Практикум по теме:"Скрещивающиеся прямые в задачах с цилиндром"(11 класс))

Практикум по теме: «Скрещивающиеся прямые в задачах с цилиндром».

 Зеленская Светлана Николаевна, учитель математики  

Цели и задачи урока:

• Знакомство учащихся  со стереометрическими  задачами на применение свойств цилиндра и скрещивающихся прямых.
• Способствовать формированию и развитию у учащихся пространственных представлений; повторить  определения, свойства цилиндра и скрещивающихся прямых  при решении комбинированных задач на  нахождение расстояния, угла между двумя скрещивающихся прямыми в прямом круговом цилиндре.
• Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, способность к самоанализу, рефлексии.
• Содействовать развитию интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами, личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.  

Оборудование:   персональныe компьютеры для учащихся, персональный компьютер учителя, проектор, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, листы для отчета о проделанной работе, модели   цилиндра и призмы. Презентации учителя к уроку .

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.)

После проверки готовности класса к уроку, учитель сообщает тему, цели и задачи практикума и отмечает, что урок проходит  с использованием компьютерной презентации, выполненной в Power Point. Учитель проводит инструктирование учащихся по технике безопасности при работе в компьютерном классе.

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (10 мин.)

Тестирование с самопроверкой

Для диагностики и коррекции основных понятий и формул, необходимых на уроке учитель предлагает учащимся ответить на вопросы теста. С условиями заданий теста учащиеся знакомятся с помощью слайдов презентации. Оценивает ответы учащихся компьютер. Максимальная оценка 3 балла – за три правильных ответа. На каждом слайде необходимо нажать кнопку с номером ответа. Неверно выбранный ответ откроет слайд решение задачи или напомнит теоретический материал.

1. Дан куб. Угол между прямыми        и       равен ...

1) 90°; 2)  45°; 3) 60°.   

2. Дан куб . Угол между прямыми    и  BD равен ...

1) 90°; 2) 45°; 3) 60°.   

3.   На основании цилиндра взяты две непараллельные друг другу хорды AN и BM, не проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами...

1) равно образующей цилиндра  ;  2) больше высоты цилиндра  3)   меньше образующей цилиндра

4. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра   AB  и OQ не параллельные друг другу отрезки.  Тогда расстояние между прямой AB и осью цилиндра OQ неравно длине отрезка …

1) MN;  2) QK ;  3) OA.

5  Высота цилиндра 8 см, радиус основания 5 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Тогда расстояние от этого сечения до оси цилиндра равно...   

1. см ; 2) 4 см  ;  3)  3 см  

3. Решение задачи №1 (8 мин.)

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:
Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра. Высота цилиндра равна 16, радиус основания равен 10, а угол между прямой AB и плоскостью основания цилиндра равен 45°. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки A и B.

Вопросы для обсуждения:

• Назовите угол между прямой AB и плоскостью основания цилиндра. Ответ обоснуйте.
• Каким четырехугольником является  сечение цилиндра   ? 
• Какое взаимное расположение прямых AB и         в пространстве?
• Как найти расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки A и B?

Далее в ходе обсуждения условия задачи, приходим к решению задачи.

Отмечаем какой теоретический материал использовался при решении задачи:

• Прямой круговой цилиндр
• Определение скрещивающихся прямых
• Расстояние между двумя скрещивающихся прямыми
• Угол между наклонной и плоскостью
• Терема Пифагора
• Тригонометрические функции острых углов
• Решение прямоугольных треугольников
• Свойства равнобедренного треугольника

4. Решение задачи №2 (8 мин.)

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:

Радиус основания цилиндра равен 6, высота равна 10. Отрезки AB и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, AC =  Отрезок AA1 – образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между прямыми   BC и      

Вопросы для обсуждения:

·     Какое взаимное расположение прямых   BC и    в пространстве?

·     Как найти угол между прямыми BC и     ?

·         Угол ACB опирается на диаметр окружности. Что   можно сказать о его величине?  

Далее в ходе обсуждения условия задачи, приходим к решению задачи.

Отмечаем какой теоретический материал использовался при решении задачи

• Прямой круговой цилиндр
•  Определение скрещивающихся прямых
•  Угол между двумя скрещивающихся прямыми
•  Терема Пифагора
•  Вписанный угол, опирающийся на диаметр
• Тригонометрические функции острых углов
• Решение прямоугольных треугольников  

5. Самостоятельная работа по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин.)

Учащиеся получают тексты задач по вариантам в печатном виде и на слайдах презентации. Учитель контролирует работу  учащихся, определяет степень усвоения изученного материала. Через определенное время краткое решение задач можно проверить, используя слайды презентации.

Вариант №1

1. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус  основания цилиндра равен 15, длина отрезка AB равна , а угол между прямой AB и плоскостью основания цилиндра равен 30?. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки A и B.
2. Радиус основания цилиндра равен 1, высота равна   Отрезки AB и CD – диаметры одного из оснований цилиндра. Отрезок   –  образующая цилиндра,   . Найдите косинус угла между прямыми   BD и    

6. Отчёт о проделанной на уроке работе (5 мин.)

В конце занятия учащимся  заполняют бланк отчета о проделанной на уроке работе.  

Подведение итогов: учитель отмечает успехи учащихся, консультирует по домашнему заданию (2мин.)    

Тестирование с самопроверкой  1.Отметьте знаком « + »  верные определения   ·         Две прямые, не лежащие в одной плоскости  называются скрещивающимися_____________ ·         Расстояние между двумя скрещивающихся прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.__________ ·         Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.  _____________ 2.Отметьте знаком « + » верный ответ Расстояние между  параллельными  плоскости α и β равно7, а расстояние между прямой a, принадлежащей α, и прямой b принадлежащей β , равно8.  Каким может быть расположение прямых a и b. ·         Параллельны или скрещиваются_________ ·         Параллельны__________ ·         Скрещиваются_________ 3.Отметьте знаком « + » определение  соответствующее  рисунку    Две прямые AB и CD, не лежащие в одной плоскости  называются скрещивающимися. __________ Если прямая AB лежит в некоторой плоскости, а прямая CD пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на AB, то прямые AB и CD скрещиваются.___________ __ Расстояние между двумя  прямыми AB и CD  равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых  до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой, или расстоянию между параллельными плоскостями , содержащими эти прямые____________ 4.Отметьте знаком « + »верное  утверждение  Цилиндром называется тело, полученное при вращении  ...   ·         трапеции вокруг одного из оснований.______ ·         ромба вокруг одной из диагоналей____________ ·         прямоугольника вокруг одной из сторон._______ 5.Отметьте знаком « + » верный ответ на вопрос  Какой фигурой может являться сечение цилиндра плоскостью, параллельной  его оси вращения? ·         Кругом ·         Трапецией ·         Прямоугольник 6.Отметьте знаком « + » задачу, обратную   задаче №1 ·         Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра.  ___________ ·         Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 4. Отрезки AB и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, BC= _____________ ·         Высота цилиндра равна радиусу основания. Концы отрезкаAC, не являются образующей цилиндра,лежат на окружностях оснований цилиндра. Расстояние  между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки A и C, равно 3. Найдите градусную меру угла между прямой AC и плоскостью основания цилиндра,если радиус основания равен 6.________________                                  Каждый знак «+» это 1 балл.                           Итого ______________ баллов