычислите:

№ 1.                                                 № 31.                 

№ 2.                                                  № 32.           

№ 3.                                                 № 33.        

№ 4.                                                 № 34. 

№ 5.                                                  № 35.                

№ 6.                                                 № 36.          

№ 7.                                                 № 37.           

№ 8.                                                 № 38.              

№ 9.                                                № 39.                 

№ 10.                                               № 40.           

№ 11.                                               № 41.               

№ 12.                                              № 42.              

№ 13.                                              № 43.              

№ 14.                                               № 44.                

№ 15.                                               № 45.            

№ 16.                                               № 46.               

№ 17.                                               № 47.             

№ 18.                                              № 48.          

№ 19.                                              № 49.           

№ 20.                                              № 50.                            

№ 21.                                              № 51.                   

№ 22.                                              № 52.                      

№ 23.                                              № 53.        

№ 24.                                             № 54.         

№ 25.                                             № 55. 

№ 26.                                            № 56.                 

№ 27.                                             № 57.                     

№ 28.                                             № 58.

№ 29.                                             № 59.                          

№ 30.                                             № 60.          

Решите уравнение:

№ 61.                         № 62.   

№ 63.                        № 64.             

№ 65.                              № 66.      

№ 67.                                № 68.      

№ 69.                               № 70.            

№ 71.                           № 72.              

№ 73.                                № 74.                

№ 75.                                     № 76.               

№ 77.                                      № 78.      

№ 79.                                  № 80.                 

№ 81.                           № 82.         

№ 83.                                 № 84.                  

№ 85.                        № 86.                     

№ 87.                                 № 88.                         

№ 89.                                 № 90.             

Контрольные вопросы:

1)  Что такое комбинаторика?

2)  Перечислите виды комбинаторики.

3)  Что такое факториал? Как вычислить 5!, 0!, 1! .

4)  Напишите формулы вычисления размещения, перестановки и сочетания.

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2.. Решить задание № 2 и записать его ответ.

3.  Устно  ответить  на вопросы.

Практическая работа  № 2

(2 часа)

Тема: Вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики.

Цель: показать связь независимых испытаний в теории вычислительных машин, теории автоматов, в задачах экономики и т.д.    

Обучающийся должен знать:

-    формулу Бернулли;

-    определение независимых испытаний, теоремы сложения и  умножения.

Обучающийся должен уметь:  

-   использовать формулу Бернулли в решении задачи;

Теоретическое обоснование.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна  p (где 0 < p < 1), событие  А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

,  где 

Случайные события А и  В называются независимыми, если вероятность события В  не зависит от того, появилось ли событие А или нет.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задание № 1.  Вероятность попадания  при шести выстрелах равна 0.8.Найти вероятность попадания при четырех выстрелах.

Решение:

Здесь . По формуле Бернулли находим

Ответ:

Задание № 2.  Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеется 7 белых:

                          а) вынутый шар возвращается обратно в урну; 

                          б) если вынутый шар в урну не возвращается.

Решение:

Обозначая появление белого шара первый раз символом А и второй раз символом В, будем иметь:

а) события А и В независимы и .

Поэтому Р (и А, и В) =

б) события А и В зависимы и ,  а  .

Поэтому  Р (и А, и В) =

Ход работы:

В - 1	№ 1		В - 16	№ 16
В - 2	№ 2		В - 17	№ 17
В – 3	№ 3		В – 18	№ 18
В – 4	№ 4		В – 19	№ 19
В – 5	№ 5		В – 20	№ 20
В – 6	№ 6		В – 21	№ 21
В – 7	№ 7		В – 22	№ 22
В – 8	№ 8		В – 23	№ 23
В – 9	№ 9		В – 24	№ 24
В – 10	№ 10		В – 25	№ 25
В – 11	№ 11		В – 26	№ 26
В – 12	№ 12		В – 27	№ 27
В – 13	№ 13		В – 28	№ 28
В – 14	№ 14		В – 29	№ 29
В – 15	№ 15		В – 30	№ 30

Решить задачу.

№ 1.   На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А)

№ 2.   Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

№ 3.   В квартире 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна  5 / 6.  Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

№ 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна  1 / 5. Найти вероятность того, что  из 10 выстрелов не будет ни одного попадания.

№ 5.    Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность 5   попаданий при 6 выстрелах.

№ 6.   В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не менее 4 окажутся стандартными.

№ 7.    Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее 8 автомашин, а их имеется 10. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.

№ 8.    В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из 5 вынутых шаров будет 2 белых.

№ 9.    Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна  .  Найти  вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.

№ 10. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом «герб»   выпадет 3 раза?

№ 11.  Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет 3?

