«Подготовка к ЕГЭ. Решение неравенств методом рационализации»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Александровская

СОШ» Грачёвского района Оренбургской области

Обобщенный педагогический опыт

учителя математики высшей категории МБОУ

 «Александровская СОШ» 

Аймуратовой Марии Маденовны

Вопросы, связанные с подготовкой и проведением ЕГЭ, до сих пор стоят довольно остро, несмотря на то, что эта форма итоговой аттестации обучающихся стала реальностью. Математика – обязательный для всех выпускников средней школы экзамен, и альтернативы ЕГЭ как формы его проведения сегодня нет. При неоднозначном отношении к ЕГЭ мы вместе с тем понимаем, что такая независимая экспертиза знаний учащихся требует от учителя прежде всего ориентации на результат, который может быть достигнут лишь в процессе системной, продуманной работы по приведению знаний обучающихся к требованиям Единого государственного экзамена. 

В связи с государственным статусом ЕГЭ по математике меняются и критерии оценок работы учителей выпускных классов. Аттестационные комиссии, подвергая анализу результаты ЕГЭ по математике, рассматривают их как   показатель квалификации учителя, его профессионализма. Основная задача, которая стоит перед каждым учителем, это как можно лучше подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ. Потому что результаты, полученные выпускниками на ЕГЭ, это и оценка работы учителя, школы, региона. И учащиеся, и их учителя все больше заинтересованы в получении как можно лучших результатов. Поэтому каждый педагог ищет и применяет в своей работе наиболее эффективные методы, формы и технологии обучения. Огромная ответственность за результат легла на учителя ещё и потому, что ЕГЭ был призван заменить собой два экзамена – выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие и средние учебные заведения. Все это и определило выбор темы моего педагогического опыта 

«Подготовка к ЕГЭ. Решение С3 методом рационализации» 

Изучая методическую литературу и принимая активное участие в работе методических объединений, я определила идею формирования собственного педагогического опыта. 

Идея опыта (главная цель): подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, расширение и углубление знаний учащихся по предмету, повышение уровня математической подготовки выпускников средней школы, поиска нестандартных способов решения математических задач.

Данный опыт был опубликован в информационно-методическом сборнике «Национальный проект «Образование»: Адреса педагогического опыта. Технология успеха» Отдела образования администрации Грачевского района Муниципальное казенное учреждение «Информационно-методический центр»

Сведения об авторе:

 

Аймуратова Мария Маденовна

•         образование - высшее;

•         Название (полное) учебного заведения, год его окончания: Оренбургский государственный педагогический институт имени В.П.Чкалова,  1985 год

•         Специальность по диплому  - математика,               Место работы:  МБОУ «Александровская СОШ»  

•         Должность:  учитель математики

•         Педагогический стаж работы - 37 лет

•         стаж работы в занимаемой должности  - 37 лет

•         квалификационная категория - высшая

Условия формирования опыта.  На формирование опыта оказали влияние следующие факторы: 

•         изучение методической литературы; 

•         изучение опыта коллег; 

•         курсы повышения квалификации; 

•         изучение передового педагогического опыта коллег,  изучение новаторских идей педагогов-практиков.

 Теоретическая база опыта. В основу решения проблемы повышения качества математического образования положены: теория Н.Я. Гальперина об управлении познавательной деятельностью ученика, психологический принцип Л.В. Выготского о ведущей роли обучения в развитии, обеспечивающая качество планируемых результатов.

 Актуальность и перспективность опыта. 

Задание типа С3 на ЕГЭ традиционно вызывает затруднения у многих учащихся, ведь при решении подобных систем необходимо уметь разбираться с разными типами неравенств: и рациональными, и логарифмическими, и показательными, и степенными, что отражено в нынешней спецификации КИМ. Необходимо владеть не только методом интервалов, но и некоторыми другими приёмами. При этом решение неравенств сопряжено со многими техническими сложностями, что чревато как логическими, так и вычислительными ошибками. При решении иррациональных, показательных и логарифмических неравенств в задании С3, в различных сборниках, тренировочных вариантах ЕГЭ часто используются стандартные  методы решения, которые иногда трудоемки и занимают много времени. 

