Практическая работа «Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме»

Практическая работа

«Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме»

Теоретические сведения, методические рекомендации

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1.

Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.

Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a.

Действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Сложение и вычитание происходят по правилу

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i,

а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1).

Примеры. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел  

z₁=2-3i

z₂=-4+5i

z₁+ z₂=(2-3i)+(-4+5i)=(2+(-4))+(-3i+5i)=-2+2i

z₁- z₂=(2-3i)-( -4+5i)=(2-(-4))+(-3i-5i)=6-8i

z₁ ^. z₂=(2-3i)( -4+5i)=-8+10i+12i-15i²=-8+10i+12i+15=7+22i

Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi.

Примеры. Запишите комплексно сопряженное число

1) z=3-4i                     2) z=-13+i                    

 = 3+4i                         = -13-i

Равенство z ·  = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Пример Найти частное 

 =  =  =  = =  =  -

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами):

Примеры: Изобразите комплексные числа на плоскости

а)  z= -3+2i                                      б) z = 4                                          в) z = -5i

                          y                                                        y                                                           y    

 

                      2                                                                                                                      0                        x

 

        -3         0               x                                            0         4        x                               

                                                                                                                                           -5

По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|.

|z|=

Пример: Найдите модуль комплексного числа

z=4-3i

|z|== =

Задания для самостоятельного выполнения:

Вариант 1

1.     Найдите сумму комплексных чисел , .

2.     Найти разность комплексных чисел  , если , z₂= 3 + 5i.

3.     Найти произведение комплексных чисел  , .

4.     Даны комплексные числа , . Найти частное .

5.     Найти частное комплексных чисел .

6.     Изобразите комплексные числа на плоскости:   а)  z=-2+3i;  б) z=-7; в)  z=3+3i; г) z=3i.

7.     Запишите комплексно сопряженное число:  z=-8+i

8.     Найдите модуль комплексного числа:   z=8-6i

9.     Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 2

1.     Найдите сумму комплексных чисел z₁=2 – 4i, z₂=3+2i.

2.     Найти разность комплексных чисел  , если z₁=-3+2i, z₂=1+i .

3.     Найти произведение комплексных чисел z₁=1 – 2i, z₂=3+i 

4.     Даны комплексные числа z₁=2 – 4i, z₂=3+2i. Найти частное .

5.     Найти частное комплексных чисел  .

6.     Изобразите комплексные числа на плоскости:    a)  z=2+3i;  б) z=7; в)  z=1+2i; г) z=4i.

7.     Запишите комплексно сопряженное число:  z=6+2i

8.     Найдите модуль комплексного числа:   z=4-3i

9.     Даны два комплексных числа z₁=2 +5i, z₂=3-4i . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Краткое описание документа:

Математика СПО. Методические рекомендации и задания к практической работе «Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме».