Мы в окружении математики

Н.Бейли 
МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЕ

1.4. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

   Несколько лет назад, когда автор этой книги работал консультантом по вопросам математической статистики в небольшой медицинской научно-исследовательской группе, разговоры о возможности проложить математическую тропинку через густые дебри экологических факторов часто заканчивались довольно скептическим покачиванием головой и утверждением, что “медицина — это все-таки искусство”. Отчасти это, конечно, верно в том смысле, что интуиция и воображение для врача действительно необходимы. В то же время большинство больных и потенциальных больных, несомненно, надеются на непрерывное развитие и расширение научных аспектов медицины. А наука означает применение математики.

Существенно важен вопрос о том, в каких областях применимы математические методы. В разд. 1.1 мы уже отмечали, что потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и что это касается даже таких сложных областей, как искусство и этика. В настоящем разделе мы несколько конкретнее рассмотрим области применения математики в биологии и медицине.

Хорошо известно, что один из подходов к описанию картины природы — это построение иерархии уровней организации, изучаемых различными науками; по уровню абстракции, свойственному каждой из них, эти науки можно расположить в такой последовательности: физика, химия, биохимия, физиология, психология, социология. Мы начинаем с основных материальных элементов реального мира, т. е. с субатомного уровня, и заканчиваем необычайно разносторонними проявлениями духовной жизни человеческого общества. В этой последовательности уровней организация и сложность непрерывно повышаются. На каждом уровне действуют свои собственные законы, и поэтому их можно изучать до некоторой степени независимо друг от друга. Однако любой из них нерасторжимо связан с закономерностями, действующими на более низких уровнях. Так, законы физики и химии отчасти распространяются и на психологию, хотя понятия и законы последней выходят за пределы физических и химических законов.

Проблемы, касающиеся организации и деятельности больниц, следует отнести к более высокому уровню абстракции, чем, скажем, физиологию и патологию человека. Но хотя в определенной степени логическое содержание этого более высокого уровня независимо от более низкого, вопросы физиологии и патологии неизбежно должны учитываться при решении любой проблемы, касающейся организации больничных служб. Мы не собираемся углубляться здесь в эти философские рассуждения или обсуждать отдельные их детали, а хотим лишь подчеркнуть, что описанная последовательность уровней приближенно соответствует порядку возрастания трудностей при использовании научных методов и проведении математических исследований.

Как мы уже отмечали, прикладная математика добилась крупных и бесспорных успехов в области физики и химии, однако в данной книге мы не будем касаться этих вопросов. В разд. 1.2 было показано, что математические описания, связанные с биологическими формами, охватывают широкий круг вопросов и могут быть проведены достаточно точно. В разд. 1.3 мы познакомились с динамическими моделями развития и коснулись проблем, связанных со случайными колебаниями численности популяций. Изложение этих вопросов требовало достаточной степени абстракции, однако именно использование упрощающих допущений позволило нам получить некоторое представление о законах, регулирующих рост популяций. Было отмечено, что при рассмотрении такого рода проблем неизбежно приходится сталкиваться с фактором статистической изменчивости, подробное обсуждение которого переносится в гл. 2.

При переходе на более высокие уровни абстракции мы сталкиваемся не только с более сложными вопросами, но и с возрастающей степенью изменчивости, по большей части непредсказуемой. Например, полная картина конкуренции между несколькими видами, обитающими в определенной среде, включает огромное множество факторов. В области научных экологических описаний, выполненных главным образом в словесной форме, достигнуты значительные успехи, однако разработка математических моделей находится здесь еще на самом элементарном уровне. Другим примером может служить область медицинской диагностики. Для постановки диагноза врач совместно с другими специалистами часто бывает вынужден учитывать самые разнообразные факты, опираясь отчасти на свой личный опыт, а отчасти на материалы, приводимые в многочисленных медицинских руководствах и журналах. 

Общее количество информации увеличивается со все возрастающей интенсивностью, и есть такие болезни, о которых уже столько написано, что один человек не в состоянии в точности изучить, оценить, объяснить и использовать всю имеющуюся информацию при постановке диагноза в каждом конкретном случае. Разумеется, хороший диагност, используя свой большой опыт и интуицию, может отобрать необходимую часть важных данных и дать достаточно точное заключение. Однако, как это ни парадоксально звучит, по мере накопления знаний положение ухудшается.

Именно в такого рода ситуациях, когда разум одного человека не способен справиться со сложностями стоящих перед ним задач и описать их решение даже в общей словесной форме, специалисты в области так называемых неточных наук (включая, разумеется, биологию и медицину) часто утверждают, что математический анализ несовершенен, неуместен, приводит к ошибочным заключениям или невозможен, и поэтому его лучше избегать. Это возражение содержит рациональное зерно в том смысле, что современная математика, возможно, еще недостаточно совершенна; однако пройдет время, и мы увидим, что справедливо как раз обратное. 

В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на электронной вычислительной машине. Использование статистических методов и вычислительной техники рассматривается в гл. 2 и 5 соответственно.

Основная причина недоверия к математическим и вычислительным методам, по-видимому, состоит в следующем. Математическая модель некоторого биологического явления будет приемлемой для биолога только в том случае, если выраженная в словесной форме информация об этом явлении, которой он располагает, достаточно полна для того, чтобы можно было судить об адекватности модели. Ясно, что получение такой информации представляет собой первый и наиболее важный этап биологического исследования и что на этом этапе математика играет второстепенную роль. Естественно, возникает мысль, что по мере того, как вопросы становятся более трудными и сложными, математика приобретает все меньшее и меньшее значение. Однако не всегда учитывается то обстоятельство, что, достигнув достаточной степени сложности, математика развивается далее по своим собственным законам и дает биологу понятия и образ мышления, которых у него раньше не было. Будем надеяться, что эта книга хотя бы в некоторой степени проиллюстрирует справедливость этого утверждения.

До сих пор мы имели в виду главным образом те биологические и медицинские исследования, которые требуют более высокого уровня абстракции, чем физика и химия, но тесно связаны с этими последними. Далее мы перейдем к проблемам, связанным с поведением животных и психологией человека, т. е. к использованию прикладных наук для достижения некоторых более общих целей. Эту область довольно расплывчато называют исследованием операций, и более детально она рассматривается в гл. 4. Пока мы лишь отметим, что речь будет идти о применении научных методов при решении административных и организационных задач, особенно тех, которые непосредственно или косвенно связаны с биологией и медициной. Лесоводство, животноводство, общие вопросы сельскохозяйственного производства, проектирование больниц и организация медицинского обслуживания — таковы лишь немногие вопросы, относящиеся к этой категории.

Разумеется, не все задачи административного управления можно решить на научной основе, используя методы исследования операций. Однако применение этих методов там, где оно возможно (а они применимы ко многим задачам такого рода), имеет большие преимущества, так как позволяет расширить область точных исследований и сократить область неопределенных словесных рассуждений. Благодаря этому интуиция и здравый смысл человека могут быть направлены на решение тех вопросов, где невозможно применение шаблонных методов. Еще более сложны вопросы, к которым примешиваются какие-либо этические соображения. Но иногда математический анализ может помочь даже и в этих случаях.

Например, в медицине часто возникают сложные проблемы, связанные с применением лекарственных препаратов, которые еще находятся на стадии испытания. Морально врач обязан предложить своему больному наилучший из существующих препаратов, но фактически он не может сделать выбор, пока испытание не будет закончено. В этих случаях применение правильно спланированных последовательностных статистических испытаний позволяет сократить время, требуемое для получения окончательных результатов. Этические проблемы при этом не снимаются, однако такой математический подход несколько облегчает их решение. О последовательностных методах более подробно говорится в разд. 2.3.

Основное положение настоящего раздела состоит в том, что математические методы применимы к самому широкому кругу вопросов — от физики элементарных частиц до моральных проблем. Удобно (хотя вовсе не обязательно) рассматривать некую иерархию уровней. По мере перехода на более абстрактные уровни математические методы оказываются менее разработанными и применять их становится все труднее. Тем не менее при правильном применении математический подход не отличается существенно от подхода, основанного просто на здравом смысле. Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий, но в конечном счете они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, и идут дальше их.

• 1 слайд

  «Если ты не знаешь математику,
  то ты не знаешь ни одной науки»
  Именно математика превратила химию из описательной науки в экспериментальную, и именно математика сделала химию наукой. Именно с помощью математики мы производим как простейшие расчёты по химическим формулам и уравнениях химических реакций, так и сложнейшие математические операции, моделирующие сложнейшие химические процессы как в живой, так и неживой природе. Без математики невозможно ни одно химическое производство. Если на мгновение представить, что было бы, если из химии исчезли числа и математические расчёты… Мир бы лишился пищи, лекарств, красок, фотоплёнок, минеральных удобрений, пластмасс, металлических сплавов и многих других полезных веществ и вещей.
  

• 2 слайд

  Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения –
  основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике.
  

• 3 слайд

  Какие ограничения накладывает химия
  на решение математических задач?
  
  Как-то раз Гаусс спорил с Авогадро (1776-1856) о сущности научных законов. Гаусс утверждал, что законы существуют только в математике, а потому химия почитаться за науку не может. В ответ Авогадро сжег 2 л водорода в литре кислорода и, получив два литра водяного пара, торжествующе воскликнул: «Вот видите! Если химия захочет, то два плюс один окажутся равны двум. А что скажет на это ваша математика?»
  Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с абстрактными величинами, а с конкретными свойствами атомов и молекул, которые подчиняются естественным природным ограничениям. Иногда эти ограничения бывают довольно жесткими и приводят к резкому сужению числа возможных решений математических уравнений. Математические уравнения, применяемые в химии, а также их решения должны иметь химический смысл.
  

• 4 слайд

  Число атомов в молекулах должно быть положительным целым числом
  
  Рассмотрим уравнение 12x + y = 16. Для математика это уравнение описывает прямую линию на плоскости. Оно имеет бесконечно много решений, в том числе и целочисленных. А для химика выражение
  12x + y описывает молекулярную массу углеводорода CxHy
  (12 – атомная масса углерода, 1 – водорода). Молекулярную массу 16 имеет единственный углеводород – метан CH4, поэтому только одно решение данного уравнения обладает химическим смыслом: x = 1, y = 4.
  Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?
  
  

• 5 слайд

  Логарифмы в химии
  pH раствора рассчитывается по формуле:
  pH=-lg[H+]
  То есть среда раствора это- отрицательный десятичный логарифм концентрации иона H+, который численно равен мольной концентрации вещества в растворе (С).
  

• 6 слайд

  Графики в химии
  Графики широко используются в химии ,например, в кривых растворимости веществ.
  

• 7 слайд

  Одно из ключевых понятий химии – валентность, то есть число химических связей, которыми данный атом соединен с другими. Валентность почти всегда является положительным целым числом. Например, углерод в органических соединениях почти всегда четырехвалентен. Это накладывает некоторые ограничения на химические формулы. Например, число атомов водорода во всех углеводородах четно.
  Какие ограничения накладывает химия
  на решение математических задач?
  
  Найдем максимально возможное число атомов водорода в углеводороде, содержащем n атомов углерода, это число равно 2n + 2. Оно соответствует предельным углеводородам – алканам. Решим эту задачу с помощью математических рассуждений.
  Общее число валентностей углерода в молекуле CnHx равно 4n, так как каждый атом углерода четырехвалентен. Что входит в это число? Атомы углерода связаны друг с другом и с атомами водорода. Минимально возможное число связей C–С равно (n–1) – оно необходимо, чтобы углеродный скелет не имел разрывов. В каждой такой связи участвует два атома углерода, поэтому число валентностей, расходуемых на
  связи C–С, равно 2(n–1). Остальные 4n – 2(n–1) = 2n + 2 валентностей расходуются на связи C–H. Водород одновалентен, поэтому число его атомов равно числу связей C–H:
  x = 2n + 2. Доказательство закончено.
  

• 8 слайд

  Симметрия в химии
  Симметрия – одно из основных понятий в современной науке. Она лежит в основе фундаментальных законов природы, таких как закон сохранения энергии. Симметрия – очень распространенное явление в химии: практически все известные молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные фрагменты. В химии труднее обнаружить несимметричную молекулу, чем симметричную.
  

• 9 слайд

  Графическое представление молекул и их свойств – теория графов в химии
  
  Изучение связи свойств веществ с их строением – одна
  из основных задач химии. Большой вклад в ее решение внесла структурная теория органических соединений, в число создателей которой входит великий российский химик Александр Михайлович Бутлеров (1828-1886). Именно он первым установил, что свойства вещества зависят не только от его состава (молекулярной формулы), но и от того, в каком порядке связаны между собой атомы в молекуле. Такой порядок назвали «химическим строением». Идея о том, что порядок соединения атомов имеет ключевое значение для свойств вещества, легла в основу представления молекул с помощью графов, в которых атомы играют роль вершин, а химические связи между ними – ребер, соединяющих вершины. В графическом представлении длины связей и углы между ними игнорируются. Молекулы изображаются следующими графами:
  
  Бутлеров А.М.
  

• 10 слайд

  Графы – это математические объекты, поэтому их можно характеризовать с помощью чисел. Строение молекул можно выражать числами, которые связаны со структурой молекулярных графов. Эти числа в химии называют «топологическими индексами». Рассчитав какой-либо топологический индекс для большого числа молекул, можно установить связь между его значениями и свойствами веществ, и затем использовать эту связь для предсказания свойств новых, еще не синтезированных веществ.
  Первоначально топологические индексы разрабатывались только с целью предсказания физико-химических свойств веществ. Однако впоследствии их стали применять и для решения других задач.
  Одно из приложений топологических индексов связано с классификацией органических соединений и созданием органических баз данных. Наиболее перспективные применения топологических индексов связаны с разработкой лекарственных препаратов и других биологически активных веществ.
  
  
  Теория графов в химии
  
  

• 11 слайд

  Молекулярные графы, применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул. Вершины и ребра этих графов отвечают соответственно атомам и химическим связям между ними.
  Молекулярные графы и деревья: а, б - мультиграфы соотв. этилена и формальдегида;
  в – молекулы изомеров пентана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2)
  Теория графов в химии
  

• 12 слайд

  Основная область интересов - это математическое моделирование 
  гипотетически возможных физико-химических и химических явлений и процессов, а так же их зависимость от свойств атомов и структуры молекул. Математическая химия допускает построение моделей без привлечения 
  квантовой механики. Критерием истины в математической химии являются 
  математическое доказательство, вычислительный эксперимент и сравнение результатов с экспериментальными данными .
  В математической химии разрабатывают новые приложения математических методов в химии. Новизна обычно выражается одним из двух способов: развитие новой химической теории; развитие новых математических подходов, которые позволяют проникнуть в суть или решить проблемы химии.
  Модели  математической химии— это закон действующих масс, созданный математиком К. Гульдбергом и химиком-экспериментатором П. Вааге, граф механизма химических превращений и дифференциальные уравнения 
  химической кинетики. Один из создателей «химической динамики»  Вант -Гофф  писал о себе: «Двойное стремление: к математике, с одной стороны, и к химии — с другой, проявилось во всех моих научных устремлениях».
  
  Математическая химия — раздел теоретической химии, область исследований, посвящённая новым применениям математики к химическим задачам
  

• 13 слайд

  Рассмотрено всего несколько примеров, показывающих, как математика используется в химии. Они дают определенное, хотя, конечно, неполное представление о задачах, решаемых химиками с помощью математики, и ограничениях, которые химия накладывает на применяемую в ней математику.
  
  
  История науки говорит о том, что на границах различных областей знания могут происходить очень интересные события. И хотя химики и математики мыслят совсем по-разному, те случаи, когда им удается взаимодействовать, приводят к появлению красивых и нетривиальных результатов и способствуют обогащению обеих наук.
  Роль математики в химии
  

Мероприятие для учащихся 8-10 классов

План

1.       Доклад «Математика вокруг нас», выступает учитель

2.       Выступление учащихся с презентациями по темам

1.       Математика в химии

2.       Математика в биологии

3.       Математика и медицина

4.       Математика в сельском хозяйстве

3.       Математическая викторина

4.       Математические игры

5.       Подведение итогов, награждение победителей

Ход

1.       Приветствие и выступление учителя – организатора.

Ребята, в жизни вы не встретите ни одного человека, который не занимался бы математикой. Каждый из нас умеет считать, знает таблицу умножения, умеет строить геометрические фигуры. С этими фигурами мы часто встречаемся в окружающей жизни.

Кто-то из вас, возможно, думает, что различные замысловатые линии и поверхности можно встретить только в книгах учёных математиков. Однако это не так. Стоит внимательно присмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много, просто раньше мы их не замечали. Вот комната. Все её стены, пол и потолок являются прямоугольниками, а сама комната - параллелепипед.

Посмотрите на паркетный пол. Плитки паркета - квадраты, прямоугольники или правильные шестиугольники.

Мебель в комнате - тоже комбинация геометрических тел. Стол - плоский параллелепипед, лежащий на двух других параллелепипедах - тумбочках, в которых есть ящики. На столе лампа с абажуром в форме усечённого конуса. Ведро либо цилиндрической формы, либо - усечённый конус.

В буфете стоит посуда. Вот гранёный стакан, он имеет форму шестигранной усечённой пирамиды. Чайное блюдце - усечённый конус, воронка состоит из конуса и цилиндра. Нальём в стакан воду, края поверхности стакана имеют форму круга. Наклоним стакан, чтобы вода не вылилась. Тогда край водной поверхности станет эллипсом.

Выйдем на улицу. Перед нами дома. Сам дом - призма, а его стены - плоскости. Колонны у дома - это цилиндры.

В Москве - Кремль. Прекрасны его башни и стены! Сколько геометрических фигур положено в их основу!

По улице движутся автомобили. Их колёса - круги. Сядем в поезд. Станция далеко позади. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода - это прямые линии, а столбы - это перпендикуляры к земле. Вот линия высоковольтной передачи, провода от собственной тяжести слегка провисают к земле, а зимой же они, наоборот, натягиваются, так как металл от холода сжимается. Вопросом определения необходимой длины такого провода для передачи на большие расстояния занимается математика.

Очень часто мы встречаемся с шаровой поверхностью: шариковые подшипники, резервуары для хранения газа, - их делают шаровой формы, так как при этом расходуется меньше металла. Мы живём на земном шаре, хотя в действительности форма земли не шар, а более сложное тело - «эллипсоид вращения». У полюсов оно сплюснутое, отношение малой оси к большой составляет 299/300. Это не много, но эту величину приходится учитывать при составлении географических карт.

Во многих случаях наблюдения над явлениями природы помогают человеку в решении его технических задач. Так, на заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский (отец русской авиации) и С. А. Чаплыгин (один из основоположников аэродинамики) исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолёта и условий его полёта.

Мы идём в магазин. Чтобы сделать покупку, мы решаем в уме задачу с данными: цена, количество, стоимость. Мы едем в путешествие и решаем для себя задачу с данными: скорость, время, расстояние. Экономисты на заводе каждый день решают массу задач с данными: работа, производительность труда, время. Инженер или техник на производстве решает задачи из «Сопротивления материалов».

Например:

1)  Балка в технике - это металлический или деревянный брус. На них держится вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Если вес - большой, то балки могут не выдержать и здание может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо сделать экономические расчёты и выяснить материал, форму, размер балки, чтобы она выдержала конструкцию.

2) Зная формулы о силе трения, инженер может рассчитать, каким канатом можно удержать на пристани корабль (канат закидывается за столб на пирсе).

3) Зная специальные формулы, врач-криминалист может рассчитать время, когда умер человек.

4) Много трудных математических задач приходится решать в теории космических полётов. Одной из них является задача об определении количества топлива для того, чтобы придать ракете нужную скорость. Математики нашли способ уменьшения количества этого топлива, т. е. при меньшей затрате горючего ракета может улететь дальше.

Благодаря математике появились вычислительные счетные машины. Вычислительная техника прошла путь от простых счётов, арифмометров, логарифмических линеек до микрокалькуляторов и компьютеров. Сейчас вычислительные машины используются во всех отраслях народного хозяйства: в статистике, торговле, автоматизированном управлении заводами и фабриками. Машины не только считают, они могут делать переводы с одного языка на другой, могут сочинять музыку, играть в шахматы.

Всем известно, что не всегда человек может обыграть машину. Ведь она очень быстро просчитывает все ходы, за 1 секунду она может производить до 10 ООО различных действий, чего не удается сделать человеку.

Чтобы производить такие машины или пользоваться ими, нужно изучать высшую математику, а для её изучения нельзя обойтись без хороших знаний элементарной математики. Учить математику надо каждый день, потому что новые знания всегда опираются на старые. Нельзя оставлять неразобранной ни одной задачи и примера. Если не разобрался сам, спроси товарища или учителя. Знай, что если сегодня ты не понял немножко, то завтра не поймёшь многое.

2.       Выступление учащихся с презентациями

Математика в химии

Математика в биологии

Математика и медицина

Математика в сельском хозяйстве

3.       Математическая викторина

1.       Какое число обращается в бесконечность без всяких математических действий (8-∞)

2.       В доме 10 этажей.  Во сколько раз лестница на десятый этаж длиннее, чем на второй. (В 9 раз, так как на 1 этаже нет лестницы)

3.       Если дома на улице пронумерованы от 1 до 50, сколько раз встречается цифра 4? (15 раз)

4.       Как разделить 18 на две половины, чтобы в каждой половине получилось 10? (18)

5.       Червяк ползет по стволу липы. Ночью он поднимается на 4 метра вверх, а днем спускается на 2 метра. Как высока липа. (18 м.)

6.       Собака гонится за кроликом, находящимся от нее в 150 футах. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик делает прыжок  в 7 футов.  Сколько прыжков  должна сделать собака, чтобы догнать кролика? (75) 9-7=2; 150/2=75

7.       Сколько раз минутная стрелка обгоняет часовую за сутки?  (22 раза, в начале и в конце суток стрелки только сближаются)

8.       В 6 часов стенные часы пробили 6 ударов. По карманным  часам заметили, что время, прошедшее от первого удара до  шестого, равнялось 30 секундам. Сколько времени будет продолжаться бой часов,  когда часы бьют  12 раз? (66 секунд, так как 1 промежуток между ударами  равен 30/5=6 секунд, а здесь 11 промежутков, т.е. 6*11=66 секунд)

9.       Может ли быть, чтобы в одно и то же время Иван стоял позади Ильи, Илья – позади Ивана? (да, если они встанут спиной друг к другу)

10.   Магазин увеличил  цену товара на 25 %. На сколько процентов надо уменьшить полученную стоимость, чтобы получить первоначальную цену, так как по новой цене товар не покупали? (на 20 %, так как А – старая цена – х%, 1,25А – новая – 100%; х=А*100/1,25А=80%; 100%-80%=20%)

11.   Могут ли числа 1, √2; 2 быть членами арифметической или геометрической прогрессии? (Арифметической нет, а геометрической –  да, так как, b₁=1, g=√2)

12.   Упростите математическую фразу:

1.       Часть секущей, заключенная внутри окружности (хорда)

2.       Многоугольник с наименьшим числом сторон (треугольник)

3.       Хорда, проходящая через центр окружности (диаметр)

4.       Равнобедренный, у которого основание равно боковой стороне. (правильный треугольник)

5.       Две окружности неравных радиусов, имеющих общий центр (концентрические)

6.       Сотая часть выпускной продукции (процент)

7.       Сумма всех сторон треугольника (периметр)

8.       Отрезок, образующий с прямой угол в 90⁰ (перпендикуляр)

9.       Сумма углов треугольника (180⁰)

10.   Медиана и биссектриса во всяком треугольнике равны. (нет, только в равностороннем или в равнобедренном, если биссектриса проведена к основанию)

4.       Математические игры.

 «Отгадай задуманное число».

-   Задумайте число, (х.)

-   Умножьте его на 2. (2х.)

-   К произведению прибавьте число 3. (2х + 3.)

-   Полученную сумму умножьте на 4. (4(2х + 3).)

-   От полученного произведения надо вычесть 12. (8х + 12-12.)

-   Полученную разность разделите на задуманное число. (8х: х = 8.)

-   У вас получится число 8.

-   Как я это угадал?

«Отгадать число».

-   Задумайте двузначное число.

-   Число его десятков умножьте на 2.

-   К произведению прибавьте 5.

-   Полученную сумму умножьте на 5.

-   К произведению прибавьте число 10.

-   Прибавьте ещё число единиц задуманного числа. Ведущий из ответа вычитает число 35 (в уме) и называет задуманное число.

Решение: ab=10a + b

(a*2 + 5)*5 + 10 + b-35 = 10a + 25+10 + b-35 =10a + b

«Отгадать дату рождения»

-   Написать на доске дату своего рождения.

-   Записанное число удвоить.

-   Новый результат умножить на 10.

-   К полученному произведению прибавить 73.

-   Всю эту сумму умножить на 5.

-   К произведению прибавить номер месяца своего рождения. Окончательный результат сообщают ведущему.

Ведущий (про себя) вычитает из этой суммы 365, и две цифры справа дают номер месяца рождения, а оставшиеся цифры слева - дату дня рождения.

19 августа - дата и месяц рождения.

«Врач-диетолог»

Используя данные, решить задачу

Данные можно распечатать и дать каждому желающему или вывести на экран проектором для совместного решения.

Задание: составить меню для семьи из трёх человек (мать - служащая, отец - токарь на заводе, сын - ученик 8 класса) на один день, то есть завтрак, обед и ужин. Цены на продукты взять из собственного опыта. Составить смету и определить, сколько надо этой семье тратить денег на питание в месяц.

Люди умственного труда тратят в сутки в среднем 3000 калорий. Люди физического труда - 3500-4000 калорий.

№ п/п	Норма продуктов питания на 1 день для одного человека		Калорийность на 100 г	Цена продукта (проставляется самостоятельно участниками)
	Наименование продукта	Норма, кг	ккал
1	Хлеб черный	0,55	190
	Хлеб белый		240
2	Крупа (макароны)	0,05	338
3	Картофель	0,30	63
4	Овощи	0,35
	Капуста		20
	Помидоры		20
5	Фрукты	0,20
	Апельсин		30
	Виноград		60
	Яблоки		45
6	Сахар	0,09	405
7	Мясо	0,150
	Говядина		166
	Колбаса вареная		176
8	Молоко	0,30	65
9	Масло	0,05	742
10	Рыба	0,10

Минимальный размер оплаты труда надо взять для своего региона и выяснить, хватит ли этой семье денег на пропитание.

5. Подведение итогов, награждение победителей.