Методическое пособие по теме "Уравнения с модулем" (10 класс)

Комсомольская ОШ №5 І – ІІІ ступеней

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

2017 год

АННОТАЦИЯ

Решение уравнений с модулем вызывает у учащихся затруднения.

Анализируя задания вступительных экзаменов, необходимо отметить, что очень часто предлагаются задания с модулями. Чтобы помочь учащимся научиться решать уравнения с модулями предлагается данный материал.

Уравнения с модулем разделены на группы по способу их решения. К каждой группе дается теоретический материал, необходимый для решения уравнений данной группы.

Даны решения уравнений каждой группы, а к отдельным уравнениям алгоритм их решения, что позволяет учащимся самообучаться.

Этот материал можно применять на уроках при работе по группам и индивидуально как в классе, так и для домашней работы.

Предназначается учащимся стерших классов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Определение модуля

                    

1.  Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида ,                                               (1)

где   и  - некоторые функции.

Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения =, принадлежащие множеству , затем решить уравнение = на множестве ; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

  или 

Пример 1.

Решите уравнение .

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности систем:

 или

  или

Ответ: - 3; - 2; 2; 3.

2.  Уравнение вида   равносильно совокупности систем (можно решить двумя способами)

     или   

Пример 2.

Решите уравнение  

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

1)       

 не удовлетворяет условию , следовательно, система имеет решение .

2)

       

 не удовлетворяет условию , следовательно, вторая система имеет решение .

Ответ:    .

3.  Уравнение вида , где   - некоторые функции, равносильно совокупности систем

Пример 3.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1)       , система не имеет решений.

2)     ,     .

Ответ:

4.  При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 4.

Решите уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

  или  

то есть совокупности систем

  или 

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:

   или 

  или    

Ответ: 0.

5.Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида          (2)

Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Для этого находят сначала все точки, в которых

Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции  сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходят от уравнения (2) и совокупности систем, не содержащих знаков модуля.

Пример 5.

Решите уравнение .

Решение.

                                 

           

                                                

1)             

2)              

3)      

Ответ:

Пример 6.

Решите уравнение .

Решение.

                              

           0                2                    7

1)        нет решений.

2)     нет решений.

3)      нет решений.

4)      нет решений.

Ответ: корней нет.

РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ    

І способ

Раскрыть модуль по определению

             

                  

ІІ способ

Возведение обеих частей в квадрат

                

ІІІ способ

Метод разбиения на промежутки

ПРИМЕРЫ

Пример №1

                    

Решение

І способ (по определению)

                    

Ответ: -1; 7.

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

       

Ответ: -1; 7.

Пример №2

                

Решение

І способ (по определению)

                    

Ответ: нет решения

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

Так как правая часть функция, то

        

                 Ответ: нет решения.

Пример №3

                   

Решение

Воспользуемся методом возведения в квадрат обеих частей.

Ответ:

Пример №4

               

Решение

Используем метод разбиения на промежутки.

                  

 

                              -2                            -1

                

                

Ответ: -2,5; -0,5.

Пример №5

               

Решение.

Разложим  на линейные множители.

По теореме Виета

Получили

Решим методом разбиения на интервалы

                                                                                     

                            0             1          2

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке решением является .

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке нет решения.

Если  , тогда

Так как  , то на данном промежутке нет решения.

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке решением является .

Ответ:   ;  .

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Найдите наименьшее целое значение , удовлетворяющее уравнению .

18. Найдите все корни уравнения  , удовлетворяющие неравенству .

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

1.

2. Воспользуйтесь методом разбиения на промежутки.

16. .          17. .        18.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

С МОДУЛЕМ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР.

1. Для каждого значения параметра  найдите число корней уравнения .

Решение. Запишем уравнение в виде , так как не является корнем уравнения. Количество корней данного уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графика функции  с прямой . Построим график функции , который состоит из двух частей:

при     ;

при     .

                        

Из рисунка видно, что

 при  имеет единственную точку пересечения, а значит, единственный корень;

при  имеет две точки пересечения, а значит, исходное уравнение имеет два корня;

при  - одна точка пересечения, а значит, уравнение имеет единственный корень.

Осталось проверить, сколько корней имеет исходное уравнение при  и .

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид . Определим количество корней данного уравнения.

     

- единственный корень.

Пусть , тогда имеем уравнение:

         

 - единственный корень.

Ответ: при  уравнение имеет единственный корень;

при  уравнение имеет два корня;

при  уравнение имеет единственное решение.

2. Для каждого значения параметра  найдите число корней уравнения .

Решение. Перепишем уравнение в виде .

Для решения задачи определим количество точек пересечения графика функции  и . Построим график функции

,

который состоит из двух частей:

при    ;

при   

Из рисунка видно, что при любом значении параметра исходное уравнение имеет один корень.

Ответ: при любом значении параметра исходное уравнение имеет один корень.

3. При каких  значениях параметра  уравнение

Имеет хотя бы одно решение?

Решение. Подмодульная функция

                    

Пусть  , тогда

                                                      (1)

Если , то  , так как , причем равенство достигается только при  , то есть .

Если , то  , равенство достигается только    при .  

Итак,      при всех . Так как , то уравнение (1) равносильно системе             и только при найденных значениях параметра  исходное уравнение имеет решение, а именно .

Ответ: при    и 

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1. Для каждого значения параметра  найдите  число корней уравнения

2. Для каждого значения параметра  найдите  число корней уравнения

3. При каких значениях параметра  уравнение  имеет хотя бы одно решение?

ОТВЕТЫ

1. При   уравнение имеет единственный корень;

     при  уравнение имеет два корня.

2. При любом значении параметра  уравнение имеет единственный корень.

3. При   и