№ 12.  Найти вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

№ 13.  По мишени производится 100 выстрелов. Каково наивероятнейшее число попаданий, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна  5/6?

№ 14.  По мишени производится 100 выстрелов. Каково наивероятнейшее число попаданий, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна  1/6?

№ 15.  Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом «герб»   выпадет 4 раза?

№ 16.  В приборе  4 лампы. Вероятность выхода из строя в течение года для каждой лампы равна  1/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины всех ламп?

№ 17.  Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность 4   попаданий при 6 выстрелах.

№ 18.  Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна  .  Найти  вероятность того, что в ближайшие 15 суток расход электроэнергии в течение 5 суток не превысит нормы.

№ 19.  В квартире 4 электролампочки. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна  1/2.  Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

 № 20.  Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдет 10?

№ 21.  Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее 6 автомашин, а их имеется 9. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.

№ 22.  В ящике находятся 30 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей не менее 4 окажутся стандартными.

№ 23.  Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,2, для второго – 0,4, для третьего – 0,4. Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

№ 24.  На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 20 учебников, причем 15 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 5 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А)

№ 25.  В урне 20 шаров: 10 белых и 10 черных. Вынули подряд 6 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из 6 вынутых шаров будет 3 белых.

№ 26.  Для нормальной работы станции скорой медицинской помощи требуется не менее 5 автомашин, а их имеется 10. Найти вероятность нормальной работы станции в ближайший день, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,3.

№ 27. На книжной полке произвольным образом расставлены 8 книг. Вычислите вероятность того, что 3 определенные книги окажутся поставленными рядом.

№ 28.  Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,1, для второго – 0,3, для третьего – 0,6. Найти вероятность р того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

№ 29.  В ящике находятся 20 стандартных и 10 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не менее 3 окажутся стандартными.

№ 30. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 8 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А)

Контрольные вопросы

1. Вероятность каких событий можно вычислить по формуле Бернулли?

2. Какое распределение называется биномиальным?

3. Напишите формулу Бернулли.

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2. Устно ответить на контрольные вопросы.

Практическая работа  № 3

(2 часа)

Тема.  Вычисление вероятностей сложных событий.

Цель: решение задач на вычисление сложных событий, на применение теорем сложения и умножения вероятностей, на применение формулы полной вероятности; формул Байеса и Бернулли.

Обучающийся должен знать:

-    формулу Бернулли;

-    определение независимых испытаний, теоремы сложения и  умножения.

Обучающийся должен уметь:  

-   использовать формулу Бернулли в решении задачи;

Теоретическое обоснование

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей

Произведение двух событий состоит из тех элементарных событий, которые благоприятствуют и первому, и второму событию, то есть принадлежат их пересечению АВ = А ∩ В. Вероятность произведения событий зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми.  События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий А и В называются безусловными; и вероятность произведения таких событий равна произведению их вероятностей

                                        Р(АВ) = Р(А) Р(В                                   (1)

(4.1)

         Вероятность совместного появления нескольких независимых событий в совокупности равна произведению вероятностей этих:

                            P(A₁  А₂  .. А_n) = P(A₁) Р(А₂)  …· Р(А_n)            

         События А и В зависимые, если вероятность одного из событий зависит от появления или не появления другого. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что А уже осуществилось, называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В).

         Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

                Р(АВ) = Р(А)Р_А(В)     или      Р(АВ) = Р(В)Р_В(А).              (2)

         Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий (произведения событий) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже произошли (теорема умножения вероятностей для зависимых событий):

        Р(А₁ А₂   ..... А_n) = P(A₁) P_A1 (A₂)Р _{А1 А2} (А₃) ..... P _{A1 А2  .... An-1} (A_n)      

        Теорема сложения вероятностей

        В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления и определяется по формуле:

                                                                   (3)

         Очевидно, что если события несовместны, то вероятность их совместного наступления равна нулю. Поэтому для двух несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

                        Р(А + В) = Р(А) + Р(В)                                       (4)                           

         Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

      Р(А₁  + А₂ +.... +А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n)                

         Формулы для определения вероятности суммы большего числа совместных событий достаточно громоздки.  Если число событий возрастает, то часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий, противоположно событию - «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу:

                   Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = 1- Р(Ā₁  Ā₂ …  Ā_n)                           (5)

  Пример 1.1 Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей, причем в первом ящике  - 8, во втором – 7 и в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали.  Найти вероятность того, что все три вынутые детали будут стандартные.

Решение: вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А) равна . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие  В) равна  .Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С) равна . Событие «все три вынутые детали будут стандартные» -есть произведение событий А, В,С.  Т.к. события А, В, С – попарно независимы , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем:

                    .

