1. Мы недавно проходили
тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f(х)=х9,мы
знаем чтоf′(х)=9х8.Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции,
производная которой известна.
Допустим дана производнаяf′(х)=6х5. Используя знания о производной мы можем определить
что это производная функции f(х)=х6. Функцию которую можно определить по
ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (
слайд 3))
Определение 1: Функция F(x)называется
первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], есливо всех точках этого отрезка
выполняется равенство = f(x)
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х5-5х
является первообразной для
функцииf(х)=5х4-5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем
производную функции
=( х5-5х)′=( х5)′-(5х)′=5х4-5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=неявляется первообразной для функцииf(х)=.
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием.
Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием.
(Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной
функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех
первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C,
где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G –
первообразная для g, то F+G –
есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k –
постоянная, то функция kF – первообразная для
kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b–
постоянные (), то функция
- первообразная для f(kx+b).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения
квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики
Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам
на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней
Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания,
предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и
основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие
вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением
интегралов.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.