Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Информатика / Другие методич. материалы / Методическое пособие на тему "Система счисления" по дисциплине Информатика
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Методическое пособие на тему "Система счисления" по дисциплине Информатика

библиотека
материалов

hello_html_945e505.gifhello_html_m221ecea4.gifhello_html_fb84390.gifhello_html_m4feea5cd.gifhello_html_m221ecea4.gifhello_html_m205de267.gifhello_html_m65440cfa.gifhello_html_m221ecea4.gifhello_html_m6199d94a.gifhello_html_m743a9320.gifhello_html_m2da368a8.gif











Методическое пособие





на тему «Системы счисления»



по дисциплине «Информатика»



Оглавление





Введение


Тема «Системы счисления» являются одной из разделов изучения дисциплины «Информатика».

Информатика необходима при использовании современных ЭВМ, средств передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления и проектирования данных. Знание основ данной дисциплины абсолютно необходимо для современного специалиста в области информационных технологий и вычислительной техники.

В методическом пособии представлены основные приемы работы с системами счисления. Кроме того, методическое пособие содержит упражнения для самостоятельного выполнения и варианты контрольной работы.

Материалы данного пособия могут быть использованы как для аудиторных занятий, так и для самостоятельного выполнения учащимися практической работы.

.


1 Определение систем счисления

Совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр) называется системой счисления. В любой системе счисления числа записываются как последовательность знаков. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа.

Системы счисления делятся на виды: неоднородные и однородные. Примером неоднородной системы счисления служит система отсчета времени:

60 сек=1 мин 60 мин=1 час 24 часа=1 сутки 30 суток=1 месяц 12 месяцев=1 год 100 лет=1 век и т.д.

Однородные системы счисления делятся непозиционные и позиционные.


2 Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

2.1 Римская система счисления

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 38 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Примеры: IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

  1. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1

  1. Десятичное число 99 имеет вот такое представление:

XCIХ=-10+100-1+10.

  1. Для записи числа 444 в римской системе:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

  1. Записать число 2986 в римской системе счисления.

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

  1. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

Задание для самостоятельной работы:

Запишите числа в римской системе:

2015

448

1963

Запишите числа в десятичной системе:

MCDXXIII

LXXIX

MMCXLI

2.2 Алфавитные системы счисления

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

3 Позиционные системы счисления

Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел

В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..1А,20,21,…,2А,…

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа основания системы счисления:

25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*104 +5*103 + 0*102 +7*101 +6*100

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую, мы воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)

 или

Аq = ± inf2_21aiqi

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.


Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Например:

Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10=4*103+7*102+1*101+8*100+6*10-1+3*10-2

Примеры:

Получить развернутую форму числа 7512410.

Решение:

а4 = 7, а3 = 5, а2 =1 ,а1 =2, а0 =4,      q=10

75 12410 = 7*104 + 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100.

Получить развернутую форму числа 1123.

Решение:

1123 = 1*32 + 1*31 +2*30

Получить развернутую форму числа 176,218.

Решение:

А8=176, 218=1*82+7*81+6*80+2*8-1+1*8-2



Задание для самостоятельной работы:

1. Запишите в развернутом виде числа:

А8=143511,62

А2=100111

А10=143,511

А16=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

9*101+1*100+5*10-1+3*10-2

A*162+1*161+C*160+3*16-1

4 Системы счисления, используемые в компьютерах

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

  • для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен – не намагничен);

  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

  • двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, и наоборот, выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах счисления читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае развернутая форма числа примет вид:

А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)

Здесь аi — возможные цифры (0 и 1).


Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.

Основание: q=8.

Записав восьмеричное число А8=7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А8=7*83+7*82+6*81+4*80+1*8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510


Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF16 означает:

3АF16 = 3*162+10*161+15*160 = 768+160+15 = 94310.Картинка 4 из 221

На рисунке 6 представлены соответствия систем счисления.


Рисунок 6 - Таблица соответствия систем счисления


5 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

5.1 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх или справа налево).

Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы счисления на примерах.

Пример1. Перевести 2610 в двоичную систему счисления. А10→А2

http://www.nelidovo.edu.ru/predmets/informatica/sistem_shislenia/sistem_shislenia2_1.files/image001.gifОтвет: 2610=110102

Пример2. Перевести 1910 в троичную систему счисления. А10→А3

http://www.nelidovo.edu.ru/predmets/informatica/sistem_shislenia/sistem_shislenia2_1.files/image002.gif

Ответ: 1910=2013

Пример3. Перевести 24110 в восьмеричную систему счисления. А10→А8

http://www.nelidovo.edu.ru/predmets/informatica/sistem_shislenia/sistem_shislenia2_1.files/image003.gifОтвет: 24110=3618

Пример4. Перевести 362710 в шестнадцатеричную систему счисления. А10→А16

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е,
а 11 – В, то получаем ответ Е2В
16.http://www.nelidovo.edu.ru/predmets/informatica/sistem_shislenia/sistem_shislenia2_1.files/image004.gif

Ответ: 362710=E2B16

Пример 5. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число (таблица 1).

Таблица – Перевод числа

Делимое

363

181

90

45

22

11

5

2

1

Делитель

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Остаток

1

1

0

1

0

1

1

0

1

Получаем: 36310=1011010112

Задание для самостоятельной работы:

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 24510→А2 д) 40410→А8

б) 198710→А2 е) 67310→А16

в) 16110→А3 ж) 4534810→А16

г) 33310→А5 з) 44410→А7

5.2 Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби N в позиционную систему с основанием p:

1. Умножить данное число на новое основание p.

2. Целая часть полученного произведения является цифрой старшего разряда искомой дроби.

3. Дробная часть полученного произведения вновь умножается на p, и целая часть результата считается следующей цифрой искомой дроби.

4. Операции продолжать до тех пор, пока дробная часть не окажется равной нулю либо не будет достигнута требуемая точность.


Например, надо перевести десятичную дробь 0,375 в двоичную, троичную и шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить с точностью до третьего знака. Запись перевода в таблице 2.

Таблица – Пример перевода дроби

http://www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/f9.gif

Результат: 0,37510=0,0112; 0,37510=0,1012; 0,37510=0,616.


Задание для самостоятельной работы:

- Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками):

а)0,4622; б)0,7351; в)0,5198; г)0,7982;

- Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:

а)40,5; б)31,75; в)124,25; г)125,125.



5.3 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=23 , а 16=24 . Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой). Смотрите таблицу 4.

При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой). Смотрите таблицу 3.

При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.

Например:
http://solidbase.karelia.ru/edu/zonna/images/0004.gif

Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.

Таблица 3 - Двоично-шестнадцатеричная таблица

двоичная

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

шестнадцатеричная

0

1

2

3

4

5

6

7

двоичная

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

шестнадцатеричная

8

9

A

B

C

D

E

F


Таблица4 - Двоично-восьмеричная таблица

двоичная

000

001

010

011

100

101

110

111

восьмеричная

0

1

2

3

4

5

6

7


Задание для самостоятельной работы:

1. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100

2. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

а)1010001001011; в)1011001101111; д)110001000100

3. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

а)2668; б)26616; в)12708


5.4 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

http://www.nikitine.ru/img/arifop1.gif

Сложение в восьмеричной системе

http://www.nikitine.ru/img/arifop2.gif

Сложение в шестнадцатеричной системе

http://www.nikitine.ru/img/arifop3.gif

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

http://www.nikitine.ru/img/arifop3_3.gif

http://www.nikitine.ru/img/arifop4.gif


Шестнадцатеричная: F16+616

http://www.nikitine.ru/img/arifop5.gif

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
10101
2 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
25
8 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,
15
16 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

http://www.nikitine.ru/img/arifop5_5.gif

http://www.nikitine.ru/img/arifop6.gif

Шестнадцатеричная: F16+716+316

http://www.nikitine.ru/img/arifop7.gif

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.

Проверка:
11001
2 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,
31
8 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25,
19
16 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.


Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.


http://www.nikitine.ru/img/arifop8.gif


http://www.nikitine.ru/img/arifop9.gif

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01
2 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,2
8 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25
C9,4
16 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016


http://www.nikitine.ru/img/arifop10.gif



Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

http://www.nikitine.ru/img/arifop11.gif


Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.


http://www.nikitine.ru/img/arifop12.gif


http://www.nikitine.ru/img/arifop13_1.gif

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1
2 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141,5;
215,4
8 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141,5;
8D,8
16 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе


http://www.nikitine.ru/img/arifop13.gif


Умножение в восьмеричной системе

http://www.nikitine.ru/img/arifop14.gif

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.


http://www.nikitine.ru/img/arifop15.gif

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110
2 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
36
8 = 3•81 + 6•80 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.


http://www.nikitine.ru/img/arifop16.gif

Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001
2 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
13351
8 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление, углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

http://www.nikitine.ru/img/arifop17.gif

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.


Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

http://www.nikitine.ru/img/arifop18.gif

Восьмеричная: Разделим число 133518 на 1638

hello_html_m8f255a3.png

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011
2 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

http://www.nikitine.ru/img/arifop20.gif


Восьмеричная: 438 : 168

http://www.nikitine.ru/img/arifop21.gif

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1
2 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,4
8 = 2*80 + 4*8-1 = 2,5.


Задание для самостоятельной работы:

Вычислите выражения:

а) (11111012+AF16)/368;

б) 1258+111012*A216-14178.


6 Вычисления на калькуляторе

Для преобразования чисел в другую систему счисления и вычислений в различных системах счисления удобно использовать стандартную программу «Калькулятор», идущую в комплекте с операционной системой Windows. Вызвать программу можно через

Пуск/ Все программы/ Стандартные/ Калькулятор.

После запуска следует переключиться в режим Инженерный. Для этого выбрать Вид/ Инженерный ( рисунок 7).

Для перевода чисел выберите ту систему, из которой переводите, введите число, выберите систему счисления, в которую его следует преобразовать (рисунок 8). Калькулятор переведет число в новую систему и выведет на экран.





hello_html_m4f297a18.png


Рисунок 7 –Переключение в режим Инженерный




Рисунок 8– Выбор системы счисления



Hex – шестнадцатеричная, Dec – десятичная, Oct – восьмеричная, Bin – двоичная системы счисления.hello_html_28d15821.png



Замечания:

  • При преобразовании нецелого десятичного числа в другую систему счисления его дробная часть отбрасывается.

  • Шестнадцатеричные, восьмеричные и двоичные числа, преобразованные в десятичные, отображаются как целые положительные числа.


Задание для самостоятельной работы:

  1. Переведите число 1100001001 из двоичной системы счисления в остальные три.

  2. Вычислите следующее выражение:

1112 + 10102 + 228 + 678 + 1016 - 1102


Вопросы для самоконтроля

  1. Что такое система счисления? Алгоритм перевода из десятичной в недесятичную систему счисления. Примеры.

  2. Что такое позиционная система счисления?

  3. Алгоритм перевода из недесятичной в десятичную систему счисления. Пример.

  4. Суммирование в недесятичной системе счисления. Примеры.

  5. Что такое непозиционная система счисления?

  6. Умножение и деление в недесятичной системе счисления. Примеры.

  7. Калькулятор. Перевод и вычисления на калькуляторе.



Контрольная работа по теме:

Позиционные системы счисления. Арифметические операции

Задания к работе

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

3. Сложить числа.

4. Выполнить вычитание.

5. Выполнить умножение.

6. Выполнить деление.

Примечание. В заданиях 3–6 проверять правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

В заданиях номера а), б) выполнять вручную, а остальные – на калькуляторе.

Вариант 1

1. а) 66610; б) 30510; в) 153,2510; г) 162,2510; д) 248,4610

2. а) 11001110112; б) 100000001112; в) 10110101,12; г) 100000110,101012; д) 671,248; е) 41A,616.

3. а) 100000112+10000112; б) 10100100002+11011110112;

в) 110010,1012+1011010011,01(2); г) 356,58+1757,048; д) 293,816+3CC,9816.

4. а) 1001110012-1101102; б) 11110011102-1110110102; в) 1101111011,012 -101000010,01112; г) 2025,28-131,28; д) 2D8,416-A3,B16.

5. а) 11001102* 10110102; б) 2001,68* 125,28; в) 2C,416* 12,9816.

6. а) 1100110002 : 100012; б) 24108 : 278; в) D4A16 : 1B6;


Вариант 2

1. а) 16410; б) 25510; в) 712,2510; г) 670,2510; д) 11,8910

2. а) 10011100112; б) 10010002; в) 1111100111,012;
г) 1010001100,101101
2; д) 413,418 ; е) 118,8C16.

3. а) 11000011002+11000110012; б) 1100100012+10011012;

в) 111111111,0012+1111111110,01012; г) 1443,18+242,448; д) 2B4,C16+EA,416.

4. а) 10011011002-10000101112; б) 10100010002-10001100012;

в) 1101100110,012 -111000010,10112; г) 1567,38-1125,58; д) 416,316-255,316.

5. а) 1000012* 10010102; б) 1723,28* 15,28; в) 54,316* 9,616.