         Пример 1.2 В вазе лежит 3 шоколадных и 7 вафельных конфет. Наудачу  берется одна конфета, затем другая. Найти вероятность того, что первая конфета была шоколадной, а вторая – вафельной?

Решение: вероятность того, что первая конфета - шоколадная (событие А) . Вероятность того, что  вторая конфета – вафельная, вычисленная в предположении, что первая конфета была шоколадной,  т.е. условная вероятность равна   . Т.е. по теореме умножения для зависимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) =

         Пример 1.3  В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара.  Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании извлечен белый шар (событие А), при втором -  черный шар (событие В), при третьем – синий (событие С)?

Решение: Вероятность появления белого шара в первом испытании равна. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, т.е. условная вероятность равна. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, а при втором – черный, т.е. условная вероятность равна  .Окончательно имеем:

                      Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)=

2. Условная вероятность.

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью PA(B)=P(B|A) (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

P(AB)=P(B)⋅P(A|B)=P(A)⋅P(B|A).

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

P(A|B)=P(AB)P(B),P(B|A)=P(AB)P(A).

Пример 2.1 В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример 2.2 В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Результаты совпали.

Пример 2.3.В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Пример 2.4 Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

,
где (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем
.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.

3. Полная вероятность.

           Формула полной вероятности часто используется на практике в задачах экономического анализа и в научно-исследовательских работах.

           Пусть имеются события Н₁, Н₂,…, Н_n , образующие полную группу, и известны вероятности Р(Н₁), Р(Н₂),…, Р(Н_n) ,    этих событий, причем  в силу их несовместности, имеем:

                                                                  (1)

           Будем называть эти события гипотезами, если некоторое событие А может произойти или нет лишь вместе с одним из этих событий, и при этом известны условные вероятности наступления события А совместно с каждой из гипотез:

                                  

           В этом случае следует вычислять вероятность наступления события A по формуле полной вероятности:

                                         

           Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующие условные вероятности события А при условии наступления соответствующей гипотезы.

По формуле полной вероятности можно вычислять, например, вероятность попадания на сборку стандартной детали из общей партии деталей, изготовленных на нескольких станках, если для каждого станка известны его доля в общем выпуске деталей и процент стандартных деталей в общем числе выпускаемых деталей, а также другие аналогичные задачи.

Пример 3.1    Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в пе­риод экономического роста, равна 0,04, а в период эконо­мического кризиса — 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Решение:  обозначим А — событие, состоящее в том, что клиент банка не вернет полученный кредит. Это может произойти совместно с одной из заданных гипотез:      Н — экономический рост;     Н — экономический кризис.

По условию задачи:    P(Н) = 0,65;            Р(Н) = 0,35;

                                    P_Н(A) = 0,04;        Р_Н(A) = 0,13.

Используем формулу полной вероятности:

   Р(А) = Р(Н)P _Н(A) + Р(Н) Р _Н(A) = 0,65 • 0,04 + 0,35 • 0,13 = 0,0715.

  Пример 3.2  В учебном пособии по физике имеется 45 задач к первому разделу, 30 задач ко второму и 35 задач к третьему разделу дисциплины. Шансы студента правильно решить за­дачу из первого раздела оцениваются в 80%, из второго — в 65 %, из третьего — 85%. Студент наудачу открывает по­собие. Определите вероятность, что он решит случайно выб­ранную задачу.

Решение: обозначим А — событие, состоящее в том, что студент решит случайно выбранную задачу. Это может произойти совместно с одной из следующих гипотез:

    H- задача из первого раздела;  H- задача из второго раздела;  H - задача из третьего раздела.  Определим вероятности гипотез:

        P (H) =  = ≈ 0,409;   P (H) =  =  ≈ 0,273;

        P (H) =  =  ≈ 0,318;

Запишем условные вероятности:

        P _Н (A) = 0,8;               Р _Н (A) = 0,65;               Р _H (A) = 0,85.

      Для вычисления вероятности того, что студент решит за­дачу, используем формулу полной вероятности:

     Р(А)=Р(Н)P_Н(A)+Р(Н)Р_Н(A)+Р(Н)Р_H(A)= 0,409 • 0,8+ 0,273 • 0,65+ +0,318 • 0,85 = 0,77495

4. Формула Байеса.

Если событие А может наступить только вместе с одной из гипотез , образующих полную группу событий, и известны априорные вероятности каждой гипотезы и условные вероятности наступления события   А совместно с каждой из гипотез:  , то, проведя опыт или эксперимент, можно восстановить апостериорные вероятности гипотез, при условии, что события А произошло.

Для определения   апостериорных   условных   вероятностей гипотез используется формула Байеса:

где  вычисляется по формуле полной вероятности.

     По формуле Байеса вычисляется вероятность наступления i-той гипотезы, если событие А уже произошло: вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на отвечающую ей условную вероятность события А, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события А.

Пример 4.1 Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): B₁- деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) P(B₁) = 2/3; В₂ - деталь произведена вторым автоматом, причем P(B₂) = 1/3. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, P_B1(A) = 0,6.  Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, P_B2(A) = 0,84.  Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

        Р(А) = Р (В₁) Р_B1(А) + Р(В₂) Рв₂(А) =  0,6 +0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

5. Фомула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (где ), событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

Пример 5.1 Вероятность того, что расход электроэнергии в продол­жение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Сле­довательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

                  

Ход работы:

В - 1	№ 1		В - 16	№ 16
В - 2	№ 2		В - 17	№ 17
В – 3	№ 3		В – 18	№ 18
В – 4	№ 4		В – 19	№ 19
В – 5	№ 5		В – 20	№ 20
В – 6	№ 6		В – 21	№ 21
В – 7	№ 7		В – 22	№ 22
В – 8	№ 8		В – 23	№ 23
В – 9	№ 9		В – 24	№ 24
В – 10	№ 10		В – 25	№ 25
В – 11	№ 11		В – 26	№ 26
В – 12	№ 12		В – 27	№ 27
В – 13	№ 13		В – 28	№ 28
В – 14	№ 14		В – 29	№ 29
В – 15	№ 15		В – 30	№ 30

 Решите задачи:

1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст только второй экзамен.

2. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания.

3. У сборщика имеется 5 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял последовательно 2 валика. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

4. Слово арифметика составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

5. Имеется три ящика, содержащих по 12 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

6. В пирамиде 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,85; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти  вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

7. В первой коробке содержится 25 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 15 ламп, из них 11 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

8. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,85, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

9. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набранные цифры правильные.

10. Из 50деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7.  Какова  вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

11. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз.

12. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

13. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

14. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

15. Легковых автомобилей у бензоколонки проезжает вчетверо больше, чем грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой  - 0,15.  Только что от бензоколонки отъехала заправленная машина. Какова вероятность того, что это был грузовик?

16. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст три экзамена.

17. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания.

18. В урне 10 красных шаров и 5 белых. Из урны последовательно вынимают два шара.  Найти вероятность того, что первый из взятых шаров – белый, а второй – красный.

19. Слово программист составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

20. В трех коробках лежат книги: в первой – 10(из них 3 словаря), во второй – 15(из них 5 словарей) и в третьей – 8(из них 5 словарей). Из каждой коробки наудачу вынимают по одной книге. Найти вероятность того, что все три книги окажутся словарями. 

 21. В пирамиде 25 винтовок, 8 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,65. Найти  вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

22.  В первой коробке содержится 35 радиоламп, из них 20 стандартных; во второй коробке – 25 ламп, из них 10 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

23. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,7, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

24. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

25. Из 70деталей 20 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех – с вероятностью 0,75.  Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

26.  Найти вероятность того, что событие А появится не менее  трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

27. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

28. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

4. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

29. В двух цехах изготавливается однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое выше, чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 92%, для второго 87%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие. Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества

30. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст только один экзамен.

первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте теорему умножения событий.

2. Сформулируйте теорему сложения событий.

7. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

8. Дайте определение условной вероятности.

9. Формула полной вероятности.

10. Какие вероятности вычисляются по формуле Байеса (Бернулли)?

11. Как записывается формула Байеса?

12. Как записывается формула Бернулли?

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2. Устно ответить на контрольные вопросы.

Практическая работа  № 4

(2 часа)

Тема: Построение закона распределения и функции распределения дискретной случайной величины

Цель: Научиться составлять закон распределения дискретной случайной величины;

Обучающийся должен знать:

-     Понятие условной вероятности.

-     Формула полной вероятности.

Обучающийся должен уметь:  

-   составлять закон распределения дискретной случайной величины;

Теоретическое обоснование.

         Законом распределения дискретной слу­чайной величины (сокращенно ДСВ) называют соотношение, устанавливаю­щее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятно­стями.

       Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

       При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины таблица состоит из двух строк и называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины X. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая - соответствующие им вероятности.

