План конспект по алгебре на тему "Квадратные уравнения"

• 1 слайд

  Квадратные уравнения. Квадратные уравнения на средневековом Востоке.
  Название проекта
  
  

• 2 слайд

  Чапанова Тамара и Нестерова Диана
  Авторы
  

• 3 слайд

  «Квадратные уравнения. Квадратные уравнения на средневековом Востоке»
  Решение Брахмагупта.
  Задача Магавира
  Бхаскара Ачарья
  Задача про обезьян
  Развитие Европейской алгебры.
  Классы квадратных уравнений
  Геометрический способ решения уравнения «квадраты и корни равны числу»
  Геометрический способ решения квадратного уравнения с произвольными коэфициентами.
  

• 4 слайд

  Решение Брахмагупта
  В Индии задачи на квадратные уравнения встречаются с глубокой древности. И именно индийцы впервые исследовали эти уравнения с любыми коэффициентами, как положительными, так и отрицательными.
  Общее правило решения уравнений вида: Квадратное уравнение с одним неизвесным после алгебраических преобразований может быть представлено в виде:
  ax2 + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.).
  Вот как оно выводилось. Умножим обе части уравнения на 4a:
  4a2x2 +4abx=4ac,
  прибавим к каждой части b 2 :
  4a2x2 +4abx+b 2 =4ac+b 2
  Так как левая часть бращается в квадрат, то:
  2ах+b=√4ас+b 2
  Откуда
  
  -b+√4ac+b 2
  x= ———
  2a
  
  
  
   
  
  

• 5 слайд

  Задача Магавира
  Брахмагупта еще не знал, что квадратный корень может иметь два значения – положительное и отрицательное – и что, соответственно, у квадратного уравнения также может быть два корня.
  Однако математик IX в. Магавира уже знал не только о двузначности квадратного корня, но и о двух решениях квадратного уравнения: а ведь ни египтяне, ни вавилоняне, ни греки (даже Диофант) этого не заметили.
  Вот одна из задач Магавиры, в которой проявляется эта двузначность: «Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат одной девятой остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала».
  
  
  

• 6 слайд

  Задача Магавира
  Решение:
  x = (x/16)2 + ((1/9) ∙ (15x/16))2 + 14
  (17 / (9 ∙ 128)) x2 – x + 14 = 0,
  
  7·17 64
  х1,2= (1±√1-―)·9—.
  9·16 17
  
  x1 = 48, x2 = 7 ∙ 48/17.
  Ответом в задаче служит только x1, т. к. число павлинов не может быть дробным.
  
  

• 7 слайд

  Бхаскара Ачарья
  Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения, при которых оно имеет два положительных корня. Знаете ли вы, когда это бывает?
  Решение:
  ax2 + bx+с = 0
  ax2 + bx = c,где а>0.
  

• 8 слайд

  Задача про обезьян
  Вот одна из задач, составленных Бхаскарой.
  
  «На две партии разбившись,
  Забавлялись обезьяны,
  Часть восьмая их в квадрате
  В роще весело резвилась.
  Криком радостным двенадцать
  Воздух свежий оглашали.
  Вместе сколько, ты мне скажешь,
  Обезьян там было в роще»
  Решение:
  x = (x/8)2 + 12.
  (1/64) x 2-х+12=0.
  Х1,2=(1±√1-3/4)·32
  Х1=48,х2=16.
  
  

• 9 слайд

  
  На европейскую алгебру непосредственное влияние оказала арабская математика и, прежде всего, основополагающий трактат ал-Хорезми «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы». «Ал-джабр» и «ал-мукабала» – две операции, которые используются при решении уравнений: ал-джабр (дословно «восполнение») – это перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; ал-мукабала («противопоставление») – это сокращение равных членов в обеих частях (обе операции встречаются уже у Диофанта). Слово «алгебра» произошло от термина «ал-джабр», также как слово «алгоритм» – от имени ал-Хорезми.
  Арабы, в отличие от индийцев, не рассматривали отрицательных чисел. С помощью ал-джабра и ал-мукабалыал-Хорезми приводил уравнения к одной из шести форм, в которых обе части содержат лишь положительные члены, и рассматривал каждую из этих форм отдельно. При этом все квадратные уравнения разбиваются на шесть классов, каждый из которых соответствует одной из этих форм (везде a, b, c > 0):
  
  

• 10 слайд

  Классы квадратных уравнений
  1.ax2=bx (в терминологии ал-Хорезми «квадраты равны корням»);
  2.ax2= с («квадраты равны числу»);
  3.bx=с («корни равны числу»);
  4.ax2+ bx=с («квадраты и корни равны числу»);
  5.ax2+с= bx («квадраты и числа равны корням»);
  6.bx+с= ax2 («корни и числа равны квадратам»).
  
  

• 11 слайд

  
  Алгебраических обозначений не было, все записывалось словами; например, четвертую форму ал-Хорезми обозначал так: «квадраты и корни равны числу». Правила решения уравнения в каждой из форм формулировались для случая, когда коэффициент при старшем члене равен 1; соответственно, в противном случае надо было поделить обе части уравнения на a. Среди корней рассматривались только положительные. Ал-Хорезми установил, сколько корней имеет уравнение каждого из шести классов, и при каких условиях.
  Решение:
  x2+рх+g= 0.
  Поскольку у ал-Хорезми не было алгебраических обозначений, он формулировал правила нахождения корней для каждого из его классов на примере конкретных уравнений; тем не менее, правила носили общий характер. Обоснование проводилось с помощью преобразований геометрических фигур, что напоминало античную геометрическую алгебру. Например, вот как обосновывается решение уравнения четвертого класса:
  
  
  
  

• 12 слайд

  
  x2+10х= 39.
  Рисуется квадрат со стороной x, на каждой из четырех его сторон строится прямоугольник со сторонами x и 10/4, а в углах – четыре квадрата со сторонами 10/4. Тогда площадь центрального квадрата будет равняться x2, площадь четырех прямоугольников 4 ∙ (10x/4) = 10x, площадь четырех угловых квадратов 4 ∙ (10/4)2 = 100/4 = 25. Если площадь центрального квадрата вместе с четырьмя прямоугольниками равна 39, то площадь всего большого квадрата равна 39 + 25 = 64, а значит, его сторона равна 8. Зная это, можно найти:
  Х=8-2·(10/4)=8-5=3.
  

• 13 слайд

  Геометрический способ решения уравнения «квадраты и корни равны числу»
  Ясно, что данный ход решения не зависит от конкретных чисел. Пусть уравнение имеет вид:
  x2+рх=q.
  Тогда каждый из четырех прямоугольников, имеющих вместе площадь px, должен иметь стороны x и p/4 каждый угловой квадрат будет иметь сторону p/4 площадь (p/4)2, а все четыре вместе – площадь p2/4. Если площадь центрального квадрата и четырех прямоугольников равна q, то площадь всего большого квадрата равна (q+p2/4), его сторона а сторона центрального квадрата что соответствует формуле единственного положительного корня квадратного уравнения x2+px=q.
  
  
  
  

• 14 слайд

  Геометрическое решение квадратного уравнения с произвольными коэффициентами
  В дальнейшем арабские математики для обоснования правил решения квадратных уравнений использовали и другие геометрические методы, в т. ч. восходящие к античному приложению площадей (которое, впрочем, представляло аналог уравнениям 4-го и 5-го, но не 6-го класса). Так, например, поступал Омар Хайям, с этой целью приводивший решение задачи о приложении с недостатком в простейшей форме, когда недостаток является квадратом: построить на данном отрезке два прямоугольника равной высоты, один из которых квадрат, а другой равновелик данному квадрату, т. е. при данных отрезках a и b найти построением отрезок x такой, что ax – x2= b2. Ход решения, в общем, совпадает с евклидовым; Хайям в явном виде указывает, как строить квадрат, равный разности площадей квадратов со сторонами a/2 и b: а именно, для этого надо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой a/2 и вторым катетом b. Квадрат, построенный на другом катете, и есть искомый.
  
  

• 15 слайд

  Спасибо за внимание! Удачи во всем!
  Конец