Практическая работа Расчет электрических цепей методом контурных токов

Практическое занятие №14

Тема: Расчет электрических цепей методом контурных токов

Цель работы: научиться рассчитывать сложные электрические схемы постоянного тока методом контурных токов (МКТ)

Задание

- Записать название работы, тему и цель работы

- рассмотреть и записать в конспект приведенный пример

- решить индивидуальное задание

Краткие теоретические сведения

Решение задачи требует знания закона Ома, формул мощности, законов Кирхгофа, свойств последовательного и параллельного, соединения резисторов.

В электрической цепи за положительное направление ЭДС Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «–» источника к «+» источника питания.

За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т.е. от «+» к «–» источника.

За положительное направление тока I принято направление, совпадающее с перемещением положительных зарядов, т.е. от «+» к «–» источника.

Электродвижущая сила источника в электрической цепи может иметь одинаковое и противоположное направление с током. В первом случае источник ЭДС работает в режиме генератора, т.е. является источником электрической энергии. При этом ЭДС оказывается больше напряжения на его зажимах (Е >U). При направлении ЭДС в цепи противоположно току источник становится потребителем электрической энергии, и ЭДС оказывается меньше напряжения U на зажимах источника (Е <U) на величину внутреннего падения напряжения IR₀, где R₀ – внутреннее сопротивление источника.

При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения. Схема замещения источника ЭДС содержит ЭДС и внутреннее сопротивление R₀ источника, которое много меньше сопротивления R_н  потребителя электроэнергии (R₀<<R_н). При расчетах часто приходится внутреннее сопротивление источника ЭДС приравнивать нулю.

В идеализированном источнике ЭДС падение напряжения на внутреннем сопротивлении IR₀ = 0, при этом напряжение на зажимах источника U = const не зависит от тока I и равно ЭДС источника (U = E). В этом случае источник электроэнергии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.

В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз превосходит сопротивление потребителя электроэнергии (R₀>>R_н), при этом в источнике тока ток является величиной практически постоянной, не зависящей от нагрузки (j = const).

Реальный источник электрической энергии можно представить в схеме замещения последовательным соединением идеального источника ЭДС и внутреннего сопротивления R₀.

Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы пассивного участка на рис. 1), связь между током I и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи

где φ₁ и φ₂ – потенциалы точек 1 и 2 цепи соответственно; U₁₂ = φ₁ - φ₂ – напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи; ΣR – арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи; R₁ и R₂ – сопротивления участков цепи.

Рисунок 1 - Электрическая схема пассивного участка

Для участка цепи, содержащего источники ЭДС (рис. 2), т.е. для активного участка цепи, связь между током I, напряжением U12 и ЭДС источников определяется обобщенным законом Ома

где ΣE – алгебраическая сумма всех ЭДС участка цепи, причем со знаком «+» в нее входят ЭДС, совпадающие с направлением тока и со знаком «-» в нее входят ЭДС, не совпадающие с направлением тока.

Рисунок 2 - Электрическая схема участка цепи, содержащего источники ЭДС

На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии

ΣEI=Σ(I²·R),

где ΣEI – сумма мощностей, развиваемых источниками;

Σ(I²·R)– сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников (потери мощности на внутренних сопротивлениях).

Приведенное равенство называется балансом мощностей электрической цепи.

Если положительное направление тока совпадает с направлением ЭДС и в результате расчета получено положительное значение тока, то источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию, т.е. работает в режиме генератора. Если же получено отрицательное значение тока, то произведение EI отрицательно, т.е. источник работает в режиме потребителя и является приемником электрической энергии (например, электродвигатель, аккумулятор в режиме зарядки).

В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю:

0

где I_k – ток в k-й ветви.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДСв любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре

,

где R_k– сопротивление участка цепи рассматриваемого контура;

I_k – ток в сопротивлении R_k.

При расчете электрических цепей любым методом выбирают условно положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).

Задача предусматривает расчет сложной электрической цепи. Сложные цепи имеют несколько замкнутых контуров, электрически связанных друг с другом. В ветвях контуров, где находятся источники Э.Д.С. и резисторы, протекают разные по величине токи.

Методика расчета сложной цепи методом контурных токов

Метод контурных токов используется для расчета резистивных линейных цепей с постоянными токами и для расчета комплексных схем замещения линейных цепей с гармоническими токами. При этом в расчет вводятся контурные токи – это фиктивные токи, которые замыкаются в независимых замкнутых контурах, отличающихся друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви.

Контурный ток - это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и т.д.

Действительный ток  в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС - это сумма всех ЭДС входящих в этот контур, причем, со знаком «плюс» записываются ЭДС, действующие в направлении контурного тока, со знаком «минус» - направленные против контурного тока.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное (принадлежащее) двум контурам.

В методе контурных токов за неизвестные величины принимаются расчетные (контурные) токи, которые якобы протекают в каждом из независимых контуров. Таким образом, количество неизвестных токов и уравнений в системе равно числу независимых контуров цепи.

Расчет токов ветвей по методу контурных токов выполняют в следующем порядке:

1 Вычерчиваем принципиальную схему цепи и обозначаем все элементы.

2 Определяем все независимые контуры.

3 Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (например, по часовой стрелке). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов можно использовать арабские сдвоенные цифры (I11, I22, I33 и т. д.) или римские цифры.

4 По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров. При записи равенства считать, что направление обхода контура, для которого составляется уравнение, совпадает с направлением контурного тока данного контура. Следует учитывать и тот факт, что в смежных ветвях, принадлежащих двум контурам, протекают два контурных тока. Падение напряжения на потребителях в таких ветвях надо брать от каждого тока в отдельности.

5 Решаем любым методом полученную систему относительно контурных токов и определяем их.

6 Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов можно использовать одиночные арабские цифры (I1, I2, I3 и т. д.).

7 Переходим от контурных токов к реальным, считая, что реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви.

При алгебраическом суммировании без изменения знака берется контурный ток, направление которого совпадает с принятым направлением реального тока ветви. В противном случае контурный ток умножается на минус единицу.

Пример

Определить токи во всех ветвях цепи (рисунок 3), если Э.Д.С. источников энергии Е₁ = 150В, Е₂ = 80В, их внутренние сопротивления R₀₁ = 1 Ом, R₀₂=0.5 Ом; сопротивления резисторов R₁=9 Ом, R₂=19,5 Ом, R₃ = 25 Ом. Задачу решить методом контурных токов. Составить уравнение баланса мощностей.

Рисунок 3 - Электрическая схема

Решение

1.     На схеме произвольно показываем  направление  токов  ветвей.

2.     Намечаем два независимых контура и указываем направление контурных токов (по часовой стрелке)

       Рисунок 4 - Электрическая схема

3.     Определяем Э.Д.С. каждого контура

Важно!!! Со знаком «плюс» записываются ЭДС, действующие в направлении контурного тока, со знаком «минус» - направленные против контурного тока.

Е _I=  Е₁ – Е₂ = 150 -80 = 70 В

Е _II = Е₂ = 80 В

4. Определяем собственные и  общие  сопротивления контуров:

-  собственные сопротивления (входящие в один контур)

R₁₁ = R₁ + R₀₁ + R₀₂ + R₂ = 9 + 1 + 0,5 + 19,5 = 30 Ом

R₂₂ = R₂ + R₀₂ + R₃ = 19,5 + 0,5 + 25 = 45 Ом

-   общие сопротивления (принадлежащие двум соседним контарам)

R₁₂ = R₂₁ = R₂ + R₀₂ = 19,5 + 0.5 = 20 Ом

5.     Составляем уравнения:

I _I R₁₁ – I _II R₁₂ = E _I  (1)

– I _I R₂₁+ I _II R₂₂ = E _II  (2)

6.     Подставляем данные, полученные в пунктах 3, 4 и  решаем систему уравнений методом подстановки или любым другим методом.

I _I 30 – I _II 20 = 70   (1)   (× 2)

- I _I 20 + I _II 45 = 80   (2)    (× 3)

60 I _I–  40  I _II = 140   (3)

+

- 60 I _I + 135 I _II = 240  (4)

95 I_II = 380

I_II = 4 A

7.  Подставляем значениеI_II в формулу (1) и определяем ток I_I.

30 I _I – 4 · 20 = 70

I _I = 150 / 30

I _I = 5 A

8.  Определяем действительные токи в ветвях, исходя из условия, что действительный ток, совпадающий по направлению с контурным током берется  со знаком «+», и  наоборот, ток в ветви не совпадающий с контурным током берется со знаком «-».

I₁ = I _I = 5 A

I₂ = I _II– I _I = 4 – 5 = -1 A

I₃= I_II =4A

Индивидуальные задания для практической работы №14

Задача На рисунке 5 изображена схема сложной электрической цепи: Е₁, Е₂ – Э.Д.С. источников энергии; R₀₁, R₀₂ – их внутренние сопротивления; R₁, R₂, R₃ – сопротивления резисторов. 

Числовые значения этих параметров указаны в таблице 1

Начертить схему цепи; показать направление токов в ветвях. Определить токи ветвей I₁, I₂, I₃ методом контурных токов.

Составить уравнение баланса мощностей

Указание:

1.                 Перед решением задачи изучите методические указания к решению задачи и решение типового примера.

2.                 В задаче обязательно вычертить электрическую схему, соответствующую условию задачи, и показать на ней заданные и искомые величины, а также направление токов. Привести данные своего варианта.

3.                 Решение задачи сопровождается краткими пояснениями.

4.                 Текст, формулы, числовые выкладки должны быть четкими без помарок. Цифровая подстановка в уравнении должна даваться один раз без промежуточных сокращений и расчетов. Численное значение каждого символа должно обязательно занимать то же место в формуле, что и сам символ. Все расчеты необходимо вести в системе СИ. Буквенные обозначения единиц измерения ставятся только возле окончательного результата и в скобки не заключаются, например, 120 В, 13 А, 100 Вт.

Рисунок 5 - Электрическая схема

Таблица 1 - Исходные данные к задаче

№ вар	Е1, В	Е2, В	R01, Ом	R02, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	Метод расчета
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25	85	200	0,3	2,0	12,0	1,7	12,0	Метод контурных токов
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26	55	120	0,2	0,5	6,0	15,0	6,0
3, 7, 11, 15, 19, 23	105	146	2,0	2,0	50,0	4,5	50,0
4, 8, 12, 16, 20, 24	80	34	0,5	0,3	20,0	19,0	20,0