Открытый урок на тему " Логарифмическая функция".

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

                                                               высшего образования      

«Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта»

(БФУ им. И.Канта)

институт природопользования, территориального развития и градостроительства

МАТЕМАТИКА

Методическая разработка урока

Логарифмическая функция. Свойства логарифмов.

для специальности 21.02.06 «Информационные системы обеспечения

градостроительной деятельности»

Е.Ю.Винель

Калининград

 2020

Автор: Винель Елена Юльяновна

Винель Елена Юльяновна Логарифмическая функция:

 методическая разработка урока - Калининград. ФГОУ ВО «БФУ им. И. канта» ИПТРиГ, 2020_ - 14 с.

Рассмотрено и согласовано на заседании предметно-цикловой комиссии естественнонаучных дисциплин, протокол № _ от __.__.2020 г.

Рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании методической комиссии СПО ИТПРиГ, протокол № _ от __.__.  2020г.

  

ФГАОУ ВО БФУ  ИПТРиГ

2020 г.

ПЛАН  УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Группа	ИС-11
Дата
Дисциплина	Математика
Тема урока	Логарифмическая функция. Основные логарифмические формулы.
Тип  урока	Урок изучения нового материала
Цели урока:
Учебные:	-  систематизировать полученные самостоятельно и на уроках знания о математике как науке;  - получить знания о практическом применении математики;  - закрепить знания о приемах и методах математических вычислений.
Воспитательные:	-воспитывать самостоятельность, трудолюбие, взаимоуважение, интерес к предмету, чувство уважения к науке, вкуса к успеху, умение интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивость в достижении цели и заинтересованность в конечном результате труда;
Развивающие:	- развивать умения работать самостоятельно и в группе, навыки самоконтроля и взаимоконтроля;  - развивать техническое и логическое мышление;  - отработать навык решения задач с использованием формул;  - развивать способность самостоятельно использовать на практике полученные знания
Формируемые компетенции	- работа со стандартными, знакомыми выражениями и формулами; -уметь формировать целевые и смысловые паттерны для своих действий и поступков; - умение принимать решения на основе анализа имеющейся информации, -творческий подход и новаторство; - готовность обучающегося к самостоятельной оценке своей учебно-познавательной деятельности -навыки целеполагания, планирования учебно-познавательной деятельности,  рефлексии; - коммуникабельность и сотрудничество; - способность  анализировать  необходимую информацию; - умение проводить вычисления; - информационная и медиаграмотность.
Метод (ы) и приемы проведения занятия:	Синтез классно-урочной системы и дистанционного обучения Развивающее обучение,  технология смешанных мини-групп, ИКТ. анализ, синтез и обобщение; метод упражнений; беседа. Метод критического усвоения информации, планирования своей деятельности и эффективного воплощения идей; частично-поисковый метод;
Междисциплинарные связи (МДС):
С дисциплинами, изучаемыми ранее	Физика; русский язык; алгебра и начало анализа.
Опережающие	Астрономия; информатика; геодезия
Оснащенность занятия средствами обучения	Компьютер, мультимедийный проектор , интерактивная дока. Компьютерная презентация . Видеоуроки. Раздаточный  материал ( карточки с заданиями)
Список используемых источников	1. Богомолов, Н. В.  Математика : учебник для среднего профессионального образования Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/423919 2. https://youtu.be/rbmkxi0NGoA 3.https://youtu.be/iGLQTAsWZ3Q 4.ege.sdamgia.ru 5. https://uchebnik-skachatj-besplatno.com/Алгебра/Учебник%20Алгебра%2010-11%20класс%20Алимов%20Колягин/index.html#prettyPhoto

 СТРУКТУРА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ  

Наименование структурных элементов урока	Время,  мин.	Используемые приемы и методы,  средства, поставленные цели	Деятельность преподавателя	Деятельность студентов
1.      Организационный этап : -          проверка явки студентов на урок; - готовность к уроку	5	Цель: контроль явки студентов на урок, настраивание на работу; выслушать ряд правил; подписать бланки для ответов	Проверяет явку и  уровень  готовности студентов к уроку	Готовятся к уроку; -выслушивают ряд правил; - подписывают бланки для ответов
2.  Актуализация опорных знаний и мотивация учебной деятельности студентов:    -          Связь с жизнью, с будущей деятельностью Определение уровня знаний студентов по новой теме	10	Цель: выявить, уточнить знания студентов по теме, показать важность данной темы в общей теории курса, в повседневной жизни. Метод-беседа, фронтальный опрос,  средства- слайды.	Определяет план работы: "Перед нами стоит задача на основе самостоятельного домашнего изучения материала ,научиться использовать основные свойства логарифмов и решать задания. Каждому предстоит оценить свои знания, скорректировать пробелы, выполнить тестовое задание по своим силам. " Мотивирует обучающихся: «Будьте на уроке внимательными, активными. Это поможет вам в успешном усвоении сложной темы.» . Предлагает студентам ответить на вопросы, проанализировать ответы однокурсников.	Слушают, отвечают на вопросы Отвечают на вопросы, анализируют ответы других.
3."Устный счет". Быстрое вычисление.	6	Цель: Актуализация знаний; Выявление знаний, умений и навыков, проверка уровня сформированности общеучебных умений;  Метод стимулирования интереса к учению	Объявляет этап; задает ряд вопросов относящихся к данному этапу; учащимся, которые допустили ошибки, помогает скорректировать ответы; следит за работой студентов;	Слушают преподавателя,   отвечают  на вопросы в соответствии с требованиями.
4 . Решение кроссворда "Основные понятия в теории логарифмов".	14	Цель:   закрепление теоретической части. Задания в виде кроссворда по определениям темы "Логарифмы".; необходимо вставить пропущенные слова; Частично-поисковый метод;  работа в мини- группах.	Объявляет этап; задает вопросы относящихся к данному этапу; учащимся, которые решают кроссворд, помогает скорректировать ответы; руководит работой  студентов.	Работают в группе по 4 человека, сверяют свои ответы с верными ответами, делают выводы, выводят оценки самостоятельно.
5. Исправление ошибок в таблице Логарифмических формул.	5	Приём логические задачи : задание заключается в умении соотнести математическую формулу  с ее словесным определением. Проблемный метод; работа в парах; взаимопроверка.	Объявляет  этап; разъясняет задания этапа; отвечает на вопросы студентов; следит за дисциплиной;	Задают вопросы; выполняют предложенные задания; исправляют ошибки, оценивают себя.
6. Решение задач по теме.	15	Цель: научиться делать преобразование выражений по логарифмическим формулам с использованием дифференцированного подхода к изучению темы и оценки результатов. Метод практического контроля и самоконтроля;	Объявляет этап; задает вопросы относящихся к данному этапу; отвечает на вопросы студентов, разбирает ошибки, оценивает студентов.	Решают задачи в соответствии с уровнем овладения материалом.
7. Итоговый тест.	20	Практический метод : решить задания в виде уравнений/неравенств ; вспомнить и закрепить пройденный материал; Отработка  вычислительных навыков	Объявляет  этап; организовывает выполнение упражнений письменных и устных ; выявляет ошибки,  исправляет их ; задает вопросы относящихся к данному этапу; отвечает на вопросы студентов;	Решают тест по вариантам, индивидуально. Потом меняются работами и оценивают друг друга.
8.Презентация " Применение логарифмов."	10	Цель: демонстрация презентации; Наглядный метод;	Комментирует презентацию; собирает бланки ответов; подсчитывает результаты .	Просматривают слайды презентации, задают вопросы в случае их возникновения; оценивают презентацию; бланки с ответами сдают преподавателю ;
Рефлексия (подведение итогов занятия)                       Информация о домашнем задании.	5	Метод опроса; Цель рефлексии: рост мотивации учения и развитие умения определять степень достижения цели; Цель: Подготовка  к самостоятельному выполнения домашнего задания	Оценивает деятельность обучающихся, устанавливает, как реализованы поставленные задачи. Предлагает продолжить фразу: "Сегодня на уроке я повторил:" "Сегодня на уроке я закрепил:" "Для себя я понял:" Учитель выставляет оценки.  Объясняет домашнее задание (какие вопросы теории повторить к следующему уроку)  . Ссылку на видео урок преподаватель отправит старосте.	Отвечают на предложенные вопросы ; рассказывают  о своих впечатлениях; получают оценки ; получают домашнее задание.		Задавать вопросы в случае их возникновения, рассказать о своих впечатлениях
	90

 ХОД ЗАНЯТИЯ

1 этап - Проверка готовности к уроку.

Учитель: Тема сегодняшнего занятия "Логарифмическая функция". Этот урок начинает серьезный и сложный раздел алгебры. Сегодня мы будем решать различные задания по теме . Сейчас вы получите бланки для ответов и материалы для урока. В конце урока я соберу бланки и каждый из вас получит оценку.

Помощник (студентка): раздает бланки для ответов. Студенты:  подписывают бланки.

                                     2 этап - Определения уровня знаний студентов по теме.

Учитель : В условиях  карантина и дистанционного обучения, которое мы с вами опробовали в этом году, решено было применить инновационную методику обучения " Перевернутый класс". Изучение новой темы вы осуществляете самостоятельно. Тем самым  повышается заинтересованность и ответственность при активном включении в процесс обучения. А бывшее домашнее задание вы имеете возможность сделать на уроке, с помощью учителя, который поможет прояснить все непонятые тонкости решения заданий. Тем самым результат усвоения темы должен быть гораздо лучше.  Домашним заданием было просмотреть и при необходимости законспектировать видео уроки по теме "Логарифмическая функция. Предлагалось два урока на выбор. Молодец тот, кто изучил оба урока. Сейчас я проведу фронтальный опрос по определениям темы : " Логарифмическая функция", которую вы изучали самостоятельно.

Вопросы преподавателя:

1.Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.

2.Основное логарифмическое тождество.

3.Чему равен логарифм единицы?

4.Чему равен логарифм числа по тому же основанию?

5.Чему равна сумма логарифмов по одному и тому же основанию?

6.Чему равна разность логарифмов по одному и тому же основанию?

7.Чему равен логарифм степени?

8.Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию.

9.Какова область определения функции y=log_аx?

10. Какова область значения функции y=log_ax?

11.В каком случае функция является возрастающей y=log_ax?

12. каком случае функция является убывающей y=log_ax?

Задание преподавателя: Построить графики логарифмических функций и записать их свойства.

.

3 этап:" Устный счет"

Учитель : Вам предлагаются задания для устного счета

 

4 этап - Решение кроссворда" Логарифмическая функция"

Учитель:

 Пожалуйста, соберитесь в группы по 4 человека (2 парты) и вместе заполните бланк кроссворда.

Первая группа получит по пять баллов каждый.

По вертикали:

1.Логарифм частного равен ….  Логарифмов делимого и делителя.

2.Вид формулы логарифма.

3.Создатель логарифма

6. … числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b

7.Число а всегда должно быть…

8.Логарифм по основанию е, где е-иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828

9.Основание:число Эйлера(вид логарифма)

10.В корне n-ой степени, где n-натуральное число, называемое …степени или степенью корня.

13.Третий вид формул логарифма.

14.Логарифмом числа b по  …. а называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b

15.Вид основания, которые применяются в теории информации, информатике, во многих разделах дискретной математики.

16.Из определения логарифма следует основное логарифмическое…

17.Логарифм произведение двух положительных чисел равен … логарифмов этих чисел

По горизонтали:

4.Необходим в конце каждого уравнения

5.Одно из основных понятий математического анализа логарифма

7.Сумма логарифмов с одинаковым основание равна … логарифмов

11.Показатель степени, который обычно не пишут

12.Исчезающая разновидность учащихся

15.Логарифм по основанию 10

17.Второй вид формулы логарифма.

Ответы

5 этап - "Исправление ошибок"

Учитель:

Студенты, вам необходимо соотнести Определения и формулы.

Возле каждой формулы напишите номер определения.

 

правильный порядок

1-9

2-6

3-8

4-7

5-5

6-2

7-4

8-3

9-1.

6 этап - Решение задач по теме.

Учитель: Нам необходимо решить задания по теме. У вас на листах записаны примеры. Мы их решаем на доске с учеником, а вы решаете задания до того уровня сложности, какой выберите сами. Ответы проверяем вместе.

ответы:   1.  8  ;  2.  15  ;  3.  0,2  ;  4.  4  ;  5.  25  ;  6.  250  ;  7.  1  ;  8.  1  ;

             9.  0  ;  10.  1  ;  11.  2  ;  12.  12  ;  13.  88  ;  14.  2.

7 этап - итоговый тест.

Учитель : для закрепления материала , самопроверки и логического завершения темы решаем итоговый тест в 4 вариантах. потом оцениваем себя.

Пример теста.

Ответы к тесту:

Просмотр презентации " Логарифмы "

Учитель:  в презентации мы узнаем новые интересные факты о применении логарифмов и их роли в окружающем мире.

  Слайд 1

        Логарифмы

Выполнили

Студентки группы ИС-11

Тимошенко Виктория

И

Бугакова Валерия

Слайд 2

Цель работы.

Изучение темы с разных точек зрения.

Актуальность.

Регламентирующим принципом не только науки, но и жизни современного человека является поиск разумных объяснений, что значительно отличается от понятия выдвижения мнимых предсказаний. Наличие объяснительной теории в том или ином вопросе является критерием демаркации между научным и ненаучным подходом, к которому в свою очередь относятся различного рода мифы и легенды. Для такого подхода в науке имеются своего рода инструменты для выдвижения основательных гипотез. Логарифм – один из подобных приспособлений науки. О нем заходит речь в случаях беспрерывного изменения состояния изучаемого объекта с ходом времени, что в природе и технике является довольно часто встречающимся случаем.

Гипотеза. 

Логарифмы, как математический инструмент, позволяют делать основательные предсказания, основываясь на фундаментальной объяснительной теории, а так же позволяют значительно упрощать вычисления в области научных исследований.

Слайд 3

История возникновения логарифмов.

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу).Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n.В предисловии к книге «Рабдология» Непер писал:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Слайд 4

Основное свойство логарифма Непера.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

Слайд 5

Интересные факты.

Расположение чисел на числовой оси равномерно — это приобретённая способность человека, обусловленная воспитанием и образованием, в то время как врождённо-интуитивным подходом является расположение чисел по логарифмической шкале. Такие выводы сделаны на основании работы с индейцами племени мундуруку, живущими в бассейне Амазонки, большинство из которых не имеют никакого образования. Им показывали некоторое количество точек или проигрывали несколько одинаковых звуков, а затем просили показать это число на оси от 1 до 10 или от 10 до 100. Чем меньше было число, тем больше пространства отводили для него испытуемые, что как раз соответствует логарифмической шкале. Сходные результаты демонстрировали и маленькие дети из США, ещё не умеющие считать, а вот взрослые американцы и образованные мундуруку были склонны располагать числа более равномерно.

Слайд 6

Логарифмическая линейка.

Логарифми́ческая лине́йка, счётная линейка — аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб), вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов,потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. 

Слайд 7

Логарифмы и астрономия.

В ходе исследования были обнародованы следующие факты:
Яркость звезд. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5 (по договоренности между астрономами всего мира в настоящее время принимается, что блеск звезды 1-й величины в 2,5 раза превосходит блеск звезды 2-ой величины).

Слайд 8

Логарифмы и зрение.

Физиолог Альфред Лукьянович Ярбус открыл следующий факт. Наша сетчатка окаймлена полоской, которая генерирует один и тот же цвет – «светло-серый ». Он назвал ее полоской «нуль - цвета». Именно в сравнении с «нуль - цветом» постигается всякий цвет. Сравнение осуществляется на границе поля зрения с периферийной полоской нуль - цвета так, как будто выполняется соответствующее математическое действие над двумя числами. Первое из которых число – сигнал, который характеризует степень возбуждения фоторецепторов сетчатки, второе – сигнал рецепторов периферии. Количественное сравнение таких чисел – сигналов осуществляется с помощью вычитания их логарифмов. Светло – красный, светло – зеленый, и светло – синий цвета считаются основными красками положительной яркости. Каждому их них соответствует положительная разность логарифмов. Если эти три положительных яркости одинаковы - мы видим белый цвет. Тона отрицательной яркости - черно-сине-зеленый, черно-пурпурный, черно-оранжевый. Каждому из них соответствует отрицательная разность логарифмов. Равенство трех отрицательных разностей создает восприятие черного цвета. Все остальные цвета – это комбинации положительных и отрицательных логарифмов. Итак, два математических действия логарифмирование и вычитание вписались в модель физиологического восприятия человеческим глазом цветов радуги.

Слайд 9

Логарифмы в музыке.

Играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах. И действительно так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношении к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2.
Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).
Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть этого логарифма.

Слайд 10

Логарифмическая спираль.

В математике существует понятие логарифмической спирали. Спираль – это плоская кривая линия многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль называется логарифмической, потому что уравнение, описывающее эту спираль, содержит логарифмы. Эта спираль имеет бесконечное множество витков, она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют равноудаленной спиралью, это связано с тем, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.

В полярных координатах прямая может быть записана как :

Либо:

где  —       угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

Слайд 11

Логарифм и биология.

Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделённая внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотрим под микроскопом, увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики, и мы разглядывали бы её с большого расстояния.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т. д. По логарифмической спирали формируется и тело циклона. Можно сказать, что спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

8 этап - Обсуждение презентации.

Учитель: По окончании презентации мы обсудим новую информацию.

Студенты: Высказывают свое мнение о новых фактах.

9 этап-  

Рефлексия. Опрос студентов, подведение итогов- выставление оценок. Разъяснение домашнего задания.

Приложение 1

Индивидуальная

Таблица для оценки работы на уроке: _______________________________________

                 Задание(этап)                                           Оценка            Уровень

                                                                                     студента           задания

Итоговая оценка (выставляется учителем):_____________