Определение показательных уравненийю конспект

Определение показательных уравнений

Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.

Определение. Уравнения вида: af(x)=ag(x), где a>0, a≠1 называются показательными уравнениями.

Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение af(x)=ag(x), где a>0, a≠1 равносильно уравнению f(x)=g(x).

Примеры показательных уравнений

Пример.
Решить уравнения:
а) 33x−3=27.
б) (23)2x+0,2=5√23.
в) 5x2−6x=5−3x+18.
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что 27=33.
Перепишем наше уравнение: 33x−3=33.
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению 3х−3=3, решив это уравнение, получим х=2.
Ответ: х=2.

б) 5√23=(23)15.
Тогда наше уравнение можно переписать: (23)2x+0,2=(23)15=(23)0,2.
2х+0,2=0,2.
х=0.
Ответ: х=0.

в) Исходное уравнение равносильно уравнению: x2−6x=−3x+18.
x2−3x−18=0.
(x−6)(x+3)=0.
x1=6 и x2=−3.
Ответ: x1=6 и x2=−3.

Пример.
Решить уравнение: (0,25)x−0,5√4=16∗(0,0625)x+1.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) (0,25)x−0,5=(14)x−0,5.
2) √4=412.
3) (0,25)x−0,5√4=(14)x−0,5412=14x−0,5+0,5=14x=(14)x.
Перейдем к правой части:
4) 16=42.
5) (0,0625)x+1=116x+1=142x+2.
6) 16∗(0,0625)x+1=4242x+2=42−2x−2=4−2x=142x=(14)2x.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
(14)x=(14)2x.
x=2x.
x=0.
Ответ: х=0.

Пример.
Решить уравнение: 9x+3x+2−36=0.
Решение:
Перепишем наше уравнение: (32)x+9∗3x−36=0.
(3x)2+9∗3x−36=0.
Давайте сделаем замену переменных, пусть a=3x.
В новых переменных уравнение примет вид: a2+9a−36=0.
(a+12)(a−3)=0.
a1=−12 и a2=3.
Выполним обратную замену переменных: 3x=−12 и 3x=3.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: х=1.
Ответ: х=1.


Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:
1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований. af(x)=ag(x) <=> f(x)=g(x).
3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.

Пример.
Решить систему уравнений: {27y∗3x=1,4x+y−2x+y=12..
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
27y∗3x=1.
33y∗3x=30.
33y+x=30.
x+3y=0.
Рассмотрим второе уравнение:
4x+y−2x+y=12.
22(x+y)−2x+y=12.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть y=2x+y.
Тогда уравнение примет вид:
y2−y−12=0.
(y−4)(y+3)=0.
y1=4 и y2=−3.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем x+y=2. Второе уравнение не имеет решений. Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: {x+3y=0,x+y=2..
Вычтем из первого уравнения второе, получим: {2y=−2,x+y=2..
{y=−1,x=3..
Ответ: (3;−1).

Показательные неравенства

Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.

Теорема. Если а>1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)>g(x).
Если 0<a<1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)<g(x). (Знак неравенства меняется на противоположный).

Пример.
Решить неравенства:
а) 32x+3>81.
б) (14)2x−4<116.
в) 0,3x2+6x≤0,34x+15.
Решение.
а) 32x+3>81.
32x+3>34.
Наше неравенство равносильно неравенству:
2x+3>4.
2x>1.
x>0,5.

б) (14)2x−4<116.
(14)2x−4<(14)2.
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.
2x−4>2.
x>3.

в) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
x2+6x≥4x+15.
x2+2x−15≥0.
(x−3)(x+5)≥0.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: (−∞;−5]U[3;+∞).
Пример.
Решить неравенство: 4∗3x−103x+1−1<1.
Решение.
4∗3x−103∗3x−1<1.

Введем новую переменную y=3x.
4y−103y−1<1.

4y−103y−1−1<0.

4y−10−3y+13y−1<0.

y−93y−1<0.
Решение неравенства будет промежуток 13<y<9.
Введем обратную замену: 13<3x<9.
3−1<3x<32.
−1<x<2.
Ответ: −1<x<2.

Задачи для самостоятельного решения

1.Решить уравнения:
а) 45x−2=64.
б) (23)3x−0,2=7√23.
в) 3x2−6x=3−7x+6.
2. Решить уравнение: (0,5)2x−0,3√2=16∗(0,25)3x+1.
3. Решить уравнение: 16x+4x+2−80=0.
4. Решить систему уравнений: {64y∗4x=4,9x+y−3∗3x+y=54..
5. Решить неравенства:
а) 25x−8>64.
б) (13)3x−4<181.
в) 0,3x2−9x≥0,3−7x+35.
6. Решить неравенство: 2∗2x−52x+2−1<1.