Подборка дидактических материалов по теме "Площади фигур"

Содержание материала

(подготовила учитель МОУ «СОШ № 13 им. Ю.А. Гагарина»  Закирова Н.П       .г. Магнитогорск)

1.    Основные формулы

2.    Задачи с ответами

3.    Задачи без ответов

4.    Дидактические материалы (с ответами)

1)    Диктанты

2)    Самостоятельные работы

3)    Контрольная работа

4)    Тесты

Задачи с ответами

1.    Найдите площадь описанного около окружности радиуса 4,5 четырёхугольника ABCD, если AB=5 и CD=15

Ответ: 90

2.    Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ : 126

3.    Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Сторону клетки считать равной 1 см.

     Ответ: 10

4.    Найдите периметр трапеции ABCD по данным рисунка

Ответ: 66

5.    Диагонали ромба равны 10 и 14. Найдите площадь ромба

Ответ:70

6.    По данным рисунка найдите площадь трапеции

Ответ: 20

7.    Найдите площадь треугольника со сторонами 4, 5 и 41−−√.

Ответ: 10

8.    Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 15, а периметр равен 70.

Ответ: 300

9.    Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 11, а периметр равен 28. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 39

10. Площади двух квадратов равны 12 и 27. Найдите площадь квадрата, длина стороны которого равна сумме длин сторон этих квадратов.

Ответ: 75

11. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 3 больше одного из катетов, а второй катет равен 6. Найдите гипотенузу

Ответ: 7,5

12. Найдите площадь равнобедренного треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ: Воспользуемся формулой площади треугольника S=12absinα, где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними. 
В нашем случае, поскольку треугольник равнобедренный, две его стороны равны 7, а угол между ними 30∘, sin30∘=12. 
По формуле S=12⋅7⋅7⋅sin30∘=492⋅12=494=12,25.

13. Диагонали ромба равны 24 и 7,5. Найдите его площадь

Ответ:

Решение 1. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, то ромб состоит из четырех одинаковых прямоугольных треугольников с катетами 24:2=12 и 7,5:2=3,75. Площадь каждого такого треугольника равна полу-произведению катетов, т.е. 12⋅12⋅3,75=22,5. Поэтому площадь всего ромба равна 22,5⋅4=90. 

Решение 2. Вспомним формулу для вычисления площади четырехугольника через его диагонали d1 и d2 и угол α между ними: S=12d1d2sinα. Угол между диагоналями ромба равен 90∘, поэтому его площадь равна S=12⋅24⋅7,5⋅sin90∘=12⋅7,5⋅1=90.

14. Диагональ AC ромба ABCD равна (см. рис) а угол при вершине C равен 30∘. Найдите площадь треугольника ACD

Ответ:

Для вычисления площади воспользуемся формулой SACD=12⋅sin∠ADC⋅DA⋅CD.

Сумма соседних углов параллелограмма (а ромб - это параллелограмм) в сумме составляют 180∘, следовательно, ∠D=180∘−∠C=180∘−30∘=150∘. 

Стороны ромба равны, поэтому треугольник ACD – равнобедренный. Обозначим за x длину боковой стороны △ABD: CD=DA=x. 

Запишем для этого треугольника теорему косинусов. 
AC2=CD2+AD2−2⋅CD⋅ADcos150∘;

Решим это уравнение. 

x=−1 или x=1. 

Поскольку за x обозначена длина стороны треугольника, то x>0⇒x=1.

SACD=12⋅sin150∘⋅1⋅1=0,5⋅0,5=0,25.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 17. Тангенс одного из углов равен −38. Найдите площадь трапеции.

      Ответ: 22,5

16. В ромбе сторона равна 10, один из углов равен. Найдите площадь ромба.

Ответ: 50

17. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

Ответ: 50

18. Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.

Ответ: 25√3

19. В прямоугольнике диагональ равна 4, а угол между ней и одной из сторон равен , длина этой стороны равна 2. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 4√3

Задания без ответов

1.    В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

2.    В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

3.    В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

4.    В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

5.    В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

6.    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

7.    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

8.    Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.

9.    Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь.

10.  Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.

11.  В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

12.  Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

13.  Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а основание — 6. Найдите площадь треугольника.

14.  В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

15.  В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

16.  В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

17.  В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

18.  В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

19.  В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 12, а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

20.  В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 16, а синус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

21.  В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а косинус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

22.  В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а тангенс угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

23.  Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

24.  Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата.

25.  В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12. Найдите площадь прямоугольника.

26.  В прямоугольнике одна сторона равна 10, периметр равен 44. Найдите площадь прямоугольника.

27.  В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.

28.  В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен . Найдите площадь прямоугольника.

29.  Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

30.  Периметр ромба периметр равен 40, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

31.  Периметр ромба периметр равен 40, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

32.  Периметр ромба равен 24, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

33.  Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

34.  Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

35.  Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

36.  Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.

37.  Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.

38.  Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

39.   Основания трапеции равны 18 и 10, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

40.  Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

41.  Радиус круга равен 1. Найдите его площадь.

42.  Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен .

43.  Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен .

44.  В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

45.  В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

46.  В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

47.  В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

48.  В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

49.  Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна . Найдите площадь круга.

50.  Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , угол сектора равен , а радиус круга равен 9.

(материал взят из «Дидактические материалы по геометрии для 9 класса» по учебнику: Смирнова И.М., Смирнов В.А.)

Математические диктанты

1. Измерение площадей. Площадь прямоугольника

В а р и а н т 1

1. Измерение длины отрезка основано на сравнении… .

2. За единицу измерения площадей принимается … .

3. Квадратным дециметром называется … .

4. Площадью фигуры называется … .

5. Площадь квадрата равна … .

6. Периметр квадрата, имеющего площадь 36 см², равен … .

В а р и а н т  2

1. Измерение площади фигуры основано на сравнении … .

2. Единичным квадратом называется … .

3. Квадратным километром называется … .

4. Две фигуры называются равновеликими, если … .

5. Площадь прямоугольника равна … .

6. Площадь квадрата, имеющего периметр 36 см, равна … .

2. Площадь параллелограмма

В а р и а н т  1

1. Параллелограммом называется … .

2. Площадь ромба равна произведению его стороны на … .

3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на … .

4. Если ромб и квадрат имеют соответственно равные стороны, то меньшая площадь будет у … .

5. Диагональ единичного квадрата равна …

6. Площадь ромба со стороной 4 см и углом 60° равна … .

В а р и а н т  2

1. Ромбом называется … .

2. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на … .

3. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на … .

4. Если прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны, то большая площадь будет у … .

5. Диагональ квадрата равна  см, площадь квадрата составит … .

6. Площадь ромба со стороной 5 см и углом 150° равна … .

3. Площадь треугольника

В а р и а н т  1

1. Треугольником называется … .

2. Катетами прямоугольного треугольника называются … .

3. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на … .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна … .

5. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2 дм равна … .

6. Средняя линия треугольника, площадь которого равна Q, отсекает от него треугольник площади … .

В а р и а н т  2

1. Высотой треугольника называется … .

2. Прямоугольным треугольником называется … .

3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на … .

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 11 см равна … .

5. Высота равностороннего треугольника со стороной 6 дм равна … .

6. Площадь треугольника, образованного средними линиями другого треугольника площади Q, равна … .

4. Площадь трапеции

В а р и а н т  1

1. Площадь ромба с диагоналями 6 см и 7 см равна … .

2. Равнобедренной трапецией называется … .

3. Основаниями трапеции называются … .

4. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на … .

5. Высотой прямоугольной трапеции является … .

6. Прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая ее основания, делит эту трапецию на … .

В а р и а н т  2

1. В треугольнике площади S проведена медиана, она разделила его на треугольники, площади … .

2. Трапецией называется … .

3. Высотой трапеции называется … .

4. Площадь трапеции равна произведению средней линии на … .

5. Прямоугольной трапецией называется … .

6. Площадь равнобедренной трапеции с основаниями 4 см, 8 см и углом 45° равна … .

 5. Площадь многоугольника

В а р и а н т  1

1. Все диагонали, проведенные из одной вершины n-угольника, разбивают его на … .

2. Многоугольник называется описанным около окружности, если … .

3. Площадь произвольного многоугольника можно находить … .

4. Площадь правильного n-угольника выражается формулой … .

5. Площадь ромба с диагоналями 15 см и 3 см равна … .

6. Периметр многоугольника площади 6 см², описанного около окружности радиуса 5 см, равен … .

В а р и а н т  2

1. Внутренняя точка n-угольника соединена отрезками со всеми его вершинами, при этом получилось … треугольников.

2. Окружность называется вписанной в многоугольник, если … .

3. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна … .

4. Площадь четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна … .

5. Площадь правильного шестиугольника со стороной a, равна … .

6. Многоугольник с периметром 7 см, описанный около окружности радиуса 3 см, имеет площадь … .

 6 . Площадь круга и его частей

В а р и а н т  1

1. Площадью круга считают число, к которому … .

2. Длина окружности радиуса R равна … .