6. а) 100101001002 : 11002; б) 27608 : 238; в) 4AC16 : 1716;


Вариант 3

1. а) 27310; б) 66110; в) 156,2510; г) 797,510; д) 53,7410

2. а) 11000000002; б) 11010111112; в) 1011001101,000112;

г) 1011110100,0112; д) 1017,28 ; е) 111,B16.

3. а) 11100010002+1101001002; б) 10010011012+11110002;

в) 111100010,01012+1111111,012; г) 573,048+1577,28; д) 108,816+21B,916.

4. а) 10101110012-10100010112; б) 11101010112-1001110002;

в) 1110111000,0112 -111001101,0012; г) 1300,38-464,28; д) 37C,416-1D0,216.

5. а) 10110102* 10000102; б) 632,28* 141,348; в) 2A,716* 18,816.

6. а) 1110101102 : 10102; б) 41208 : 238; в) 4F816 : 1816;



Вариант 4

1. а) 10510; б) 35810; в) 377,510; г) 247,2510; д) 87,2710

2. а) 11000010012; б) 11001001012; в) 1111110110,012; г) 11001100,0112; д) 112,048; е) 334,A16.

3. а) 1010000112+1101010102; б) 1110100102+10110111102;
в) 10011011,011
2+1111100001,00112; г) 1364,448+1040,28; д) 158,A16+34,C16.

4. а) 11111110002-1000100112; б) 11111011102-111001102;
в) 1001100100,01
2 -10101001,12; г) 1405,38-346,58; д) 3DD,416-303,A16.

5. а) 10111002* 11001002; б) 347,28* 125,648; в) 10,A816* 35,416.

6. а) 10001010002 : 11002; б) 51018 : 318; в) D7A16 : 1E16;



Вариант 5

1. а) 50010; б) 67510; в) 810,2510; г) 1017,2510; д) 123,7210

2. а) 11010100012; б) 1000111002; в) 1101110001,0110112;

г) 110011000,1110012; д) 1347,178; е) 155,6C16.

3. а) 10001011012+11000000102; б) 11110110102+1110011002;

в) 1001000011,12+10001101,1012; г) 415,248+1345,048; д) 113,B16+65,816.

4. а) 11011111002-1001000102; б) 10110101102-10110011102;

в) 1111011110,11012 -1001110111,12; г) 1333,28-643,28; д) 176,716-E5,416.

5. а) 11011002* 10100112; б) 516,548* 44,648; в) 61,816* 48,916.

6. а) 110001000002 : 100002; б) 30748 : 258; в) 6D516 : 2116;



Вариант 6

1. а) 21810; б) 80810; в) 176,2510; г) 284,2510; д) 253,0410

2. а) 1110001002; б) 10110011012; в) 10110011,012; г) 1010111111,0112; д) 1665,38; е) FA,716.

3. а) 111000002+11000000002; б) 1101011012+1111111102;

в) 10011011,0112+1110110100,012; г) 1041,28+1141,18; д) 3C6,816+B7,516.

4. а) 101100102-10100012; б) 11010000002-100000002;
в) 1100101111,1101
2 -100111000,12; г) 1621,448-1064,58; д) 1AC,B16-BD,716.

5. а) 10000002* 1101102; б) 714,348* 133,48; в) 16,B16* 2B,616.

6. а) 100011100112 : 100012; б) 54568 : 338; в) 6FA16 : 1316;


Вариант 7

1. а) 30610; б) 46710; в) 218,510; г) 667,2510; д) 318,8710

2. а) 11110001112; б) 110101012; в) 1001111010,0100012;
г) 1000001111,01
2; д) 465,38 ; е) 252,3816.

3. а) 10000011012+11001010002; б) 10100111102+100010002;
в) 1100111,00101
2+101010110,0112; г) 520,48+635,48; д) 2DB,616+15E,616.

4. а) 11010001012-1111110002; б) 111101012-1101002; в) 1011101011,0012 -1011001000,010012; г) 1034,48-457,448; д) 239,A16-9C,416.

5. а) 11011012* 1010102; б) 310,28* 40,58; в) 18,416* 35,416.

6. а) 101010011102 : 11102; б) 53608 : 318; в) B8016 : 2016;


Вариант 8

1. а) 16710; б) 11310; в) 607,510; г) 828,2510; д) 314,7110

2. а) 1100100012; б) 1001000002; в) 1110011100,1112;
г) 1010111010,1110111
2; д) 704,68 ; е) 367,3816.

3. а) 101011002+1111100102; б) 10000000102+1101001012; в) 1110111010,100112+1011010011,0012; г) 355,28+562,048; д) 1E5,1816+3BA,7816.

4. а) 10101100102-10000000002; б) 11111001102-101011112;
в) 1101001010,101
2 -1100111000,0112; г) 1134,548-231,28; д) 2DE,616-12A,416.

5. а) 101012* 110102; б) 575,28* 102,28; в) 55,416* 6,516.

6. а) 11101110002 : 11102; б) 64578 : 338; в) AF016 : 1C16;


Вариант 9

1. а) 34210; б) 37410; в) 164,2510; г) 520,37510; д) 97,1410.

2. а) 10001101102; б) 1111000012; в) 1110010100,10110012;
г) 1000000110,00101
2; д) 666,168; е) 1C7,6816.

3. а) 11010100002+10111010012; б) 1000001012+11000010102;
в) 1100100001,01001
2+1110111111,0112; г) 242,28+1153,5(8); д) 84,816+27E,816.

4. а) 11111102-11110112; б) 11111000002-1111100112;
в) 1111011111,1001
2 -1010111100,012; г) 1241,348-1124,38; д) 15F,A16-159,416.

5. а) 10010102* 11011112; б) 1616,38* 61,38; в) 3A,3816* 64,416.

6. а) 101001000002 : 100002; б) 27568 : 268; в) D6316 : 1716;


Вариант 10

1. а) 52410; б) 22210; в) 579,510; г) 847,62510; д) 53,3510.

2. а) 1011111112; б) 11111001102; в) 10011000,11010112;
г) 1110001101,1001
2; д) 140,228 ; е) 1DE,5416.

3. а) 11010100002+111001002; б) 1001101112+1010010002;
в) 1111100100,11
2+1111101000,012; г) 1476,38+1011,18; д) 3E0,A16+135,816.

4. а) 10100101002-111011102; б) 100000011102-100111002;
в) 1110100111,01
2 -110000001,12; г) 1542,58-353,248; д) 3EB,816-3BA,816.

5. а) 1110002* 1001112; б) 157,48* 101,18; в) 19,716* 58,7816.

6. а) 11111000002 : 100002; б) 17608 : 228; в) A1716 : 1516;


Вариант 11

1. а) 11310; б) 87510; в) 535,187510; г) 649,2510; д) 6,5210.

2. а) 111010002; б) 10100011112; в) 1101101000,012;
г) 1000000101,01011
2; д) 1600,148 ; е) 1E9,416.

3. а) 10001111102+10110001012; б) 10010002+11011010012;
в) 110110010,011
2+1000011111,00012; г) 620,28+1453,38; д) 348,116+234,416.

4. а) 11000010102-100000112; б) 11010000012-100000102;
в) 110010110,011
2 -10010101,11012; г) 1520,58-400,28; д) 368,416-239,616.

5. а) 11001102* 1100102; б) 177,48* 23,48; в) 10,616* 26,816.

6. а) 11100100002 : 100002; б) 43438 : 318; в) A3B16 : 1B16;


Вариант 12

1. а) 29410; б) 72310; в) 950,2510; г) 976,62510; д) 282,7310.

2. а) 100000110012; б) 101011002; в) 1101100,012; г) 1110001100,12; д) 1053,28 ; е) 200,616.

3. а) 10001111102+101111112; б) 11110012+1101001102;
в) 1001110101,00011
2+1001001000,012; г) 104,48+1310,628; д) 2BD,316+EB,C16.

4. а) 111101112-111101002; б) 10011001112-1011001112;
в) 1100110111,001
2 -1010001101,00112; г) 631,18-263,28; д) 262,816-1D6,8816.

5. а) 1111012* 11112; б) 1751,28* 77,248; в) 40,416* 54,616.

6. а) 1001110002 : 11012; б) 41208 : 238; в) 8F616 : 1F16;


Вариант 13

1. а) 61710; б) 59710; в) 412,2510; г) 545,2510; д) 84,8210.

2. а) 1101111012; б) 11100111012; в) 111001000,012; г) 1100111001,10012; д) 1471,178 ; е) 3EC,516.

3. а) 11101001002+10101001112; б) 11000011002+10100000012;
в) 1100111101,10101
2+1100011100,00112; г) 750,168+1345,348; д) 158,416+396,816.

4. а) 100000000102-1000000012; б) 11101111112-10100012;
в) 1011001100,1
2 -100100011,012; г) 1110,628-210,468; д) 1D8,D816-110,416.