Однако существует метод, позволяющий избежать многих нежелательных осложнений и ускорить процесс решения неравенств, что может оказаться полезным не только при решении заданий типа С3, но и в отдельных редких случаях при рассмотрении заданий типа С5. Этот метод- «метод рационализации».

Актуальность опыта заключается в том, что метод рационализации позволяет упростить и сократить время решения  данных неравенств. Использование данного метода не только упрощает решение, но и сокращает количество ошибок и увеличивает число учащихся, приступающих к решению  задания  С3.

Новизна опыта. Реализована целостная организационно-методическая система обучения учащихся решению сложных неравенств и систем неравенств, разработаны рекомендации по применению метода рационализации при подготовке к ЕГЭ.  Предложен подход к разработке критерия выбора наиболее приемлемого метода решения неравенств. 

- разработанный подход к решению логарифмических и показательных неравенств дает возможность  сохранять и накапливать существующие знания в методах и способах решения таких уравнений и комплексно применять накопленные знания к различному типу неравенств, отличающихся уровнем сложности, масштабности;

-применение предложенной методики решения неравенств позволяет существенно оптимизировать использование ресурсов человека, решающего такого типа задачи

Адресная направленность опыта. 

Данный опыт работы может быть использован учителями математики общеобразовательных школ, а также для применения на элективных курсах и/или для дистанционной подготовки учащихся к ЕГЭ по математике. 

Используя данный опыт, можно получить устойчивые положительные результаты, если:

-в учебном процессе будет реализован личностно-ориентированный подход при обучении математике;

-систематически будут применяться специальные задания, которые способствуют формированию навыков обобщенного подхода к решению математических задач; -будет применяться система задач, которая способствует расширению, углублению, систематизации знаний учащихся; 

Трудоёмкость опыта. 

Подготовка учащихся к ЕГЭ требует от учителя систематической и кропотливой работы,  внимания к вопросам формирования у учащихся важнейших общеучебных умений:  анализировать сущность предложенного задания, переносить усвоенный алгоритм действий в новые ситуации, например,  на решение задач повышенного уровня сложности

Результативность опыта. 

Реализация учителем методической системы обучения учащихся решению неравенств и систем неравенств привела к сокращению количества ошибок в контрольных работах учеников,  возросла успешность решения учащимися задач с недостающей и избыточной информацией; увеличилось количество оригинальных решений типовых задач и успешно выполненных нестандартных решений с ориентиром на задания ЕГЭ. Контрольные срезы знаний, призовые места на районной олимпиаде по математике, результаты выпускных и вступительных экзаменов в высшие учебные заведения показывают положительную динамику изменения уровня обученности учащихся по предмету.

Описание опыта

Не секрет, что в настоящее время для успешной сдачи экзамена по математике недостаточно освоить программу в объеме общеобразовательной средней школы. Сложность задач, предлагаемых на экзаменах, постоянно возрастает. Для их решения требуется применять методы и приемы, знания которым в процессе обучения на уроках уделяется мало внимания. Владение нестандартными методами решения уравнений по алгебре позволяет выпускнику успешно решать задачи высокого уровня сложности выпускных экзаменов. В свою очередь, эти умения требуют от выпускника нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Имеющаяся в последние годы тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых нестандартных приемов к решению. Для успешного решения заданий повышенной и более высокой трудности учащимся необходимо в совершенстве знать свойства функций (область определения, множество значений, ограниченность, монотонность и пр.), все основные формулы школьной программы и не только, свойства равносильности уравнений, неравенств и их систем. Необходимо изучать некоторые теоремы и утверждения, которые не встречаются в школьных учебниках и с которыми следует знакомить учащихся на факультативных занятиях, семинарах и пр., учить пользоваться различной методической литературой, задачниками для поступающих в вузы. Рассмотрим некоторые из известных и часто применяемых методов решения нестандартных задач,  предлагавшихся на ЕГЭ.