3. Площадь круга диаметра D равна … .

4. Круговым сектором называется … .

5. Площадь сегмента, соответствующего сектору с центральным углом  круга радиуса R, равна … .

6. Площадь сектора с ограничивающей его дугой длины l круга радиуса R, равна … .

В а р и а н т  2

1. Длиной окружности считают число, к которому … .

2. Длина окружности диаметра D равна … .

3. Площадь круга радиуса R равна … .

4. Круговым сегментом называется … .

5. Площадь сектора с центральным углом  круга радиуса R равна … .

6. Длина дуги окружности радиуса R вычисляется по формуле … .

 7. Площади подобных фигур

В а р и а н т  1

1. Два треугольника называются подобными, если … .

2. Подобием называется преобразование плоскости, при котором … .

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то … .

4. Если три стороны одного треугольника … то такие треугольники подобны.

5. Отношение площадей подобных фигур равно … .

6. Площади подобных многоугольников относятся как 5 : 9, их периметры относятся как … .

В а р и а н т  2

1. Два многоугольника называются подобными, если … .

2. Коэффициентом подобия называется … .

3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен углу другого прямоугольного треугольника, то … .

4. Если две стороны одного треугольника … двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то … .

5. Площади подобных многоугольников относятся как … .

6. Периметры подобных многоугольников относятся как 4 : 3, их площади относятся как … .

 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

 1. Измерение площадей. Площадь прямоугольника

В а р и а н т  1

1°. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 1,1 дм и 19 см.

2°. Прямоугольник имеет площадь 256 см². Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

3. Найдите стороны прямоугольника площади 144 дм², ели они относятся как 9 : 4.

4. В прямоугольном треугольнике MON  (ÐO = 90°) проведена высота OH. Докажите, что прямоугольник со сторонами MN и MH равновелик квадрату со стороной MO.

5*. Отрезок AB делится точками C и D соответственно на равные и неравные части. Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами равными DA и DB равна разности площадей квадратов со сторонами, равными соответственно CB и CD.

6*. В четырехугольнике CDEF противоположные углы C и E – прямые, стороны ED и EF равны и высота EH = h, где HCF. Найти площадь данного четырехугольника.

В а р и а н т  2

1°. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 1,7 дм и 5 см.

2°. Квадрат и прямоугольник со сторонами 16 см и 25 см равновелики. Найдите сторону квадрата.

3. Площадь прямоугольника равна 225 м², соседние стороны относятся как 1 : 9. Найдите его периметр.

4. В прямоугольном треугольнике DEF  (ÐD = 90°) проведена высота DP. Докажите, что квадрат со стороной DP равновелик прямоугольнику со сторонами EP и FP.

5*. Каким образом следует разделить отрезок MN точкой H, чтобы прямоугольник со сторонами равными HM и HN имел наибольшую площадь?

6*. Постройте квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади данного квадрата.

 2. Площадь параллелограмма

В а р и а н т  1

1°. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 11 см и 12 см, а один из углов равен 30°.

2°. Стороны параллелограмма равны 16 см и 8 см. Высота, опущенная на первую сторону, равна 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма.

3. Периметр параллелограмма равен 72 дм, высоты равны 3 дм и 9 дм. Найдите площадь параллелограмма.

4. Найдите формулу для вычисления площади параллелограмма по его периметру, равному P, и расстояниям d₁, d₂ от точки пересечения диагоналей до сторон.

5*. На рисунке 1 изображен параллелограмм ABCD, точка M – произвольная точка диагонали AC, OP || AB, KL || BC. Определите вид четырехугольников MLDO и MKBP и докажите, что они равновелики.

6*. В прямоугольник, стороны которого относятся как 3 : 4 вписан четырехугольник, сторонами которого являются середины сторон прямоугольника. Найдите площадь этого четырехугольника, если одна из его сторон равна 15 см.

В а р и а н т  2

1°. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 см и 8 см, а один из углов равен 45°.

2°. Площадь параллелограмма равна 28 см², стороны – 7 см и 8 см. Найдите его углы.

3. Площадь параллелограмма равна 72 дм². Расстояния от точки пересечения его диагоналей до сторон равны 3 дм и 9 дм. Найдите периметр параллелограмма.

4. Найдите формулу для вычисления площади параллелограмма по его периметру, равному 2p, и двум его высотам h₁, h₂.

5*. В параллелограмме CDEF (рис. 2) точка O – произвольная точка диагонали DF, через нее проведены отрезки KL, параллельный CF, и MN, параллельный EF. Определите вид четырехугольников OLEM и OKCN и докажите, что они равновелики.