			…
			…

       Значения  записываются в таблице, как пра­вило, в порядке возрастания. Приняв во внимание, что в каждом отдельном испыта­нии случайная величина принимает только одно возмож­ное значение случайной величины X, заключаем, что собы­тия  несовместны и образуют пол­ную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таб­лицы, равна единице:

Задание № 1.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 3 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Решение:

Случайная величина Х – число попаданий в цель при 3 выстрелах – может принимать значения 0, 1, 2, 3, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли 

Итак, искомый закон распределения имеет вид:

Х	0	1	2	3
р	0,001	0,027	0,243	0,729

Ход работы:

В - 1	№ 1		В - 16	№ 16
В - 2	№ 2		В - 17	№ 17
В – 3	№ 3		В – 18	№ 18
В – 4	№ 4		В – 19	№ 19
В – 5	№ 5		В – 20	№ 20
В – 6	№ 6		В – 21	№ 21
В – 7	№ 7		В – 22	№ 22
В – 8	№ 8		В – 23	№ 23
В – 9	№ 9		В – 24	№ 24
В – 10	№ 10		В – 25	№ 25
В – 11	№ 11		В – 26	№ 26
В – 12	№ 12		В – 27	№ 27
В – 13	№ 13		В – 28	№ 28
В – 14	№ 14		В – 29	№ 29
В – 15	№ 15		В – 30	№ 30

Составить закон распределения.

№ 1.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

№ 2.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.

№ 3.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

№ 4.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

№ 5.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 9 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.

№ 6.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

№ 7.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

№ 8.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

№ 9.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

№ 10.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

№ 11.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25.

№ 12.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.

№ 13.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.

№ 14.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,03.

№ 15.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,04.

№ 16.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 6 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,08.

№ 17.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.

№ 18.   Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.

№ 19.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,03.

№ 20.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 4 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

№ 21.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,04.

№ 22.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

№ 23.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01.

№ 24.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 10 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.

№ 25.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 9 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2.

№ 26.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,001.

№ 27.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 9 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.

№ 28.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,001.

№ 29.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 7 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,02.

№ 30.  Составить закон распределения числа попаданий в цель при 8 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,03.

Контрольные вопросы:

1.       Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины.

2.      Дайте определение функции распределения дискретной случайной величины.

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2. Устно  ответить  на контрольные вопросы.

Практическая работа  № 5

(2 часа)

Тема: Вычисление основных числовых характеристик дискретной случайной величины.

Цель: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.

Обучающийся должен знать:

-               знать определение математического ожидания дискретной случайной величины;

-               знать определение дисперсии дискретной случайной величины;

Обучающийся должен уметь:

-               решать простейшие задачи с использованием известных формул;

-               вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

Теоретическое обоснование.

Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта.

Определение.  Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т.е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность или бесконечную последовательность.

Определение. Числа, которые описывают случайную величину суммарно называют числовыми характеристиками случайной величины.

Определение. Выборочным средним  выборки объема   со    статистическим распределением называется среднее арифметическое значений признака выборки, т.е.

Определение.  Математическим ожиданием  дискретной случайной  величины   называется сумма произведений всех ее возможных значений   на их вероятности 

Определение.  Дисперсией дискретной случайной величины  называется математическое ожидание квадрата ее отклонения

Пусть - непрерывная случайная величина, распределенная с некоторой плотностью  f(x). То существует формула

Определение.  Число  носит название среднего квадратичного отклонения величины

Если  величина  дискретна, и  , если   распределена с плотностью  f(x).

Определение. Дисперсия выборочной равна разности среднего арифметического значений квадратов признака и квадрата среднего значения признака

Задание № 1.  Найти математическое ожидание случайной величины , если закон ее распределения задан таблицей

Х	1	2	3	4
р	0,3	0,1	0,2	0,4

Ответ:

Задание № 2.  Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины , если закон ее распределения задан таблицей

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Вычислим дисперсию:  

Найдем среднее квадратичное отклонение:

Ответ:  и  

Задание № 3.  Вычислить выборочное среднее для выборки

	1	2	3	4	5	6
	1	1	3	4	11	5

Задание № 4.  Вычислить дисперсию выборки

	1	2	3	4	5	6
	1	1	3	4	11	5

Ход работы:

В - 1	№ 1	№ 31		В - 16	№ 16	№ 46
В - 2	№ 2	№ 32		В - 17	№ 17	№ 47
В – 3	№ 3	№ 33		В – 18	№ 18	№ 48
В – 4	№ 4	№ 34		В – 19	№ 19	№ 49
В – 5	№ 5	№ 35		В – 20	№ 20	№ 50
В – 6	№ 6	№ 36		В – 21	№ 21	№ 51
В – 7	№ 7	№ 37		В – 22	№ 22	№ 52
В – 8	№ 8	№ 38		В – 23	№ 23	№ 53
В – 9	№ 9	№ 39		В – 24	№ 24	№ 54
В – 10	№ 10	№ 40		В – 25	№ 25	№ 55
В – 11	№ 11	№ 41		В – 26	№ 26	№ 56
В – 12	№ 12	№ 42		В – 27	№ 27	№ 57
В – 13	№ 13	№ 43		В – 28	№ 28	№ 58
В – 14	№ 14	№ 44		В – 29	№ 29	№ 59
В – 15	№ 15	№ 45		В – 30	№ 30	№ 60

Вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины

Х	0	1	2
р

№1. 