Над проблемой применения различных способов для решения уравнений, неравенств  и систем неравенств я работаю четвертый год. За это время мною разработана и внедрена в практику методика обучения учащихся решению уравнений с модулем, которую я применяю на факультативных занятиях, решение неравенств методом рационализации. Цель внедрения данной методики заключается в стремлении повысить качество умения решать уравнения, неравенства и системы неравенств.  

В нашем районе был создана очно-заочная школа  математического профиля по подготовке к ЕГЭ. На занятиях с высокомотивированными учащимися 11 класса я ознакомила их с методом рационализации решения неравенств, который они стали использовать для решения систем неравенств при подготовке к ЕГЭ.  В частности, рациональным способом решения логарифмических неравенств, соответствующих уровню заданий С3, на наш взгляд, является метод интервалов. Примеры решения логарифмических неравенств приведены в приложении.

Суть метода рационализации для решения логарифмических неравенств (метода замены множителя) состоит в том, что в ходе решения осуществляется переход от неравенства, содержащего логарифмические выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных неравенств). 

Разумеется, прежде чем использовать метод рационализации на уроках или в работе в дистанционном режиме, необходимо научить учащихся решать логарифмические неравенства традиционным способом. Данный способ решения логарифмических неравенств лишь дополняет, а отнюдь не замещает известные подходы к формированию навыков решения таких неравенств. Метод рационализации помогает не только при решении логарифмических  и показательных неравенств. Везде, где есть разность монотонно возрастающих функций, ее можно заменять на разность аргументов; а разность монотонно убывающих функций на разность аргументов с обратным знаком.

Теоретическое обоснование опыта:   

Решение логарифмических неравенств                  методом рационализации

Часто, при решении заданий ЕГЭ из части «С», а в особенности  в заданиях     С3,  встречаются неравенства,  содержащие   логарифмические выражения с неизвестным в основании логарифма. Вот, например, стандартное неравенство:

 

Как правило, для решения подобных заданий используют классический метод ,  то есть применяется переход к равносильной совокупности систем

 

          При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых каждое неравенство распадается еще на семь. Поэтому, можно предложить менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации, известный в математической литературе под названием декомпозиции. 

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

log_a(x) f (x) log_a(x) g(x),     (1)

где a(x), f (x), g(x) - некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

 Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

 В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию 0  a(x) 1, знак неравенства обращается: f (x)  g(x).

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию a(x) 1, знак неравенства сохраняется: f (x)  g(x).

 На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь  объединить?

         Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство  

log_a(x) f (x)  log_a(x) g(x)

равносильно следующей системе неравенств:

a(x)  0,

^a(x) 1,

                                                                    ^f (x)  0,                                 (2)

g(x)  0, 

(a(x) 1)( f (x)  g(x))  0.

Доказательство. 

1. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если

0  a(x) 1, то первый множитель этого неравенства будет отрицателен.  При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство f (x)  g(x).

 Если же a(x) 1, то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство f (x)  g(x). Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба

случая предыдущего метода. 

Терема доказана Основные положения теории метода рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)_ 0 равносильно неравенству F(x)_ 0 в области определения выражения F(x).  

переменными (u > 0; u ≠ 1; v > 0,			> 0),  a -
№	Выражение F	Выражение G
1		(а –1)(v – φ)
1a
1б
2
2a		)
2б
3
4	(
4a
5
6

Выделим некоторые выражения F  и соответствующие им рационализующие выражения G, где u, v, , p, q - выражения с двумя фиксированное число (a > 0, a ≠ 1).  