6*. Через вершины четырехугольника проведены прямые, параллельные его соответствующим диагоналям. Найдите площадь четырехугольника, который образуется этими прямыми, если площадь данного четырехугольника равна 2Q.

 3. Площадь треугольника

В а р и а н т  1

1°. Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 дм и 12 см.

2°. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны a и b и угол между ними равен 60°.

3. Может ли площадь треугольника со сторонами 7 см и 8 см быть равной: а) 56 см²; б) 28 см²; в) 14 см²? Ответ поясните.

4. Найдите геометрическое место вершин C равновеликих треугольников, имеющих общую сторону AB.

5*. Разделите данный прямоугольник на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной его вершины.

6*. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 6 см, 15 см и 18 см.

В а р и а н т  2

1°. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 2 см.

2°. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны m и n и угол между ними равен 30°.

3. Может ли площадь треугольника со сторонами 4 дм и 12 дм быть равной: а) 12 дм²; б) 24 дм²; в) 48 дм²? Ответ поясните.

4. Постройте треугольник, площадь которого равна сумме площадей двух треугольников, имеющих одинаковую высоту.

5*. Разделите данный параллелограмм на пять равновеликих частей прямыми, выходящими из одной его вершины.

6*. Медианы треугольника равны 12 см, 9 см и 6 см. Найдите его площадь.

 4. Площадь трапеции

В а р и а н т  1

1°. Высота трапеции равна 1 дм, площадь – 85 см². Найдите ее среднюю линию.

2°. В трапеции KLMN с основаниями LM и NK диагонали пересекаются в точке P. Найдите пары равновеликих треугольников.

3. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 12 см и 8 см и углом 135°.

4. Докажите, что если в трапеции середину одной боковой стороны соединить с концами другой боковой стороны, то площадь полученного треугольника будет равна половине площади трапеции.

5*. В трапеции OPHQ основания PH и OQ равны соответственно p и q (p < q). Высота трапеции равна h, OR = r, где точка r принадлежит OQ. Найдите на PH точку S, чтобы отрезок RS разделил трапецию на две части, площади которых относятся как m : n.

6*. Трапеция разделена диагоналями на четыре треугольника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям равны S₁ и S₂. Найдите площади двух других треугольников.

В а р и а н т  2

1°. Основания трапеции 1,3 дм и 1,1 дм, площадь равна 48 см². Найдите ее высоту.

2°. В трапеции EFGH (EF || GH) диагонали пересекаются в точке M. Найдите пары равновеликих треугольников.

3. Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 5 см и 8 см, большая боковая сторона которой составляет с основанием угол 135°.

4. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из ее боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны.

5*. Трапеция KLMN (KL || MN) разделена отрезком EF, параллельным KN, где точки E, F принадлежат сторонам трапеции соответственно KL и MN, на две части EFNK и EFML, отношение площадей которых равно m : n. Найдите отрезок KE, если KL = a, MN = b.

6*. Трапеция разделена диагоналями на четыре треугольника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям равны Q₁ и Q₂. Найдите площади двух других треугольников.

 5. Площадь многоугольника

В а р и а н т  1

1°. Найдите площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса R.

2°. Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной a.

3. Около окружности, диаметр которой равен 16 см, описан многоугольник, площадь которого равна 192 см². Найдите периметр многоугольника.

4. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали равны 17 см и 9 см, а угол между ними равен 60°.

5*. Равносторонний треугольник со стороной 1 повернут вокруг своего центра на угол 60°. Найдите площадь пересечения исходного треугольника и повернутого.

6*. Постройте четырехугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

В а р и а н т  2

1°. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса r.

2°. Найдите площадь правильного треугольника со стороной b.

3. Окружность радиуса 15 см вписана в правильный многоугольник со стороной 3 см. Найдите число сторон данного многоугольника, если его площадь равна 450 см­_­­­­².

4. Диагонали четырехугольника равны 9 см и 81 см. Угол между ними равен 135°. Найдите площадь данного четырехугольника.

5*. Квадрат со стороной 1 повернут вокруг его центра на угол 45°. Найдите площадь пересечения исходного квадрата и повернутого.

6*. Постройте пятиугольник, равновеликий данному шестиугольнику ABCDEF.

 6. Площадь круга и его частей

В а р и а н т  1

1°. Площадь круга равна 289p см². Найдите его диаметр и длину окружности.

2°. Найдите площадь кольца, если радиусы его окружностей равны 19 мм и 28 мм.

3. Даны две концентрические окружности, хорда большей из них, касающаяся меньшей окружности, равна 20 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.

