Олимпиада по математике 10 кл

Школьный этап олимпиады для 10 класса

1. (7 баллов) Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

2. (7  баллов)  Участвуя  в  шахматном  турнире,  Вася  сыграл 52  партии.  По старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, ½ очка за ничью и 0 очков за поражение)  он  набрал 35 очков.  Сколько  очков  он  набрал  по  новой  системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение).

3.(7 баллов) По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположенных направлениях, то встречаются каждые десять секунд, когда же они едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 метров?

4.(7 баллов) Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7?

5. (7 баллов) В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь  равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.