На первый взгляд, кажется, что очень много формул, имеет ли смысл их запоминать, если есть алгоритмы отработанные, с помощью которых можно решать те или иные неравенства. Плюсы этих замен ощущаются, когда обычные методы не помогают, либо путь к решению достаточно длинный. Но, если вникнуть в доказательство этих утверждений, то тогда очень легко запоминаются все замены

Доказательство

1.  Пусть  log_av - log_aφ > 0, то есть   log_av > log_aφ, причём a > 0, a ≠ 1, v > 0,  φ > 0.

Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем  v < φ. Значит, выполняется система неравенств a -1<0   v – φ < 0

Откуда следует неравенство (a – 1)(v – φ) > 0  верное на области определения выражения      F = log_av - log_aφ.    

Если a > 1, то v > φ. Следовательно, имеет место неравенство  (a – 1)(v – φ)> 0.

Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(v – φ)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, v > 0, φ > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем.   

a – 1<0              a – 1 > 0 v – φ < 0            v – φ > 0

Из каждой системы следует неравенство log_av > log_aφ, то есть log_av - log_aφ > 0. 

Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0,  F ≤ 0,  F ≥ 0. 

 2.  Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем  logu v- loguφ = loga v  loga loga vloga.

                                           log_a u log_a u              log_a u

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

 или    (u-1)(v-φ) .

log^v

3.Так как  log_uv –log_φv = log_v log_vlog_ulog_v log_v(log_u1), log_u

то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (φ - 1)(v - 1)(u - 1)(φ – u). 

4.Из неравенства u^v-u^φ > 0 следует u^v > u^φ. Пусть число а > 1, тогда log_a u^v > log_au^φ   или 

(u  – φ)log_a u > 0.

 Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем 

(v   – φ)(a – 1)(u – 1) > 0,  (v – φ)(u – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0, 

F ≤ 0, F ≥ 0.

5.     Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6.     Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q |   и  p² > q²

 ( | p | < | q | и p² < q²). 

 Также рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробнорациональным или рациональным, причем (что важно, например, на ЕГЭ) полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными. 

Пример. Решить неравенство

log_x2(x² 1) log_x2(2x²  x3).

Решение. Воспользуемся теоремой 1. получим следующую систему неравенств: x 2  0,



_x 2 1,

                                                                  ^x² 1 0,                                               

^2x² x3  0, 

_((x 2) 1)((x² 1)  (2x² x3))  0.

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

x  2,

^x  3,

x 1или x 1,

 x  3 или x 1.

                                                                                                2

Откуда: x(2, 3)(3, ).

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство 

(x3)(x² x2)0.

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

(x3)(x² x2)0.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

(x3)(x1)(x 2)  0.

Это неравенство легко решить методом интервалов: x(,2)(1, 3).

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:  x(2, 3) .

Замечание. Обращаем внимание тех, кто собирается применять метод рационализации на ЕГЭ на следующее: критерии проверки таковы, что при ошибочном решении, но правильно найденном ОДЗ (при дополнительных условиях) можно получить балл. Поэтому рекомендуется сначала отдельно найти ОДЗ, а затем перейти к решению основного (пятого) неравенства.

Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств   Теперь рассмотрим показательное неравенство вида a(x) f (x) a(x)g(x)                 (3)

Так же, как в предыдущем пункте, a(x), f (x), g(x) - некоторые функции.

И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).

 Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство  

a(x) f (x) a(x)g(x)

равносильно следующей системе неравенств: a(x)  0, 

                                                                       a(x) 1,                                    (4)

^(a(x) 1)( f (x)  g(x))  0.

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).  Доказательство теоремы 2 легко получить теми же рассуждениями, что и в теореме 1. Пример. Решить неравенство

(x2 x2)(2x²x1) (x2 x2)(9x²).

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

x² x 2  0,

                                                            ^x² x 2 1,                                                

^((x² x 2) 1)((2x² x1)  (9 x²))  0.

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

x1или x 2,

 .

Откуда ОДЗ: x(,,).

                                                              2                  2                          2                  2

Далее рассмотрим основное неравенство ((x2 x2)1)((2x2 x1)(9x2))0, которое упрощается к виду: (x2 x3)(3x2 x10)0.