4. Найдите площадь сегмента круга радиуса R, если его угол равен 120°.

5*. Постройте полукруг, равновеликий данному кругу.

6*. На рисунке 3 отрезки AB, BC, CD и DE равны. На отрезках AB, AC, AD, AE и DE, CE, BE, AE, как на диаметрах построены полуокружности. Докажите, что четыре образовавшиеся непересекающихся криволинейные фигуры равновелики.

В а р и а н т  2

1°. Длина окружности равна 38p см. Найдите ее диаметр и площадь соответствующего круга.

2°. Найдите площадь кольца, если длины его окружностей равны 24мм и 18мм.

3. Даны две концентрические окружности. Найдите хорду большей окружности, которая касается меньшей окружности, если площадь соответствующего круга равна 400p дм².

4. Найдите площадь сегмента, если его хорда равна a и дуга окружности содержит 90°.

5*. Постройте круг, равновеликий данному полукругу.

6*. На рисунке 4 отрезки AB и CD равны, точка O – середина отрезка AD. На отрезках AB, CD, AD, BC, как на диаметрах проведены полуокружности. Докажите, что фигура, ограниченная этими полуокружностями, равновелика кругу с диаметром PH, где PH – перпендикуляр к AD, проходящий через точку O.

 7. Площади подобных фигур

В а р и а н т  1

1°. Площадь треугольника равна 36 см². Найдите площадь треугольника, образованного его средними линиями.

2°. Периметры подобных многоугольников равны 120 см и 720 см. Найдите отношение их площадей.

3. Сумма площадей трех подобных треугольников равна 413 дм², их периметры относятся как 1 : 3 : 7. Найдите площадь каждого многоугольника.

4. В окружности с центром O проведены диаметр EF, хорды EG, FG, причем последняя стягивает дугу 60°. Касательная к окружности, проведенная через точку G, пересекает прямую EF в точке M. Найдите отношение площадей треугольников MGF и MGE.

5*. Постройте треугольник, площадь которого в два раза меньше площади данного треугольника.

6*. Каждая сторона квадрата повернута на 30° вокруг одной из своих вершин, как показано на рисунке 5. Найдите отношение сторон и площадей данного квадрата и квадрата, образованного его повернутыми сторонами.

В а р и а н т  2

1°. Площадь треугольника равна 64 см². Найдите площадь треугольника, отсеченного от него средней линией.

2°. Площади подобных многоугольников равны 810 см² и 90 см². Найдите отношение их периметров.

3. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3 : 4, высота делит его на два треугольника, разность площадей которых равна 56 дм². Найдите площадь данного треугольника.

4. В окружности проведены две непересекающиеся хорды KL и MN, которые стягивают дуги соответственно 90° и 120°. Прямые MK и MN пересекаются в точке P. Найдите площади треугольников PKL и PMN, если их сумма равна 200 см².

5*. Постройте треугольник, площадь которого в два раза больше площади данного треугольника.

6*. На рисунке 6 ABCD – квадрат. Точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁, D₂ делят его соответствующие стороны на три равные части. Найдите отношение площадей данного квадрата и четырехугольника EFGH.

ОТВЕТЫ

1      В а р и а н т  1. 1. 209 см² . 2. 16 см. 3. 18 дм, 8 дм. 6*. h².

В а р и а н т  2. 1. 85 см². 2. 20 см. 3. 100 м. 6*. Сторона искомого квадрата равна диагонали данного квадрата.

2  В а р и а н т  1. 1. 66 см². 2. 12 см. 3. 81 дм². 4. . 5*. Параллелограммы. 6*. 216 см².

В а р и а н т  2. 1.  см². 2. 30°, 30°, 150°, 150°. 3. 32 дм. 4. . 6*. 4Q.

3       В а р и а н т  1. 1. 3 дм². 2. . 3. а) Нет; б), в) да. 4. Две прямые, параллельные прямой AB, отстоящие от нее на расстояние h. 5*. Решение представлено на рисунке 31. 6*.  см².

В а р и а н т  2. 1.  см. 2. . 3. а), б) Да; в) нет. 5*. Решение представлено на рисунке 32. 6*.  см².

4     В а р и а н т  1. 1. 8,5 см. 3. 20 см². 5*. . 6*. .

В а р и а н т  2. 1. 4 см. 3. 19,5 см². 5*. . 6*. .

5      В а р и а н т  1. 1. 2R². 2. . 3. 48 см. 4. 38,25см². 5*. . 6*. Решение представлено на рисунке 33.

В а р и а н т  2. 1. 4r². 2. . 3. 20. 4. 182,25. 5*. . 6*. Решение представлено на рисунке 34.

6    В а р и а н т  1. 1. 34 см; 34см. 2. 423p мм². 3. 100см². 4. .

В а р и а н т  2. 1. 38 см; 361см². 2. 63p мм². 3. 40 дм. 4. .

7     В а р и а н т  1. 1. 9 см². 2. 1 : 36. 3. 7 дм², 63 дм², 343 дм². 4. . 5*. Решение представлено на рисунке 35. 6*. , .

В а р и а н т  2. 1. 16 см². 2. 3 : 1. 3. 200 дм². 4. 80 см² и 120 см². 5*. Решение представлено на рисунке 35. 6*. .

 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 Контрольная работа № 1

В а р и а н т  1

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте, опущенной на основание, которые равны соответственно 5 см и 2 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, две высоты которого равны 3 см и 2 см, и угол равен 60°.

3. Площадь ромба равна 367,5 дм². Найдите диагонали ромба, если они относятся как 3 : 5.

4. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 19 см и 5 см, а боковые стороны 15 см и 13 см.

5*. Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что площади треугольников AMB, BMC и AMC равны. Докажите, что M – точка пересечения медиан данного треугольника.

В а р и а н т  2

1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 9 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр и высоты равны соответственно 42 см, 8 см и 6 см.

3. Площадь ромба равна 45 дм². Высота меньше стороны на 4 см. Найдите диагонали ромба.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой боковая сторона равна 15 см, диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 20 см.

5*. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой внутри правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная, равная высоте данного треугольника.

ОТВЕТЫ

№ 1   В а р и а н т  1. 1.  см². 2.  см². 3. 21 дм, 35 дм. 4. 144 см².

В а р и а н т 2. 1. 20,25 см². 2. 72см². 3. , .  4. 192 см².

. Т Е С Т Ы

 Тест № 1 «Площадь четырехугольников»

1. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 6 см, а один из углов равен 30°.

1) 3 см².

2) 12 см².

3) 24 см².

4) 48 см².

2. Площадь параллелограмма равна 24 см². Найдите расстояние между его сторонами, равными 8 см.

      1) 3 см.

      2) 4 см.

      3) 8 см.

      4) 12 см.

3. В параллелограмме, площадь которого равна 72 дм², стороны равны 6 дм и 10 дм. Найдите его высоты.

      1) 1,2 дм, 1,5 дм.

      2) 1,5 дм, 18 дм.

      3) 72 см, 120 см.

      4) 720 дм, 12 дм.

4. Площадь параллелограмма равна 36 см². Расстояния от точки пересечения диагоналей до его сторон равны 2 см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма.

      1) 7,2 см.

      2) 15 см.

      3) 30 см.

      4) 60 см.

5. Найдите площадь параллелограмма по двум его высотам h₁ и h₂ и периметру 2p.

      1) h₁h₂ p.

      2) (h₁+h₂) p.

      3) 2ph₁h₂.

      4)  .

6. Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить в 12 раз?

      1) Увеличится в 12 раз.

      2) Уменьшится в 6 раз.

      3) Увеличится в 6 раз.

      4) Увеличится в 144 раза.

7. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 2:5, а его площадь равна 400 см².

      1) 10 см, 40 см.

      2) 4см, 10см.

      3) 16 см, 25 см.

      4) 8см, 20см.

8. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какой из них имеет большую площадь?

      1) Квадрат.

      2) Ромб.

      3) Площади равны.

      4) Нельзя определить.

9. Площадь прямоугольника равна 400 см². Одну из его сторон увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 4 раза. Найдите площадь получившегося прямоугольника.

      1) 50 см².

      2) 80 см².

3) 100 см².

4) 200 см².

10. Найдите площадь участка, имеющего форму прямоугольника, в гектарах, если его стороны равны 100 м и 300 м.

      1) 0,03 га.

      2) 3 га.

      3) 30 га.

      4) 300 га.

11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

      1) 12 см².

      2) 24 см².

      3) 28 см².

      4) 48 см².

12. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна d.

      1) d².

      2) 2 d.

      3) .

      4) .

13. В прямоугольнике, стороны которого равны 1 см и 3 см, проведены до взаимного пересечения биссектрисы двух углов при большой стороне. Найдите площадь получившегося четырехугольника.

      1) 1,5 см².

      2) 2 см².

      3) 3 см².

      4) 4 см².

14. Площадь ромба равна 2 м²,  тупой угол равен 150°. Найдите периметр ромба.

      1) 1 м.

      2) 2 м.

      3) 8 м.

4) 16 м.

15. Площадь ромба равна 18 дм². Найдите его диагонали, если они относятся как 1:4.

      1) 9 дм и 36 дм.

      2) 3 см и 12 см.

      3) 6 см и 24 см.

      4) 12 дм и 3 дм.

16. Высота трапеции равна 12 см, площадь – 120 см². Найдите ее среднюю линию.

      1) 5 см.

      2) 10 см.

      3) 12 см.

      4) 20 см.

17. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 15 см и 17 см, и боковая сторона составляет с одним из оснований угол 45°.

      1) 8 см².

      2) 16 см².

      3) 32 см².

      4) 127,5 см².

18. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшие стороны равны по 12 см каждая, а наибольший угол равен 135.

      1) 216 см².

2) 144 см².

3) 72 см².

4) 48 см².

19. Основания равнобедренной трапеции равны 9 см и 5 см, боковые стороны равны средней линии. Найдите ее площадь.

      1) 22,5 см².

2) 42см².

3) 3см².

4) 21см².

20. Площадь трапеции равна 60 см², а ее высота равна 2 см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 5:7.

      1) 25 см и 35 см.

      2) 30 см и 42 см.

      3) 10 см и 14 см.

      4) 5 см и 25 см.

Тест № 2 «Площадь треугольника»

1. Два треугольника имеют по равной стороне. Как относятся их площади?

      1) Как высоты.

      2) Как периметры.

         3) Как высоты, проведенные к данным сторонам.

      4) Нельзя определить.

2. Две стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Высота, проведенная к первой стороне равна 12 см. Найдите высоту, проведенную ко второй стороне.

      1) 4 см.

      2) 8 см.

      3) 16 см.

      4) 32 см.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите его высоты.

      1) 5 см, 4см, 12 см.

      2) 2,5 см, 6 см, 13 см.

      3) 5 см, 8,5 см, 12 см.

      4) 25 см, 144 см, 169 см.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 5 см, а один из катетов равен 4 см.

      1) 10 см².

      2) 5 см².

      3) 12 см².

      4) 6 см².

5. Найти площадь прямоугольного равнобедренного треугольника по его гипотенузе c.

      1) .

      2) .

      3) 2c².

      4) c².

6. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 1.

      1) 2.

      2) .

      3) .

      4) .

7. Найдите квадрат стороны правильного треугольника, если его площадь равна Q.

      1) .

      2) 4 Q².

      3) Q.

      4) 2.

8.  Найдите площадь равностороннего треугольника по его высоте h.

      1) h.

      2)  h.

      3) h².

      4) h².

9. Найдите высоту ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна 96 см².

      1) 4,8 см.

      2) 6 см.

3) 8 см.

4) 6,4 см.

10. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 6 см, а боковая сторона равна 10 см.

      1) 3см².

      2) 27 см².

      3) 16 см².

      4) 30 см².

11. Как относятся площади фигур, на которые разделен треугольник своей средней линией?

      1) 1:2.

      2) 1:3.

      3) 1:4.

      4) 2:3.

12. Стороны треугольника равны 10 см и 16 см, угол между ними равен 60° . Найдите площадь треугольника.

      1) 40 см².

      2) 40см².

      3) 80 см².

      4) 40см².

13. Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного параллелограмма.

      1) В 2 раза.

      2) В 4 раза.

      3) В 8 раз.

      4) В 16 раз.

14. На стороне треугольника взята точка, из которой проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите площадь получившегося четырехугольника, если площадь данного треугольника равна 60 см².

      1) 15 см².

      2) 20 см².

      3) 30 см².

4) 45 см².

15. В каких пределах находится площадь (S) треугольника со сторонами 9 см и 2 см?

      1) S > 9 см².

      2) S <18 см².

      3) 0S < 18 см².

      4) 0 < S  9 см².

16. Найдите наибольшую площадь треугольника, имеющего стороны 10 см и 20 см.

      1) 40 см².

      2) 100 см².

      3) 200 см².

      4) 400 см².

17. На сколько равновеликих треугольников разбивается треугольник своими медианами?

      1) На 2.

      2) На 4.

      3) На 6.

      4) Нет равновеликих треугольников.

18. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите его площадь.

      1) 21 см².

2) 42 см².

3)  см².

4) 84 см².

19. Стороны треугольника относятся как 4:13:15. Площадь равна 96 см². Найдите его стороны.

      1) 8 см, 26 см, 30 см.

      2) 2 см, 6,5 см, 7,5 см.

      3) 16 см, 52 см, 60 см.

      4) 2 см,  см,  см.

20. Медианы равнобедренного треугольника равны 15 дм, 18 дм, 15 дм. Найдите площадь этого треугольника.

      1) 90 дм².

      2) 120 дм².

      3) 135 дм².

      4) 144 дм².

Тест № 3 «Площадь круга и правильных многоугольников»

1. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 4 см.

      1) p см².

      2) 2p см².

      3) 4p см².

      4) 16p см².

2. Найдите радиус круга, если его площадь равна 45p дм².

      1) 90p дм.

      2) 22,5p дм.

      3) 9дм.

      4) 3дм.

3. Найдите диаметр круга, площадь которого равнялась бы сумме площадей двух кругов радиусов 4 см и 3 см.

      1) 7p см.

      2) 2 см.

      3) 4 см.

      4) 10 см.

4. Радиус окружности разделен пополам, и через точку деления проведена окружность, концентрическая данной окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов.

      1) 1:2.

      2) 1:3.

      3) 1:4.

      4) 2:3.

5. Радиус окружности разделен на три равные части, и через точки деления проведены окружности, концентрические данной.  Найдите отношения площадей частей, на которые они разделили соответствующий круг.

      1) 1:2:3.

      2) 1:4:9.

      3) 1:3:4.

      4) 1:3:5.

6. Найдите площадь круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной 3 см.

1) 2p см².

      2) 3p см².

      3) 4,5p см².

      4) 9p см².

7. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной, равной 6 см.

1) p см².

      2) 2p см².

      3) 3p см².

      4) 0,5p см².    

8. Найдите отношение площадей кругов, вписанного и описанного около единичного квадрата.

      1)  1:2.

      2) 1:4.

      3) 1:.

      4) :2.

9. Найдите площадь части круга (сектора), лежащего внутри центрального угла в 45°, если радиус круга равен 8 дм.

      1) 4p дм².

      2) 8p дм².

      3) 16p дм².

      4) 64p дм².

10. Какую часть площади круга занимает сектор, если его центральный угол равен 150°?

      1) 0,5.

      2) .

      3)

4)  .

11. Сколько градусов содержит центральный угол сектора, если он составляет  площади круга.

      1) 24°.

      2) 48°.

      3) 90°.

      4) 96°.

12. Найдите площадь кольца, заключенного между концентрическими окружностями радиусов R и r (R>r).

      1) R²-r².

      2) .

      3) .

      4) .

13. Найдите отношение площадей равностороннего треугольника и квадрата, периметры которых равны.

      1) 4:9.

      2) 1: .

      3) 1:3.

      4) :2.

14. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см.

      1) 4p см².

      2) 16p см².

      3) 4см².

      4) 24см².

15. Найдите площадь части круга радиуса 2 см, расположенной вне вписанного в этот круг правильного шестиугольника.

      1) 2(2p-3) см².

      2)  2(2p-3) см².

      3) 4(p-9) см².

      4) 32 см².

16. Периметры правильных многоугольников относятся как 2:3. Найдите отношение их площадей.

      1) 4:9.

      2) :.

      3) 2:3.

      4) 2:5.

17. Найдите отношение площадей правильных шестиугольников, один из которых вписан, а другой описан около данной окружности.

      1) 1:2.

      2) 3:4.

      3) 1:6.

      4) 2:3.

18. Около окружности радиуса 24 см описан многоугольник, площадь которого равна 96 см². Найдите периметр многоугольника.

      1) 48 см.

      2) 24 см.

      3) 8 см.

      4) 16 см.

19. Найдите площадь правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса R.

      1) nR²sin .

      2) nR²sin .

      3) n²R²tg.

      4) 2n²R²cos.

20. В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна Q, а в треугольник вписана окружность. Найдите площадь получившегося кольца.

      1) Q².

      2) .

      3) Q.                     4) Q.

Номер задания
	1	2	3
1	2)	3)	3)
2	1)	3)	4)
3	3)	1)	4)
4	3)	4)	3)
5	4)	2)	4)
6	1)	3)	2)
7	2)	3)	3)
8	1)	3)	1)
9	4)	4)	2)
10	2)	1)	4)
11	2)	2)	4)
12	4)	2)	3)
13	2)	1)	1)
14	3)	3)	4)
15	4)	4)	2)
16	2)	2)	1)
17	2)	3)	2)
18	1)	4)	3)
19	4)	1)	2)
20	1)	4)	2)

ОТВЕТЫ

Краткое описание документа:

Этот материал пригодится и в 9 классе для подготовки к экзаменам