Открытый урок на тему: "Решение показательных уравнений"

Тема занятия: «Решение показательных уравнений »

Цель урока: определение показательных уравнений, демонстрация различных методов решения показательных уравнений, умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций. 

Оборудование:интерактивная доска, таблица «Правила решения показательных уравнений», карточки.

I.                    Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к уроку, желает  успеха.

II.  Мотивация к изучению нового.

 Эпиграфом сегодняшнего урока я выбрала слова польского математика С. Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока.

Да, ребята, сегодня мы будем решать уравнения, а как называется уравнение, в котором переменная находится в показателе степени? (ответ учащихся-показательные). Значит какие уравнения мы сегодня с вами будем решать? (ответ учащихся показательные уравнение). Открываем тетради, записываем число и тему урока. Проговариваем цели урока.

Историческая справка

III. Устные упражнения:

    1. Найти значение выражений:

   2. Какие из уравнений являются иррациональными?

IV.  Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Методы решения показательных уравнений:

1. Метод привидения к общему основанию

а)2^х-5 = 16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5 = 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

б)3^х = -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Метод вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2 = 350
7^х + 7^х7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3. Метод введения новой переменной.

16^х – 174^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁ = 1, то 4^х = 1, 4^х = 4⁰, х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4^х = 16, 4^х = 4², х₂ = 2

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 2.

4. Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

у = 4^х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4¹ = 5-1, 4 = 4 (верно)

Ответ: х = 1.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

      К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

 = 0

По теореме Виета получаем:

х₁₌4, х₂=5.

Ответ: х₁ = 4, х₂ = 5.

2. 3^х-1 - 3^х + 3^х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3^х 3^-1 – 3^х + 3^х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3^х(
3^х 
3^х = 
3^х = 27
3^х = 3³
х = 3
Ответ: х = 3.

Пока ребята решают у доски, мы разбираем экзаменационное задание

Мы с вами решали уравнения в ручную, строили графики вручную , иногда это сделать очень проблематично, особенно если работать с большими цифрами, высокими степени, и тогда на помощь человеку приходят компьютеры. Сейчас вы пройдете за компьютеры и мы попробуем решать уравнения и строить графики в программе Excel.

Ребята работают за компьютерами.

Далее ребята проходят за парты и пишут разноуровневую  самостоятельную работу.

Применение показательной функции в жизни. Просмотр видеоролика.

Вот такая она прекрасная, замечательная показательная функция, которая встречается во многочисленных процессах природы и техники и экономики. И помните ребята математика вокруг вас, не зря я вам всегда повторяю: Математика-царица наук.

Подведение итогов урока. Повторить изученное.

         Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений это золотой ключ, открывающий все сезамы».                           С. Коваль

          Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Выставление оценок.

 Рефлексия. Домашнее задание. Решить показательные уравнения.