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: x_1,2 . Корни

второго множителя равны: x_3,4 , x₃ _ , x₄ 2.

Теперь перед нами встала нетривиальная задача упорядочения корней. Так как

3 13 4, то x₃ x₁ x₄ x₂. Применив метод интервалов, получим следующее

решение основного неравенства: x(,)(,2)(,).

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

x(,)(,1)(,).

Примеры решения неравенств методом рационализации Пример 1. Решите неравенство log_|x+2|(4 + 7x – 2x²) ≤ 2.

Решение. Запишем нераенство в виде log_{|x + 2|}(4 + 7x – 2x²) – log_{|x + 2|}(x + 2)² ≤ 0  и

заменим равносильной системой, используя метод рационализации

(|x + 2| - 1)(4 + 7x – 2x² – x² – 4x – 4) ≤ 0

             +                      -                         +                     -               +              

                         ●                     ●                         ●                     ●

                        -3                     -1                        0                       1      

                                 +                                                    -              +     

                                                              °                           °                                                              -0,5                        4     

Ответ: ( -0,5; 0] U [1; 4).

Пример 2.          Решить неравенство: log_2x3 x² 1.

                                                     Решение.  

Запишем неравенство в виде log_2x3 x² 1 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации:

2x  2(x²  2x  3)  0

                                                  _                                          x 1x 1x  3 0

2х  3  1      х 1;x 1,5

                                                  2x  3  0                             ^x _ 0

x  0 Ответ:  1,5;11;00;3   Пример 3.

Решить неравенство:           log12x241x353 xlog2x25x33 x.

                                                              Решение.              

 Перепишем неравенство в виде ^log_12x2_41x353 x^log_2x2_5x33 x0 и заменим его равносильной системой:

12x² 41x 342x² 5x  22 x_10x² 36x 32 0

^12x² 41x 35  0

^2x² 5x ^[1] 0

                                                                                            

12x² 41x 34  0

^ x² 5x  2  0

2 

3 x  0

^x2^4x85x1712x120







x5x70

         _      3_       4_

_



x1

       x230                           

x^17x20

               12

x2^x10

                          2

^x3

Неравенства решить методом интервалов.

12;1^^_85;53_^_^74;2^_2;3 

Ответ:

                     _{     }

Пример 4. Решите неравенство   log_xlog_x 3 x 0







x < 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3,  x > 0, x ≠ 1. Условие  1 < x < 2  позволяет исключить множитель  x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ:  _ 13^21;2^_.



Применение формул метода рационализации существенно экономит время, необходимое для решения задач на ЕГЭ, дает рациональное решение, да и запись получается более компактной, не говоря о том, что некоторые задания можно решить только с помощью этих замен. Постепенно, упражняясь в решении неравенств этим методом,  заинтересованные ученики будут владеть еще одним способом решения заданий данного вида, а может быть и единственным.  

                                            Литература:

1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной

2.Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2013 году. Методические указания/Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И. – М.:

МЦНМО, 2013.

3.   Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. [e-mail]

4.   Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения

[электронный ресурс] // Аlleng.ru : [сайт]. URLhttp://www.alleng.ru/d/math/math468.htm

5.Задачи вступительных экзаменов/ Составители А.А. Егоров, В.А.Тихомирова.-

М.:Бюро Квантум, 2008 (приложение к журналу КВАНТ)

6.ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов / авт.-сост.

И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ:

Астрель, 2013. -123 с. – (Федеральный институт педагогических измерений).

7. Экзаменационные задания: http://alexlarin.net/.

Приложение 1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ 

логарифмических неравенств

Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а ≠ 1 неравенство

 

Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию   всегда имеет тот же знак, что и произведение   при всех допустимых значениях переменных.

Пример № 1: Решить неравенство:  

Решение:

  

Ответ:

Пример № 2: Решить неравенство:  

Решение: 

 

 

Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а = 1 неравенство

 

Следствие: 

Разность логарифмов по одному и тому же основанию                                          

всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.

