Методический материал по геометрии 8 класса по теме "Египетский треугольник"

Информация, необходимая учащимся 8 класса при изучении теоремы Пифагора.

Египетский треугольник

     «Египетский треугольник» - небольшая тема в курсе геометрии 8 класса. Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на этом уроке, вызвал у них желание учиться.

     Урок начинается с практической работы: несколько учеников на доске (а остальные в тетрадях) строят треугольник по трем сторона , если стороны равны: а) 3,4,5; б)6,8,10; в) 5,12,13 (при этом вовсе не обязательно указывать единицу измерения). Затем ребята получают задание – измерить больший угол этих треугольников. Ответы оказываются близки к 90⁰. Тогда учитель говорит: «Посмотрите, ребята! Треугольники у всех расположены по разному, а результаты у всех получились одинаковыми. Чем объясняются небольшие различия в данных? Тем ли, что здесь нет никакой закономерности, или тем, что закономерность есть, но нашими инструментами  мы не можем установить ее с достаточной точностью?» Учащиеся склоняются к тому, что коль скоро у всех углы получились близкими к прямым, то, значит, какая – то зависимость существует. Но установить ее можно только путем доказательства. «Как же мы сформулируем утверждение, которое будем доказывать?» - спрашивает учитель. Класс постепенно находит нужную формулировку: «Если треугольник имеет стороны а, в, с и а² +b² = с², то угол, противолежащий стороне с, прямой».

Доказательство этой теоремы  - обратной к теореме Пифагора – мы опускаем. Далее предлагается устная работа: не выполняя  предложенных заданий, определить, когда необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, а когда – обратной к ней.

Задания

1.     В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5 . Найдите второй катет

2.     В прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.

3.     Определите вид треугольника, стороны которого равны 6,8 и 10.

    Далее учащиеся выполняют следующую практическую работу: на тонкой веревке делают метки, делящие ее на 12 частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3,4 и 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым. Делается вывод: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный

   Этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы.

   После практической работы очень важно установить  в классе приподнятую атмосферу. Она создается звуками великолепной мелодии композиции «Тени» из сборника «Большой успех» Демиса Русоса. Символично, что Демис Русос родился в г.Александрии в Египте, а сам он по национальности грек. Его композиция «Тени» соединяет ранее живших людей с нынешним поколением.

   Учитель в это время демонстрирует слайды с изображением дворцов, храмов, египетских пирамид.

   Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора, еще раз повторяют ее формулировку и проверяют на рассмотренном выше треугольнике.

   В самом деле: 3² + 4² = 5². Говоря иначе, числа 3,4, 5 – корни уравнения х² + у² =z ²  .

 Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13;  8, 15, 17;  7, 24, 25, что соответствует теореме, обратной к теореме Пифагора: 5² + 12² = 13² ; 8² + 15² = 17² ;  7² + 24² = 25² .

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

   Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2nm , b = m² – n²,  c = m² + n². Где  n, m- любые натуральные числа, такие, что m›n.

При составлении задач на прямоугольные треугольники для подбора целесообразных значений сторон полезна данная таблица.

Некоторые пифагоровы тройки чисел

m     n	1	2	3	4	5	6	7	8
1	-	3,4,5	6,8,10	8,15,17	10,24,26	12,35,37	14,48,50	16,63,65
2	-	-	5,12,13	16,12,20	20,21,29	24,32,40	28,45,53	32,60,68
3	-	-	-	7,24,25	16,30,34	27,36,45	40,42,58	48,55,73
4	-	-	-	-	9,40,41	20,48,52	33,56,65	48,64,80
5	-	-	-	-	-	11,60,61	24,70,74	39,80,89
6	-	-	-	-	-	-	13,84,85	28,96,100
7	-	-	-	-	-	-	-	15,112,113

    В финале урока уместно прочитать наиболее известные стихи, посвященные теореме Пифагора. Оба приведенные ниже стихотворения заимствованы из книги: Шестеф Ф.М., Материал для внеклассной работы по математике. Первое представляет собой рифмованную перефразировку теоремы, а второе – философскую притчу, для которой теорема Пифагора – только повод. Она основана на древнем предании о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков.

                                             Теорема Пифагора

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем

И.Дырченко

О теореме Пифагора

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Не в силах преградить той истине дорогу,

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат

А.фон Шамиссо, перевод Хованского