Х	0	1	1	2
р

№ 2. 

Х	1	2	3	4	5	6
р

№ 3.

Х	-1	0	1	2	3
р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

№ 4.

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

№ 5.

Х	-8	-4	-1	1	3	7
р

№ 6. 

Х	-2	-1	0	1	2	3
р					0

№ 7. 

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

№ 8. 

Х	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

№ 9.  

Х	1	2	3	4
р	0,3	0,1	0,2	0,4

№ 10.

Х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

№ 11.

Х	1	2	3	4
р	0,9	0,8	0,75	0,7

№ 12.

Х	0	1	2	2
р

№ 13.

Х	1	2	3	4
р	0,01	0, 32	0,46	0,21

№ 14.

Х	-2	-1	1	2
р	0,2	0,1	0,4	0,3

№ 15.

Х	0	1	1	2
р	0,1	0,1	0,6	0,2

 № 16.

Х	0	1	1	2
р	0,2	0,1	0,2	0,5

№ 17. 

Х	1	9
р	0,4	0,6

№ 18.

Х	2	3	5
р	0,1	0,4	0,5

№ 19.

Х	1	2	4
р	0,1	0,3	0,6

№ 20.

Х	1	3
р	0,4	0,6

№ 21.

Х	1	2
р	0,6	0,4

№ 22.

Х	4,3	5,1	10,6
р	0,2	0,3	0,5

№ 23.

Х	131	140	160	180
р	0,05	0,1	0,25	0,6

№ 24.

Х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

№ 25.

Х	4	5	10	12
р	0,2	0,1	0,3	0,4

№ 26.

Х	0	1	2	3
р	0,05	0,10	0,25	0,60

№ 27.

№ 28.

Х	-1	0	1	2
р

Х	-4	6	10
р	0,2	0,3	0,5

№ 29.

№ 30.

Х	0,21	0,54	0,61
р	0,1	0,5	0,4

Составьте выборку и оцените дисперсию средней выборки.

№ 31.  (2, 7, 7, 7, 5, 7,  5, 5, 7, 7)

№ 32.   (8, 8, 12, 12, 12, 12, 12, 8, 12, 12, 12, 12, 12, 4, 4, 7, 7, 4, 4, 4)

№ 33.   (2, 7, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8)

№ 34.   (4, 4, 7, 8, 4, 8, 8, 7, 4, 4)

№ 35.   (1, 4, 1, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7)

№ 36.   (2, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)

№ 37.   (15, 20, 25, 30, 35, 35, 30, 25, 20, 20, 15, 15, 20, 20, 30, 30, 35, 35)

№ 38.   (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 7, 5, 5, 5, 5, 3)

№ 39.   (1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5)

№ 40.   (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4)

№ 41.   (-20, 0, 0, 10, 0, 10, -20, 0, 0, 10)

№ 42.   (26, 6, 6, 6, 26, 6, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3)

№ 43.   (2, 2, 2,2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 10, 10, 10, 10)

№ 44.   (1250, 1270, 1270, 1270, 1280, 1280, 1250, 1270, 1270, 1280)

№ 45.   (2560, 2600, 2620, 2620, 2620, 2620, 2620, 2650, 2700, 2650, 2650, 2620, 2620, 2650,    2620, 2620, 2560, 2600, 2600, 2620)

№ 46.   (186, 194, 192, 192, 194, 186, 194, 192, 192, 192)

№ 47.   (8, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 8, 4, 1)

№ 48.   (102, 108, 108, 104, 108, 104, 108, 104, 102, 108)

№ 49.    = (0,1; 0,5; 0,6; 0,8)   и    = (5; 15;  20; 10)

№ 50.    = (1250;  1275;  50)   и    = (20;  25;  5)

№ 51.    = (0,01;  0,05;   0,09)   и    = (2;  3;  20;  3)

№ 52.    = (23, 5;  26,1;  28,2;  30,4)   и    = (2;  3;  4;  1)

№ 53.    = (0;  1;   2;   3;  4)   и    = (132;  43;  20;  3;  2)

№ 54.    = (0;  1;  2;  3;  4)   и    = (5;  2;  1;  1;  1)

№ 54.    = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6)   и    = (405;  366;  175;  40;  8;  4;  2

№ 55.    = (3;  5;  7;  9;  11;  13;  15;  17;  19;  21)   и    = (21;  16;  15;  26;  22;  14;  21;  22;  18;  25)

№56.   = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6;  7;  8;  9;  10)   и    = (28;  47;  81;  67;  53;  24;  13;  8;  3;  2;  1)

№ 57.   = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6;  7)   и    = (2;  3;  10;  22;  26;  20;  12;  5)

№ 58.    = (18,4;  18,9;  19,3;  19,6)   и    = (5; 10;  20; 15)

№ 59.    = (-2;  0;  4;  8)   и    = (2;  3;  0,1;  5)

№ 60.    = (0;  1;  2;  3;   4)   и    = (5; 15;  20; 25;  30)

Контрольные вопросы:

1)    Какая случайная величина называется дискретной?

2) Напишите формулу вычисления среднего арифметического значения признака выборки.

3)   Что называется математическим ожиданием  дискретной случайной  величины  ?  Как вычислить ее?

4)   Что называется дисперсией дискретной случайной величины ? Напишите формулы вычисления дисперсии дискретной случайной величины .

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2. Решить задание № 2 и записать его ответ.

3. Устно  ответить  на контрольные вопросы.

Практическая работа  № 6

(2 часа)

Тема: Вычисление числовых характеристик НСВ. Построение функции плотности и интегральной функции распределения.

Цель: Научиться вычислять вероятности и характеристики НСВ.

Обучающийся должен знать:

- понятие НСВ.

 -понятие равномерно распределённой НСВ.

Обучающийся должен уметь:

- вычислять НСВ

Теоретическое обоснование

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Законом распределения (или интегральной функцией распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение меньше Х:

Плотностью распределения (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция f(х), равная производной интегральной функции распределения:

В частности, вероятность попадания случайной величины в интервал ( а ; b ) равна:

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины определяются через несобственные интегралы:

Все свойства дисперсии и математического ожидания, установленные для ДСВ, сохраняются для НСВ.

Замечание: Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.

Ход работы

Решите задачи

1. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение: а) меньше 0; б) меньше 1; в) не меньше 1; г) заключенное в интервале (0;2).

2. Случайная величина задана интегральной функцией:

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины X; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое^: отклонение случайной величины X; в) вероятность попадания слу­чайной величины в интервал (1;2).

3. Случайная величина  X задана интегральной функцией:

Найти значения А и В, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

4. Случайная величина X задана интегральной функцией:

.

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины X; б) вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина X хотя бы один раз примет значение, принадлежащее интервалу (1;1,5); в) начертить графики функций.

Содержание отчета.

1. Решить задачу и записать его ответ.

2. Устно ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

1. Что такое  НСВ.

2. Понятие равномерно распределённой НСВ

Практическая работа  № 7

(2 часа)

Тема: Вычисление числовых характеристик выборки.

Цель: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; развивать вычислительные навыки.

Обучающийся должен знать:

-                 формулы вычисления относительной частоты,  относительной накопленной частоты;

-                 формулы вычисления выборочной средней для выборки.

Обучающийся должен уметь:

·                вычислять дисперсию выборки;

-        находить относительные частоты, относительные накопленные частоты.

Теоретическое обоснование.

Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта.

Определение. Генеральной совокупностью называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов рассматриваемой совокупности.

Определение. Выборочной совокупностью или просто выборкой называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Определение. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется выборочным или вариационным рядом.

Определение.  Числа   называются частотами, а их отношения к объему выборки, т.е.  , - относительными частотами соответствующих вариант.

Определение.  Отношение   накопленной частоты к общему объему выборки называется относительной накопленной частотой,  

Определение.  Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Определение. Выборочным средним  выборки объема   со    статистическим распределением называется среднее арифметическое значений признака выборки, т.е.

Определение. Дисперсия выборочной равна разности среднего арифметического значений квадратов признака и квадрата среднего значения признака

Задание № 1.  Найти относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты.

	2	6	12
	3	10	7

Вычислим объем выборки

;        ;          ;

;             ;                     ;        

;          ;            ;      

Задание № 2.  Вычислить выборочное среднее для выборки

	1	2	3	4	5	6
	1	1	3	4	11	5

Задание № 4.  Вычислить дисперсию выборки

	1	2	3	4	5	6
	1	1	3	4	11	5

Ход работы:

В - 1	№ 1		В - 16	№ 16
В - 2	№ 2		В - 17	№ 17
В – 3	№ 3		В – 18	№ 18
В – 4	№ 4		В – 19	№ 19
В – 5	№ 5		В – 20	№ 20
В – 6	№ 6		В – 21	№ 21
В – 7	№ 7		В – 22	№ 22
В – 8	№ 8		В – 23	№ 23
В – 9	№ 9		В – 24	№ 24
В – 10	№ 10		В – 25	№ 25
В – 11	№ 11		В – 26	№ 26
В – 12	№ 12		В – 27	№ 27
В – 13	№ 13		В – 28	№ 28
В – 14	№ 14		В – 29	№ 29
В – 15	№ 15		В – 30	№ 30

Составьте выборку. Найти относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты. Вычислить дисперсию выборки.

№ 1.   (2, 7, 7, 7, 5, 7,  5, 5, 7, 7)

№ 2.   (8, 8, 12, 12, 12, 12, 12, 8, 12, 12, 12, 12, 12, 4, 4, 7, 7, 4, 4, 4)

№ 3.   (2, 7, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8)

№ 4.   (4, 4, 7, 8, 4, 8, 8, 7, 4, 4)

№ 5.  (1, 4, 1, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7)

№ 6.   (2, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)

№ 7.   (15, 20, 25, 30, 35, 35, 30, 25, 20, 20, 15, 15, 20, 20, 30, 30, 35, 35)

№ 8.   (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 7, 5, 5, 5, 5, 3)

№ 9.   (1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5)

№ 10.   (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4)

№ 11.   (-20, 0, 0, 10, 0, 10, -20, 0, 0, 10)

№ 12.   (26, 6, 6, 6, 26, 6, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3)

№ 13.   (2, 2, 2,2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 10, 10, 10, 10)

№ 14.   (1250, 1270, 1270, 1270, 1280, 1280, 1250, 1270, 1270, 1280)

№ 15.   (2560, 2600, 2620, 2620, 2620, 2620, 2620, 2650, 2700, 2650, 2650, 2620, 2620, 2650,   2620, 2620, 2560, 2600, 2600, 2620)

№ 16.   (186, 194, 192, 192, 194, 186, 194, 192, 192, 192)

№ 17.   (8, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 8, 4, 1)

№ 18.   (102, 108, 108, 104, 108, 104, 108, 104, 102, 108)

№ 19.  (0,1;  0,1;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,1;  0,1;  0,1;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,5;  0,8;  0,8;  0,8;  0,8;  0,6;  0,6;  06;  0,6;  0,6;  0,6;  0,8;  0,8;  0,8)

№ 20.    = (1250;  1275;  1280;  1300);       = (20;  25;  50;  5)

№ 21.    = (0,01;  0,05;  0,09);      = (2;  3;  5)

№ 22.     = (23,5;  26,1;  28,2;  30,4);      = (2;  3;  4;  1)

№ 23.      = (0;  1;  2;  3;  4);                       = (132;  43;  20;  3;  2)

№ 24.      = (0;  1;  2;  3;  4);                       = (5;  2;  1;  1;  1)

№ 25.       = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6);             = (405;  366;   175;   40;  8;  4;  2)

№ 26.      = (3;  5;  7;  9;  11;  13;  15;  17;  19;  21);     = (21;  16;  15;  26;  22;  14;  21;  22;  18;  25)

№ 27.     = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6;  7;  8;  9;  10);      = (28;  47;  81;  67;  53;  24;  13;  8;  3;  2;  1)

№ 28.     = (0;  1;  2;  3;  4;  5;  6;  7);    = (2;  3;  10;  22;  26;  20;  12;  5)

№ 29.     = (18,4;  18,9;  19,3;  19,6);      = (5;  10;  20;  15)

№ 30.     = (-2;  0;  4;  4);              = (2;  3;  0,1;  5) 

Контрольные вопросы:

1)    Что называется генеральной совокупностью?

2) Напишите формулу вычисления среднего арифметического значения признака выборки.

3)   Что называется выборкой ?

4)   Как находится относительная частота?

5)   Как находится относительная накопленная частота?

Содержание отчета.

1. Решить задание № 1 и записать его ответ.

2. Устно ответить на контрольные вопросы.

Список  литературы

Основные  источники

1.                 Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]:учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. — 2-е изд., испр. и перераб. — М. : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2018. — 240 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/944923

2.                 Малугин, В. А.  Теория вероятностей и  математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. и практикум для СПО/ В. А. Малугин. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 470 с. (ЭБС Юрайт). Режим доступа:https://biblio-online.ru/viewer/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-441409#page/2

Дополнительные источники:

1.     Научный журнал «Социальные и гуманитарные знания»

2. Теоретический и научно-методический журнал «Среднее профессиональное образование»