Пример № 3: Решить неравенство:  

Решение: Записав условия существования логарифма, заменим его произведением рациональных выражений, имеющих те же промежутки знакопостоянства:

Ответ:

Пример № 4: Решить неравенство:  

Решение: Записав условия существования каждого из выражений, заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства: 

 

Пример № 5: Решить неравенство:  

Решение: Записав условия существования каждого из выражений, заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства: 

      

Приложение 2 Задания для самостоятельного решения

1.Решите неравенство  log_3x1(2x² x1)  log_3x1(11x63x²).       Ответ: 1U1,5;3

                         x2                                                               x2

2.Решите неравенство 

log_x(log₉(3^x 9))< 1.                                     Ответ:  (log₃10; + _).

3.Решите неравенство 

 0                                             Ответ:  ^_ ²3;_¹3^_.



4.Решите неравенство 

 0.                                      Ответ:  7;6U2;2,5U4;4,5.

5.Решите неравенство

log_2x(x  2)log_x3(3 x)  0.                       Ответ:  2;1U1;2

6.       Решите неравенство

                                                     

7.       Решите неравенство

 

8.       Решите неравенство

 

9.       Решите неравенство.  

                                            Ответ:  

Приложение 3

Конспект урока для очно-заочной школы

Тема урока: Метод рационализации при решении неравенств и систем неравенств в задании С3 из ЕГЭ (2 часа)

   Содержательная цель:  

1.      Изучить различные методы и приемы решения данного класса уравнений и неравенств.

2.      Рассмотреть разнообразные способы решения одного и того же уравнения (неравенства).

3.      Применять уже обозначенные методы и приемы на практике.

4.      Выработать навыки решения более сложных заданий, наиболее встречаемых в вузовской практике.

5.      Продолжить исследовательскую работу, заключающуюся в поиске «интересных» уравнений и неравенств.  

Развивающая цель: развитие познавательных умений, развитие аналитического мышления.

Деятельностная цель: самостоятельный поиск  путей для достижения образовательной цели, воспитание критического мышления.

Ход урока

1.       Организационный момент.

Сообщение учителем целей, задач и структуры урока, его основных моментов.

2.       Анализ выполнения домашнего задания (С2)

3.       Обобщение теоретического материала по теме урока

Устная работа:  Часть 1. Показательные уравнения и неравенства. Что нужно знать:

-     Определение показательного уравнения;

-     Свойства степеней;

-     Таблицы степеней;

-     Свойства показательной функции (для неравенств).

Методы решения показательных уравнений

-     Решение показательных уравнений методом приведения обеих частей уравнения к одному основанию;

-     Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки;

-     Решение показательных уравнений сводящихся к квадратным уравнениям;  Метод почленного деления;  Метод группировки.

Часть 2. Логарифмические уравнения и неравенства Что нужно знать:

-     Определение логарифмического уравнения;

-     Определение логарифма;

-     Свойства логарифмов;

-     Свойства логарифмической функции (для неравенств).

Методы решения логарифмических уравнений

-     По определению;

-     Решение методом потенцирования;

-     Решение методом логарифмирования;

-     Решение методом замены переменной;

-     Решение методом разложения на множители.

Вывод: мы систематизировали и обобщили основные теоретические сведения, необходимые для решения уравнений. 

Подготовительный этап.

Решить неравенства: (метод интервалов) (презентация)

1.1 1.2

1.3

1.4

1.5

4.       Изучение нового материала.  Метод рационализации.

Решение неравенств  - важный раздел в математике. Один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ части С3, в частности логарифмических неравенств. Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида     log_a(x) f (x) log_a(x) g(x)  является стандартным школьным неравенством. Вопрос:

Как решить это неравенство стандартным методом? Ответ: Надо рассмотреть два случая:

 

 Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем. 

Задание :Решить неравенство по стандартной схеме:

1. log_х-2 (х²- 1)log_х-2 (2х²+х- 3) 

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств. Это может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Другое название – метод замены множителей. Он состоит в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные выражения (например, показательные, логарифмические, иррациональные и пр.), перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству. 

Метод рационализации.

 Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а ≠ 1 неравенство

  

Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию   всегда имеет тот же знак, что и произведение

  при всех допустимых значениях переменных.

                        Таблица .

Выражение F	Выражение G
loga f loga g loga f 1 loga f	a1f g a1f a a1f 1
log f hlogg h   g 1, f 1	f 1g 1h1g  f 
Некоторые следствия  (с учетом области определения): logh f logp q0 h 1 f 1p 1q10; logh f logh g 0   fg1h 10;

Чтобы решить неравенство, надо:

     1.Записать ОДЗ неравенства:

                     , , , .

1.     Составить рациональное неравенство: .

2.     Решить систему получившихся рациональных неравенств:

loga(x) f (x) loga(x) g(x)  

Метод «рационализации» заключается в замене сложного выражения Fx на более простое выражение Gx, при которой неравенство Fx  0  равносильно неравенству Gx  0  в области определения выражения Fx.

В таблице  представлены некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G , в которых f ,g,h, p,q − выражения с переменной x h  0; h 1; f  0; g  0 и а − фиксированное число a 0; a 1. ( у каждого на столе таблица)

5.Закрепление изученного материала

Задание решить неравенство 1 методом рационализации  Вопрос: Как свести данную совокупность к системе рациональных неравенств, аналогично таблице?

 

Пример. Записать неравенство  в виде системы рациональных неравенств.

Решение. Составляем систему рациональных неравенств, аналогичную системе:

 

Пример 2. Решить неравенство методом рационализации:

.         

                Решение.  

Запишем неравенство в виде ^log₂x_3 x² 1 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации:

2x  2(x²  2x  3)  0

                                                  _                                          x 1x 1x  3 0

2х  3  1      х 1;x 1,5 2x  3  0  x _ 0

                                                 x  0                                     _

Ответ:  1,5;11;00;3

Пример 3. Решить неравенство log_2-х (х+2)*log_х+3 (3-х)

 Пример 4.  Решить неравенство:           log12x241x353 xlog2x25x33 x.

                                          Решение.               

 Перепишем неравенство в виде log12x241x353 xlog2x25x33 x0 и заменим его равносильной системой:

12x² 41x 342x² 5x  22 x_10x² 36x 32 0

^12x² 41x 35  0

^2x² 5x 3 0

                                                                                            

12x² 41x 34  0

^ x² 5x  2  0

2 

3 x  0

x2 

           ^                  4x85x1217x120



             ^x53x740                                                     

_



                               x30

x1

                                  2

x^17x20

                        12

x2^x10

                                        2

^x3

Неравенства решить методом интервалов.  Ответ:1;18;57;22;3  

                                                                                                              2    _5 3_{   }4   _

6.  Проверочная работа.

Записать неравенство в виде системы рациональных неравенств:

5.1.1. 

5.1.2.

5.1.3. ;

5.1.4.

5.1.5. 

7.  Домашнее задание. 

1) Записать неравенство в виде системы рациональных неравенств:

а)  

              б)                                                                            

           3)Решить неравенство:  

             4)Решите систему неравенств:

                                             

8. Итог урока.

Учащимся предлагается самостоятельно сформулировать итоги урока.

Мы сегодня узнали еще один способ решения логарифмических неравенств с переменным основанием с помощью сведения их к системе рациональных неравенств, которые решаются методом интервалов. Итак, чтобы решить неравенство, надо:

1.       Записать ОДЗ неравенства:

, , , .

2.       Составить рациональное неравенство: .

3.       Решить систему получившихся рациональных неравенств:

log_a(x) f (x) log_a(x) g(x)

Приложение 4

Презентация «Метод интервалов»

---

[1] Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации