Методическое пособие на тему "Система счисления" по дисциплине Информатика

Методическое пособие

на тему «Системы счисления»

по дисциплине «Информатика»

Оглавление

Введение. 3

1 Определение систем счисления..................................................................... 4

2 Непозиционные системы счисления............................................................. 4

3 Позиционные системы счисления. 5

4 Системы счисления, используемые в компьютерах. 8

5 Перевод чисел из одной системы счисления в другую............................... 10

5.1 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.. 11

5.2 Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления. 11

5.3 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно...................................................................... 12

5.4 Арифметические операции в позиционных системах счисления............. 13

6 Вычисления на калькуляторе  19

Контрольная работа    21

Литература                              ...................................................................... 26

Введение

Тема «Системы счисления» являются одной из разделов изучения дисциплины «Информатика».

Информатика необходима при использовании современных ЭВМ, средств передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления и проектирования данных. Знание основ данной дисциплины абсолютно необходимо для современного специалиста в области информационных технологий и вычислительной техники.

В методическом пособии представлены основные приемы работы с системами счисления. Кроме того, методическое пособие содержит упражнения для самостоятельного выполнения и варианты контрольной работы.

Материалы данного пособия могут быть использованы как для аудиторных занятий, так и для самостоятельного выполнения учащимися практической работы.

.

1 Определение систем счисления

Совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр) называется системой счисления. В любой системе счисления числа записываются как последовательность знаков. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется  кодом. Применительно к счислению это код числа.

Системы счисления делятся на виды: неоднородные и однородные. Примером неоднородной системы счисления служит система отсчета времени:

60 сек=1 мин         60 мин=1 час       24 часа=1 сутки   30 суток=1 месяц 12 месяцев=1 год  100 лет=1 век      и т.д.

Однородные системы счисления делятся непозиционные  и  позиционные.

2 Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

2.1 Римская система счисления

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 38 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Примеры: IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

1.     Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1

2.     Десятичное число 99 имеет вот такое представление:

XCIХ=-10+100-1+10.

3.     Для записи числа 444 в римской системе:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

4.     Записать число 2986 в римской системе счисления.

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

5.     Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

Задание для самостоятельной работы:

Запишите числа в римской системе:

2015

448

1963

Запишите числа в десятичной системе:

MCDXXIII

LXXIX

MMCXLI

2.2 Алфавитные системы счисления

 Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

3 Позиционные системы счисления

Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел

В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..1А,20,21,…,2А,…

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа основания системы счисления:

25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*10⁴ +5*10³ + 0*10² +7*10¹ +6*10⁰

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую, мы воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

А_q= ± (a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+...+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+...+a_-mq^-m)

 или

А_q = ± a_iqⁱ

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

a_i —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=a_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1...a_-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Например:

Десятичное число А₁₀=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀=4*10³+7*10²+1*10¹+8*10⁰+6*10^-1+3*10^-2

Примеры:

Получить развернутую форму числа 75124₁₀.

Решение:

а₄ = 7, а₃ = 5, а₂ =1 ,а₁ =2, а₀ =4,      q=10

75 124₁₀ = 7*10⁴ + 5*10³ + 1*10² + 2*10¹ + 4*10⁰.

Получить развернутую форму числа 112₃.

Решение:

112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

Получить развернутую форму числа 176,21₈.

Решение:

А₈=176, 21₈=1*8²+7*8¹+6*8⁰+2*8^-1+1*8^-2

Задание для самостоятельной работы:

1. Запишите в развернутом виде числа:

А₈=143511,62

А₂=100111

А₁₀=143,511

А₁₆=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

9*10¹+1*10⁰+5*10^-1+3*10^-2

A*16²+1*16¹+C*16⁰+3*16^-1

 

4 Системы счисления, используемые в компьютерах

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

-       для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен – не намагничен);

-       представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

-       возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

-       двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, и наоборот, выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах счисления читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае развернутая форма числа примет вид:

А₂= ± (a_n-12^n-1+a_n-22^n-2+...+a₀2⁰+a_-12^-1+a_-22^-2+...+a_-m2^-m)

Здесь а_i — возможные цифры (0 и 1).

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.

Основание: q=8.

Записав восьмеричное число А₈=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А₈=7*8³+7*8²+6*8¹+4*8⁰+1*8^-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,125₁₀

Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF₁₆ означает:

3АF₁₆ = 3*16²+10*16¹+15*16⁰ = 768+160+15 = 943₁₀.

На рисунке 6 представлены соответствия систем счисления.

Рисунок 6 - Таблица соответствия систем счисления

5 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

5.1 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх или справа налево).

Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы счисления на примерах.

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Ответ: 26₁₀=110102

Пример2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Ответ: 19₁₀=201₃

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Ответ: 241₁₀=361₈

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е,
а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

Пример 5. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363₁₀  в двоичное число (таблица 1).

Таблица 1 – Перевод числа

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Получаем: 363₁₀=101101011₂

Задание для самостоятельной работы:

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 245₁₀→А₂                                                 д) 404₁₀→А₈

б) 1987₁₀→А₂                                             е) 673₁₀→А₁₆

в) 161₁₀→А₃                             ж) 45348₁₀→А₁₆

г) 333₁₀→А₅                             з) 444₁₀→А₇

 

5.2 Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби N в позиционную систему с основанием p:

1. Умножить данное число на новое основание p.

2. Целая часть полученного произведения является цифрой старшего разряда искомой дроби.

3. Дробная часть полученного произведения вновь умножается на p, и целая часть результата считается следующей цифрой искомой дроби.

4. Операции продолжать до тех пор, пока дробная часть не окажется равной нулю либо не будет достигнута требуемая точность.

Например, надо перевести десятичную дробь 0,375 в двоичную, троичную и шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить с точностью до третьего знака. Запись перевода в таблице 2.

Таблица 2 – Пример перевода дроби

Результат: 0,375₁₀=0,011₂; 0,375₁₀=0,101₂; 0,375₁₀=0,6₁₆.

Задание для самостоятельной работы:

- Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками):

     а)0,4622;        б)0,7351;           в)0,5198;    г)0,7982;    

- Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:

     а)40,5;        б)31,75;      в)124,25;       г)125,125.

5.3 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=2³ , а 16=2⁴ . Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой). Смотрите таблицу 4.

При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой). Смотрите таблицу 3.

При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.

Например:

Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.

Таблица 3 - Двоично-шестнадцатеричная таблица

двоичная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
шестнадцатеричная	0	1	2	3	4	5	6	7
двоичная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
шестнадцатеричная	8	9	A	B	C	D	E	F

Таблица4 - Двоично-восьмеричная таблица

двоичная	000	001	010	011	100	101	110	111
восьмеричная	0	1	2	3	4	5	6	7

Задание для самостоятельной работы:

1. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

     а)1010001001011;      в)1011001101111;          д)110001000100

2. Переведите  двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

     а)1010001001011;      в)1011001101111;      д)110001000100

3. Переведите  восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

     а)266₈;                б)266₁₆;                 в)1270₈

5.4 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,
25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21,
15₁₆ = 1*16₁ + 5*16₀ = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F₁₆+7₁₆+3₁₆

Ответ: 5+7+3 = 25₁₀ = 11001₂ = 31₈ = 19₁₆.

Проверка:
11001₂ = 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 16+8+1=25,
31₈ = 3*8¹ + 1*8⁰ = 24 + 1 = 25,
19₁₆ = 1*16¹ + 9*16⁰ = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25
311,2₈ = 3*8² + 1•8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 201,25
C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 201,25

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 141,5;
215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1*8⁴ + 3*8³ + 3*8² + 5*8¹ + 1*8⁰ = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление, углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: Разделим число 13351₈ на 163₈

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈ : 16₈

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;
2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5.

Задание для самостоятельной работы:

Вычислите выражения:

а) (1111101₂+AF₁₆)/36₈;

б) 125₈+11101₂*A2₁₆-1417₈.

6 Вычисления на калькуляторе

Для преобразования чисел в другую систему счисления и вычислений в различных системах счисления удобно использовать стандартную программу  «Калькулятор», идущую в комплекте с операционной системой Windows. Вызвать программу можно через

Пуск/ Все программы/ Стандартные/ Калькулятор.

После запуска следует переключиться в режим Инженерный. Для этого выбрать Вид/ Инженерный ( рисунок 7).

Для перевода чисел выберите ту систему, из которой переводите, введите число, выберите систему счисления, в которую его следует преобразовать (рисунок 8). Калькулятор переведет число в новую систему и выведет на экран.

Hex – шестнадцатеричная, Dec – десятичная, Oct – восьмеричная, Bin – двоичная системы счисления.

 

Замечания:

-                   При преобразовании нецелого десятичного числа в другую систему счисления его дробная часть отбрасывается.

-                   Шестнадцатеричные, восьмеричные и двоичные числа, преобразованные в десятичные, отображаются как целые положительные числа.

Задание для самостоятельной работы:

1.     Переведите число 1100001001 из двоичной системы счисления в остальные три.

2.     Вычислите следующее выражение:

111₂ + 1010₂ + 22₈ + 67₈ + 10₁₆ - 110₂

Вопросы для самоконтроля

1.                 Что такое система счисления? Алгоритм перевода из десятичной в недесятичную систему счисления. Примеры.

2.                 Что такое позиционная система счисления?

3.                 Алгоритм перевода из недесятичной в десятичную систему счисления. Пример.

4.                 Суммирование в недесятичной системе счисления. Примеры.

5.                 Что такое непозиционная система счисления?

6.                 Умножение и деление в недесятичной системе счисления. Примеры.

7.                 Калькулятор. Перевод и вычисления на калькуляторе.

Контрольная работа по теме:

Позиционные системы счисления. Арифметические операции

Задания к работе

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

3. Сложить числа.

4. Выполнить вычитание.

5. Выполнить умножение.

6. Выполнить деление.

Примечание. В заданиях 3–6 проверять правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

В заданиях номера а), б) выполнять вручную, а остальные – на калькуляторе.

Вариант 1

1. а) 666₁₀; б) 305₁₀; в) 153,25₁₀; г) 162,25₁₀; д) 248,46₁₀

2. а) 1100111011₂; б) 10000000111₂; в) 10110101,1₂; г) 100000110,10101₂; д) 671,24₈; е) 41A,6₁₆.

3. а) 10000011₂+1000011₂; б) 1010010000₂[phone]₂;

в) 110010,101₂+1011010011,01₍₂₎; г) 356,5₈+1757,04₈; д) 293,8₁₆+3CC,98₁₆.

4. а) 100111001₂-110110₂; б) 1111001110₂-111011010₂; в) 1101111011,01₂ -101000010,0111₂; г) 2025,2₈-131,2₈; д) 2D8,4₁₆-A3,B₁₆.

5. а) 1100110₂* 1011010₂; б) 2001,6₈* 125,2₈; в) 2C,4₁₆* 12,98₁₆.

6. а) 110011000₂ : 10001₂; б) 2410₈ : 27₈; в) D4A₁₆ : 1B₆;

Вариант 2

1. а) 164₁₀; б) 255₁₀; в) 712,25₁₀; г) 670,25₁₀; д) 11,89₁₀

2. а) 1001110011₂; б) 1001000₂; в) 1111100111,01₂;
г) 1010001100,101101₂; д) 413,41₈ ; е) 118,8C₁₆.

3. а) 1100001100₂[phone]₂; б) 110010001₂+1001101₂;

в) 111111111,001₂+1111111110,0101₂; г) 1443,1₈+242,44₈; д) 2B4,C₁₆+EA,4₁₆.

4. а) 1001101100₂-1000010111₂; б) 1010001000₂-1000110001₂;

в) 1101100110,01₂ -111000010,1011₂; г) 1567,3₈-1125,5₈; д) 416,3₁₆-255,3₁₆.

5. а) 100001₂* 1001010₂; б) 1723,2₈* 15,2₈; в) 54,3₁₆* 9,6₁₆.

6. а) 10010100100₂ : 1100₂; б) 2760₈ : 23₈; в) 4AC₁₆ : 17₁₆;

Вариант 3

1. а) 273₁₀; б) 661₁₀; в) 156,25₁₀; г) 797,5₁₀; д) 53,74₁₀

2. а) 1100000000₂; б) 1101011111₂; в) 1011001101,00011₂;

г) 1011110100,011₂; д) 1017,2₈ ; е) 111,B₁₆.

3. а) 1110001000₂[phone]₂; б) 1001001101₂+1111000₂;

в) 111100010,0101₂+1111111,01₂; г) 573,04₈+1577,2₈; д) 108,8₁₆+21B,9₁₆.

4. а) 1010111001₂-1010001011₂; б) 1110101011₂-100111000₂;

в) 1110111000,011₂ -111001101,001₂; г) 1300,3₈-464,2₈; д) 37C,4₁₆-1D0,2₁₆.

5. а) 1011010₂* 1000010₂; б) 632,2₈* 141,34₈; в) 2A,7₁₆* 18,8₁₆.

6. а) 111010110₂ : 1010₂; б) 4120₈ : 23₈; в) 4F8₁₆ : 18₁₆;

Вариант 4

1. а) 105₁₀; б) 358₁₀; в) 377,5₁₀; г) 247,25₁₀; д) 87,27₁₀

2. а) 1100001001₂; б) 1100100101₂; в) 1111110110,01₂; г) 11001100,011₂; д) 112,04₈; е) 334,A₁₆.

3. а) 101000011₂[phone]₂; б) 111010010₂[phone]₂;
в) 10011011,011₂+1111100001,0011₂; г) 1364,44₈+1040,2₈; д) 158,A₁₆+34,C₁₆.

4. а) 1111111000₂-100010011₂; б) 1111101110₂-11100110₂;
в) 1001100100,01₂ -10101001,1₂; г) 1405,3₈-346,5₈; д) 3DD,4₁₆-303,A₁₆.

5. а) 1011100₂* 1100100₂; б) 347,2₈* 125,64₈; в) 10,A8₁₆* 35,4₁₆.

6. а) 1000101000₂ : 1100₂; б) 5101₈ : 31₈; в) D7A₁₆ : 1E₁₆;

Вариант 5

1. а) 500₁₀; б) 675₁₀; в) 810,25₁₀; г) 1017,25₁₀; д) 123,72₁₀

2. а) 1101010001₂; б) 100011100₂; в) 1101110001,011011₂;

г) 110011000,111001₂; д) 1347,17₈; е) 155,6C₁₆.

3. а) 1000101101₂[phone]₂; б) 1111011010₂[phone]₂;

в) 1001000011,1₂+10001101,101₂; г) 415,24₈+1345,04₈; д) 113,B₁₆+65,8₁₆.

4. а) 1101111100₂-100100010₂; б) 1011010110₂-1011001110₂;

в) 1111011110,1101₂ -1001110111,1₂; г) 1333,2₈-643,2₈; д) 176,7₁₆-E5,4₁₆.

5. а) 1101100₂* 1010011₂; б) 516,54₈* 44,64₈; в) 61,8₁₆* 48,9₁₆.

6. а) 11000100000₂ : 10000₂; б) 3074₈ : 25₈; в) 6D5₁₆ : 21₁₆;

Вариант 6

1. а) 218₁₀; б) 808₁₀; в) 176,25₁₀; г) 284,25₁₀; д) 253,04₁₀

2. а) 111000100₂; б) 1011001101₂; в) 10110011,01₂; г) 1010111111,011₂; д) 1665,3₈; е) FA,7₁₆.

3. а) 11100000₂[phone]₂; б) 110101101₂[phone]₂;

в) 10011011,011₂+1110110100,01₂; г) 1041,2₈+1141,1₈; д) 3C6,8₁₆+B7,5₁₆.

4. а) 10110010₂-1010001₂; б) 1101000000₂-10000000₂;
в) 1100101111,1101₂ -100111000,1₂; г) 1621,44₈-1064,5₈; д) 1AC,B₁₆-BD,7₁₆.

5. а) 1000000₂* 110110₂; б) 714,34₈* 133,4₈; в) 16,B₁₆* 2B,6₁₆.

6. а) 10001110011₂ : 10001₂; б) 5456₈ : 33₈; в) 6FA₁₆ : 13₁₆;

Вариант 7

1. а) 306₁₀; б) 467₁₀; в) 218,5₁₀; г) 667,25₁₀; д) 318,87₁₀

2. а) 1111000111₂; б) 11010101₂; в) 1001111010,010001₂;
г) 1000001111,01₂; д) 465,3₈ ; е) 252,38₁₆.

3. а) 1000001101₂[phone]₂; б) 1010011110₂[phone]₂;
в) 1100111,00101₂+101010110,011₂; г) 520,4₈+635,4₈; д) 2DB,6₁₆+15E,6₁₆.

4. а) 1101000101₂-111111000₂; б) 11110101₂-110100₂; в) 1011101011,001₂ -1011001000,01001₂; г) 1034,4₈-457,44₈; д) 239,A₁₆-9C,4₁₆.

5. а) 1101101₂* 101010₂; б) 310,2₈* 40,5₈; в) 18,4₁₆* 35,4₁₆.

6. а) 10101001110₂ : 1110₂; б) 5360₈ : 31₈; в) B80₁₆ : 20₁₆;

Вариант 8

1. а) 167₁₀; б) 113₁₀; в) 607,5₁₀; г) 828,25₁₀; д) 314,71₁₀

2. а) 110010001₂; б) 100100000₂; в) 1110011100,111₂;
г) 1010111010,1110111₂; д) 704,6₈ ; е) 367,38₁₆.

3. а) 10101100₂[phone]₂; б) 1000000010₂[phone]₂; в) 1110111010,10011₂+1011010011,001₂; г) 355,2₈+562,04₈; д) 1E5,18₁₆+3BA,78₁₆.

4. а) 1010110010₂-1000000000₂; б) 1111100110₂-10101111₂;
в) 1101001010,101₂ -1100111000,011₂; г) 1134,54₈-231,2₈; д) 2DE,6₁₆-12A,4₁₆.

5. а) 10101₂* 11010₂; б) 575,2₈* 102,2₈; в) 55,4₁₆* 6,5₁₆.

6. а) 1110111000₂ : 1110₂; б) 6457₈ : 33₈; в) AF0₁₆ : 1C₁₆;

Вариант 9

1. а) 342₁₀; б) 374₁₀; в) 164,25₁₀; г) 520,375₁₀; д) 97,14₁₀.

2. а) 1000110110₂; б) 111100001₂; в) 1110010100,1011001₂;
г) 1000000110,00101₂; д) 666,16₈; е) 1C7,68₁₆.

3. а) 1101010000₂[phone]₂; б) 100000101₂[phone]₂;
в) 1100100001,01001₂+1110111111,011₂; г) 242,2₈+1153,5₍₈₎; д) 84,8₁₆+27E,8₁₆.

4. а) 1111110₂-1111011₂; б) 1111100000₂-111110011₂;
в) 1111011111,1001₂ -1010111100,01₂; г) 1241,34₈-1124,3₈; д) 15F,A₁₆-159,4₁₆.

5. а) 1001010₂* 1101111₂; б) 1616,3₈* 61,3₈; в) 3A,38₁₆* 64,4₁₆.

6. а) 10100100000₂ : 10000₂; б) 2756₈ : 26₈; в) D63₁₆ : 17₁₆;

Вариант 10

1. а) 524₁₀; б) 222₁₀; в) 579,5₁₀; г) 847,625₁₀; д) 53,35₁₀.

2. а) 101111111₂; б) 1111100110₂; в) 10011000,1101011₂;
г) 1110001101,1001₂; д) 140,22₈ ; е) 1DE,54₁₆.

3. а) 1101010000₂[phone]₂; б) 100110111₂[phone]₂;
в) 1111100100,11₂+1111101000,01₂; г) 1476,3₈+1011,1₈; д) 3E0,A₁₆+135,8₁₆.

4. а) 1010010100₂-11101110₂; б) 10000001110₂-10011100₂;
в) 1110100111,01₂ -110000001,1₂; г) 1542,5₈-353,24₈; д) 3EB,8₁₆-3BA,8₁₆.

5. а) 111000₂* 100111₂; б) 157,4₈* 101,1₈; в) 19,7₁₆* 58,78₁₆.

6. а) 1111100000₂ : 10000₂; б) 1760₈ : 22₈; в) A17₁₆ : 15₁₆;

Вариант 11

1. а) 113₁₀; б) 875₁₀; в) 535,1875₁₀; г) 649,25₁₀; д) 6,52₁₀.

2. а) 11101000₂; б) 1010001111₂; в) 1101101000,01₂;
г) 1000000101,01011₂; д) 1600,14₈ ; е) 1E9,4₁₆.

3. а) 1000111110₂[phone]₂; б) 1001000₂[phone]₂;
в) 110110010,011₂+1000011111,0001₂; г) 620,2₈+1453,3₈; д) 348,1₁₆+234,4₁₆.

4. а) 1100001010₂-10000011₂; б) 1101000001₂-10000010₂;
в) 110010110,011₂ -10010101,1101₂; г) 1520,5₈-400,2₈; д) 368,4₁₆-239,6₁₆.

5. а) 1100110₂* 110010₂; б) 177,4₈* 23,4₈; в) 10,6₁₆* 26,8₁₆.

6. а) 1110010000₂ : 10000₂; б) 4343₈ : 31₈; в) A3B₁₆ : 1B₁₆;

Вариант 12

1. а) 294₁₀; б) 723₁₀; в) 950,25₁₀; г) 976,625₁₀; д) 282,73₁₀.

2. а) 10000011001₂; б) 10101100₂; в) 1101100,01₂; г) 1110001100,1₂; д) 1053,2₈ ; е) 200,6₁₆.

3. а) 1000111110₂[phone]₂; б) 1111001₂[phone]₂;
в) 1001110101,00011₂+1001001000,01₂; г) 104,4₈+1310,62₈; д) 2BD,3₁₆+EB,C₁₆.

4. а) 11110111₂-11110100₂; б) 1001100111₂-101100111₂;
в) 1100110111,001₂ -1010001101,0011₂; г) 631,1₈-263,2₈; д) 262,8₁₆-1D6,88₁₆.

5. а) 111101₂* 1111₂; б) 1751,2₈* 77,24₈; в) 40,4₁₆* 54,6₁₆.

6. а) 100111000₂ : 1101₂; б) 4120₈ : 23₈; в) 8F6₁₆ : 1F₁₆;

Вариант 13

1. а) 617₁₀; б) 597₁₀; в) 412,25₁₀; г) 545,25₁₀; д) 84,82₁₀.

2. а) 110111101₂; б) 1110011101₂; в) 111001000,01₂; г) 1100111001,1001₂; д) 1471,17₈ ; е) 3EC,5₁₆.

3. а) 1110100100₂[phone]₂; б) 1100001100₂[phone]₂;
в) 1100111101,10101₂+1100011100,0011₂; г) 750,16₈+1345,34₈; д) 158,4₁₆+396,8₁₆.

4. а) 10000000010₂-100000001₂; б) 1110111111₂-1010001₂;
в) 1011001100,1₂ -100100011,01₂; г) 1110,62₈-210,46₈; д) 1D8,D8₁₆-110,4₁₆.

5. а) 11001₂* 1011100₂; б) 1440,4₈* 17,6₈; в) 14,8₁₆* 4A,3₁₆.

6. а) 1010100100₂ : 1101₂; б) 1375₈ : 21₈; в) 4C4₁₆ : 14₁₆;

Вариант 14

1. а) 1047₁₀; б) 335₁₀; в) 814,5₁₀; г) 518,625₁₀; д) 198,91₁₀.

2. а) 1101100000₂; б) 100001010₂; в) 1011010101,1₂; г) 1010011111,1101₂; д) 452,63₈; е) 1E7,08₁₆.

3. а) 1101100101₂[phone]₂; б) 1100011₂[phone]₂;
в) 1010101001,01₂+10011110,11₍₂₎; г) 1672,2₈+266,2₈; д) 18B,A₁₆+2E9,2₁₆.

4. а) 1110111011₂-100110111₂; б) 1110000101₂-1001110₂;
в) 1011110100,0011₂ -101001011,001₂; г) 1560,22₈-1142,2₈; д) 1A5,8₁₆-7D,A₁₆.

5. а) 111100₂* 111100₂; б) 274,5₈* 31,34₈; в) 13,4₁₆* 38,48₁₆.

6. а) 10011101100₂ : 1110₂; б) 1436₈ : 23₈; в) CD6₁₆ : 1F₁₆;

Вариант 15

1. а) 887₁₀; б) 233₁₀; в) 801,5₁₀; г) 936,3125₁₀; д) 218,73₁₀.

2. а) 1010100001₂; б) 10000010101₂; в) 1011110000,100101₂;
г) 1000110001,1011₂; д) 1034,34₈; е) 72,6₁₆.

3. а) 1010110101₂[phone]₂; б) 1111100100₂[phone]₂;
в) 111111101,01₂+1100111100,01₂; г) 106,14₈+322,5₈; д) 156,98₁₆+D3,2₁₆.

4. а) 1111100100₂-110101000₂; б) 1110110100₂-1101010101₂;
в) 1100001,0101₂ -1011010,101₂; г) 537,24₈-510,3₈; д) 392,B₁₆-149,5₁₆.

5. а) 111100₂* 1101001₂; б) 1567,2₈* 147,2₈; в) 44,8₁₆* 13,6₁₆.

6. а) 1111001100₂ : 10010₂; б) 5050₈ : 31₈; в) 7EC₁₆ : 1A₁₆;

Ответы к контрольной работе

Вариант 1

1. а)1010011010₂; б)10010001₂; в)10011001.01₂; г)10100010.01₂; д) 11111000.011101₂

2. а) 827₁₀; б) 1031₁₀; в) 181.5₁₀; г) 262₁₀; д)441.3125₁₀; е) 1050.375₁₀;

3. а) 11000110₂=198₁₀; б) 11000001011₂=1547₁₀; в) 1100000111.111₂=773.875₁₀ ; г) 2335.54₈=1245.6875₁₀; д)660.18₁₆=1632.09375₁₀.

4. а) 100000011₂=259₁₀; б) 111110100₂=500₁₀; в) 1000111000.1101₂ =568.8125₁₀; г) 1674₈=956₁₀; д) 234.9₁₆=564.5625₁₀.

5. а) 10001111011100₂=9180₁₀; б) 252625.16₈=87445.1875₁₀;
в) 336.C6₁₆=822.77343₁₀ .

6. а) 11000₂ =24₁₀; б) 70₈=56₁₀; в) 7E₁₆=126₁₀

Вариант 2

1. а) 10100100₂; б) 11111111₂; в) 10110010000.01₂; г) 1010011110.01₂; д) 1011.11100₂

2. а) 627₁₀; б) 72₁₀; в) 999.25₁₀; г) 652.70312₁₀; д) 267.51562₁₀ ;
 е) 280.54687₁₀.

3. а) 11000100101₂=1573₁₀; б) 111011110₂=478₁₀; в) 10111111101.0111₂=1533.4375₁₀ ;  г) 1705.54₈=965.6875₁₀; д) 39F₁₆=927₁₀.

4. а) 1010101₂=85₁₀; б) 1010111₂=87₁₀; в) 110100011.1001₂ =419.5625₁₀;
 г) 441.6₈=289.75₁₀; д) 1C1₁₆=449₁₀.

5. а) 100110001010₂=2442₁₀; б) 31257.04₈=12975.0625₁₀; в) 315.42₁₆=789.25781₁₀ .

6. а) 1100011₂=99₁₀; б) 120₈=80₁₀; в) 34₁₆=52₁₀;

Вариант 3

1. а) 100010001₂; б) 1010010101₂; в) 10011100.01₂; г) 1100011101.1₂; д)110101.10111₂

2. а) 768₁₀; б) 863₁₀; в) 717.09375₁₀; г) 527.25₁₀; д) 273.6875₁₀ ; е) 111,B₁₀.

3. а) 1110001000₂[phone]₂; б) 1001001101₂+1111000₂; в) 111100010,0101₂+1111111,01₂; г) 573,04₈+1577,2₈; д) 108,8₁₆+21B,9₁₆.

4. а) 1010111001₂-1010001011₂; б) 1110101011₂-100111000₂; в) 1110111000,011₂ -111001101,001₂; г) 1300,3₈-464,2₈; д) 37C,4₁₆-1D0,2₁₆.

5. а) 1011010₂* 1000010₂; б) 632,2₈* 141,34₈; в) 2A,7₁₆* 18,8₁₆.

6. а) 111010110₂ : 1010₂; б) 4120₈ : 23₈; в) 4F8₁₆ : 18₁₆;

Литература

1.     Угринович Н.Д., Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов, М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 512с: ил.

2.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_счисления

3.     www.gmcit.murmansk.ru/text/information_science/base/.../material2.htm