5. а) 110012* 10111002; б) 1440,48* 17,68; в) 14,816* 4A,316.

6. а) 10101001002 : 11012; б) 13758 : 218; в) 4C416 : 1416;


Вариант 14

1. а) 104710; б) 33510; в) 814,510; г) 518,62510; д) 198,9110.

2. а) 11011000002; б) 1000010102; в) 1011010101,12; г) 1010011111,11012; д) 452,638; е) 1E7,0816.

3. а) 11011001012+1000100012; б) 11000112+1101110112;
в) 1010101001,01
2+10011110,11(2); г) 1672,28+266,28; д) 18B,A16+2E9,216.

4. а) 11101110112-1001101112; б) 11100001012-10011102;
в) 1011110100,0011
2 -101001011,0012; г) 1560,228-1142,28; д) 1A5,816-7D,A16.

5. а) 1111002* 1111002; б) 274,58* 31,348; в) 13,416* 38,4816.

6. а) 100111011002 : 11102; б) 14368 : 238; в) CD616 : 1F16;


Вариант 15

1. а) 88710; б) 23310; в) 801,510; г) 936,312510; д) 218,7310.

2. а) 10101000012; б) 100000101012; в) 1011110000,1001012;
г) 1000110001,1011
2; д) 1034,348; е) 72,616.

3. а) 10101101012+1011110012; б) 11111001002+1001101112;
в) 111111101,01
2+1100111100,012; г) 106,148+322,58; д) 156,9816+D3,216.

4. а) 11111001002-1101010002; б) 11101101002-11010101012;
в) 1100001,0101
2 -1011010,1012; г) 537,248-510,38; д) 392,B16-149,516.

5. а) 1111002* 11010012; б) 1567,28* 147,28; в) 44,816* 13,616.

6. а) 11110011002 : 100102; б) 50508 : 318; в) 7EC16 : 1A16;



Ответы к контрольной работе

Вариант 1

1. а)10100110102; б)100100012; в)10011001.012; г)10100010.012; д) 11111000.0111012

2. а) 82710; б) 103110; в) 181.510; г) 26210; д)441.312510; е) 1050.37510;

3. а) 110001102=19810; б) 110000010112=154710; в) 1100000111.1112=773.87510 ; г) 2335.548=1245.687510; д)660.1816=1632.0937510.

4. а) 1000000112=25910; б) 1111101002=50010; в) 1000111000.11012 =568.812510; г) 16748=95610; д) 234.916=564.562510.

5. а) 100011110111002=918010; б) 252625.168=87445.187510;
в) 336.C6
16=822.7734310 .

6. а) 110002 =2410; б) 708=5610; в) 7E16=12610

Вариант 2

1. а) 101001002; б) 111111112; в) 10110010000.012; г) 1010011110.012; д) 1011.111002

2. а) 62710; б) 7210; в) 999.2510; г) 652.7031210; д) 267.5156210 ;
е) 280.54687
10.

3. а) 110001001012=157310; б) 1110111102=47810; в) 10111111101.01112=1533.437510 ; г) 1705.548=965.687510; д) 39F16=92710.

4. а) 10101012=8510; б) 10101112=8710; в) 110100011.10012 =419.562510;
г) 441.6
8=289.7510; д) 1C116=44910.

5. а) 1001100010102=244210; б) 31257.048=12975.062510; в) 315.4216=789.2578110 .

6. а) 11000112=9910; б) 1208=8010; в) 3416=5210;

Вариант 3

1. а) 1000100012; б) 10100101012; в) 10011100.012; г) 1100011101.12; д)110101.101112

2. а) 76810; б) 86310; в) 717.0937510; г) 527.2510; д) 273.687510 ; е) 111,B10.

3. а) 11100010002+1101001002; б) 10010011012+11110002; в) 111100010,01012+1111111,012; г) 573,048+1577,28; д) 108,816+21B,916.

4. а) 10101110012-10100010112; б) 11101010112-1001110002; в) 1110111000,0112 -111001101,0012; г) 1300,38-464,28; д) 37C,416-1D0,216.

5. а) 10110102* 10000102; б) 632,28* 141,348; в) 2A,716* 18,816.

6. а) 1110101102 : 10102; б) 41208 : 238; в) 4F816 : 1816;





Литература

  1. Угринович Н.Д., Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов, М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 512с: ил.

  2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_счисления

  3. www.gmcit.murmansk.ru/text/information_science/base/.../material2.htm


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.09.2015
Раздел Информатика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров759
Номер материала ДA-048869
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх