Неопределённые уравнения
в задачах монголоязычных народов
Очиров М.Н., Маланов И.А., Дугаржапова Л.Д.
Решая проблему отечественного образования - помочь учащимся стать субъектами национально-мировой культуры, мы при обучении математике обратились к народным задачам, а среди них к задачам, приводящим к неопределённым уравнениям. Эти задачи нам удалось записать у знатоков народной культуры и отдельные из них перевести с монгольского на бурятский и русский языки. Задачи можно разделить на фольклорные, передаваемые устно из поколения в поколение, и письменные, разработанные монгольскими учёными математиками. Анализ содержания и способов решения задач позволил выделить народный метод решения - перебор, который наряду с другими известными в письменной монгольской математике способами, применялся наиболее часто. Очевидно, что перебор является одним из древнейших методов решения математических задач всех народов, в частности монгольских, возникший на ранних ступенях развития математики из практической жизни кочевников. Метод не требует больших математических знаний, так как число решений в народных задачах невелико и можно выполнить их полный возможный перебор. Однако задачи имеют большую дидактическую ценность. Она состоит в том, что, перебирая возможные варианты решения, учащиеся развивают интуицию, навыки устного счёта, экспериментируют, наблюдают, на основе частных решений делают общие заключения, обогащая учебный, практический, нравственный опыт. Народные задачи, решаемые методом перебора, привели к красивым, неожиданным эпизодам из истории мировой математики, которые полезно рассмотреть на занятиях кружка или факультатива.
Методические особенности решения народных задач заключались в следующем: 1. учитывая значение родного языка в формировании мышления, задача первоначально озвучивалась на родном языке и только после того, как была проведена работа с текстом, учащиеся знакомились с её русским переводом; 2. при решении задач учащиеся разрешали проблему, которая заключалась в поисках и рассмотрении всех способов решения: графического, аналитического, введения новых переменных, с помощью которых проверялись, обобщались умозаключение; 3. в воспитательных и развивающих целях учащиеся при решении задач знакомились с элементами национальной культуры и истории математики; 4. давалась установка на запоминание формулировки задачи, так как народные задачи - культурная ценность, которая должна быть восстановлена в памяти нашей и передана потомкам.
Рассмотрим следующую народную задачу, переведённую с монгольского языка, решаемую методом полного перебора. Она предлагалась на уроке алгебры в 7 классе при знакомстве с формулами.
Задача. Булэг шагайнуудые дурбэ-дурбоор хубаабал хоёр улэнэ. Таба-табаар хубаабал нэгэ улэнэ, зурга-зургаагаар хубаабал дурбэ улэнэ. Хэды шагай байгааб ? (харюу : 46)
Если некоторое количество лодыжек разделить по четыре, то останутся две лодыжки. Если разделить по пять, то - один, если по шесть - четыре. Сколько всего было лодыжек ? (ответ: 46)
Решение методом перебора:
Так как при делении лодыжек по четыре остаётся две, по пять - один, по шесть - два, то количество лодыжек можно выразить по формулам: 4а + 2 (1), 5в +1 (2), 6z + 4 (3)
Теперь, выбрав формулу (1), методом перебора, придавая переменной а натуральные значения, найдём возможное количество лодыжек: 6,10,14,18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50…
Проверим, выполняется ли условие задачи. Окажется, что условию задачи удовлетворяет только число 46, которое является решением задач.
Вопрос: имеет ли задача другие решения - остался открытым. Возвращение к её решению после знакомства с методом рассеивания при решении неопределённых уравнений позволил учащимся запомнить формулировку задачи.
Учащиеся узнали о том, что лодыжки - альчики являлись любимым счётным материалом детворы и бурятские дети знали множество пословиц, легенд о них. Им стало известно, что в «Сокровенном сказании монголов» упоминается о том, как Темучжин с Чжамухой играли и поклялись быть андами - друзьями. «Чжамуха подарил тогда Темучжину альчик от козули, а Темучжин ему в знак дружбы - свинчатку, и они вместе играли в альчики на льду реки Онон». Шагай, как подарок, символизирует пожелание:
пусть он будет многодетным,
пусть у него будет много скота,
пусть он будет здоровым и крепким.
Затем дети познакомились со стихами Ц. Номтоева «Игра в кости» (перевод Т. Григорьевой)
В улусе нашем ребятишки Щелчком сразить лодыжкой альчик
Бараньи косточки-лодыжки Сумеет метко только мальчик.
Мешочек полный соберут, Затем коней ведут на старт.
И вот игру они ведут: Лихим наездникам подстать.
Подбросят вверх одну лодыжку Игра проста. Игра полезна.
И тотчас снизу два возьмут… Не меньше шахмат интересна
И так весь день, без передышки, Мой друг, ты хочешь ловким стать ?
Да девочки проворней тут ! Тогда пора игру начать.
Из этого стихотворения учащиеся познакомились с тремя народными играми. Им было предложено самим сочинить сходную задачу, решить её самостоятельно, а также расспросить дома о народных играх с шагай.
Следующая народная задача, выбранная из сборника «Эдир наhан - эхин дуун», предлагалась при изучении темы «Системы линейных уравнений с двумя неизвестными».
Задача 2: Олон шубууд олон хуhан дээрэ hyуха гэбэ. Нэгэ-
нэгээрээ hyухадань, нэгэ шубуун улэнэ. Хоёр-хоёророо hуухадань,
Нэгэ модон улэнэ. Хэды шубуун, хэды хуhaн байгааб ?
Стая птиц подлетела к деревьям. Если каждая из них сядет на одно дерево, то одна птица будет лишней. Если птицы сядут на деревья по две, то одно дерево будет лишним. Сколько было птиц и сколько деревьев ?
Решив задачу способом перебора, приступали к решению другими способами: графическим и составлением системы уравнений. Решение задачи графическим способом иллюстрировало, что задача имеет единственное решение, а аналитическое решение системы уравнений подтвердило связь народной математики с современной.
Задача о птицах и деревьях была записана от Доржо Митыпова, 1929 г. р., проживающего в селе Шибертуй Бичурского района. Знаток народного фольклора при встрече сообщил ещё несколько народных задач. Одна из них, также решаемая методом перебора, изучалась факультативно и вызвало оживлённое обсуждение, наибольшее затруднение при переборе.
Задача. Урда дэрээвэнhээ 100 толгой мал абахыень эсэгэнь хубуундээ 5 тухэриг мунгэ угэбэ гэхэ. Моринойнь сэн 50 мунгэн, ухэрэйнь - 10 мунгэн, хонинойнь - 1 мунгэн. Хубуун тааруулжа абаа ха. Хэды мори, хэды ухэр, хэды хони абаа хаб ?
Отец наказал сыну купить 100 голов скота на 5 рублей. При этом лошадь стоила 50 коп., корова - 10 коп., овца - 1 коп. Сын выполнил наказ отца. Сколько лошадей, сколько коров, сколько овец он купил ?
Для того, чтобы исследования по перебору были экономными во времени, рекомендуем подсказать, что была куплена одна лошадь. Особенность этой народной задачи заключается в том, что её можно решить другим методом. Она в курсе алгебры сводится к решению системы двух уравнений с тремя неизвестными. С такими системами уравнений, в которых число неизвестных превосходит число уравнений, занимались учёные разных стран. В честь александрийского математика Диофанта (III век нашей эры), занимавшегося решением неопределённых уравнений в рациональных числах, они названы диофантовыми. Впервые решением неопределённых уравнений в целых числах начали заниматься учёные Индии ( V - XII вв.). Мы с учащимися решали задачу методом рассеивания, т.е. введением вспомогательных переменных, сводящимся к цепи уравнений с уменьшающимися коэффициентами. Этот метод несущественно отличается от метода, предложенного индийскими математиками. Полагаем, что метод рассеивания был известен в письменной монгольской математике, так как в XII - XIII веках она достигла значительных успехов. Исследования монгольских учёных показали, что все области математики того времени были тесно связаны с математикой Индии, Китая, Тибета и стран Средней Азии и особенно усилились в период распространения буддизма.
Составив по условию задачи систему:
50 х + 10 у + z = 500, (1)
х + у + z = 100 , (2)
где х - количество лошадей, у - количество коров, z -количество овец и вводя вспомогательные переменные получим, что
х = 1 - 9а ,
у = 46 а + 39,
при а = 0 , + 1 , +2 , … дают все целые решения. Однако, по смыслу задачи нас интересуют целые положительны решения, потому нас удовлетворяет значение а = 0. Тогда а = 1, у = 39,z = 60. Задача имеет единственное решение.
Решение задачи методом перебора помогает «рассеять» сомнения в правильности решения методом перебора и доказать его единственность, будет использоваться при решении тригонометрических, логарифмических и др. уравнений. Закрепить знания о способах решения народных задач позволило решение следующей, переведённой с монгольского языка.
Задача 4: 67 жин тэжээл 31 толгой малай тулэдэ угтэбэ. Тэрээнь соонь унаганда - 1 жин, тугалда - 2 жин, ботогондо - 3 жин. Тэрэ тэжээл хэды унаганда, тугалда ботогондо хуртэхэ байнаб ?
Для 31 головы телят, жеребят, верблюжат выдали корма в 67 жин. Из них для 1 жеребёнка - 1 жин, одного телёнка - 2 жин, одного верблюжонка - 3 жин. Сколько жеребят, телят, верблюжат получат корм ? (1 жин - 600 г) . Ответ: 3, 20, 8.
Задача могла бы иметь бесконечное множество решений, если бы переменные принимали целые отрицательные значения. Изменив число голов скота с 31 на 37, а остальные данные оставив без изменения, мы получим задачу с 15 различными решениями. Изменённую задачу учащиеся решали дома.
Овладение методом перебора, которым решались народные задачи, способствовало лучшему усвоению некоторых нестандартных задач учащимися 7 - 9 классов.
Задача. Найдите двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.
Задача. Существует ли такое натуральное число n, не равное 1, при котором число 7 - 7 делится на 100 ?
Мы считаем, что ценность выполненных исследований и технологии применения народных задач заключается в том, что удалось не только осмыслить и систематизировать редкий фольклорный материал математического характера, но и выделить народные способы решения: метод перебора и метод рассеивания. Хотя эти методы являются, несомненно, не основными при решении задач школьного курса математики, однако наряду с анализом, синтезом, аналогией и др. методами, они представляют важный инструмент интеллектуальной деятельности учащихся. Использование метода перебора в народных задачах позволяет выявить его недостатки: 1. перебор не экономичен во времени, 2. не даёт уверенности в том, что найдены все решения задачи. Но вместе с тем подчёркивается роль теоретических знаний: учащиеся убеждаются в том, что найденное единственно верное решение даёт овладение аналитическим способом, т.е. способом составления и решения уравнений, систем. Анализ предложенных задач, решаемых составлением неопределённых уравнений, показывает, что они возникли из потребностей народного быта: продавать, покупать, делить и т.д. Усвоение учащимися народного метода их решения позволило не только дополнить знания о способах решения уравнений и систем, но и убедиться в том, что математическая культура монгольских народов в средние века была достаточно высокой. Им стал понятен и близок вывод о том, что история математики богата и поучительна, имеет много общего с современной математикой. Подобные задачи полезны, так как способствуют возникновению устойчивой мотивации обучения, усилению прикладной направленности курса алгебры. Они убеждают нас в том, что народное математическое наследие не только может, но и должно стать частью математического образования учащихся бурятской школы.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.