Алгебра
Тема:
Преобразование графиков
тригонометрических функций
Цель: рассмотреть наиболее
распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.
1. Запишите число и тему урока
2.
Изучение нового материала (прочитайте
материал)
Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе
1, являются универсальными — они пригодны для всех функций, в том числе и
тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же
ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
1. Для построения графика функции у = f(x) + b надо перенести
график функции на |b| единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при
b < 0.
2. Для построения графика функции y = mf(x) (где m > 0) надо
растянуть график функции у = f(x) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m >
1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в
1/m раз.
3. Для построения графика функции у = f(x + a) надо перенести
график функции на |a| единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево
при а > 0.
4. Для построения графика функции у = f(kx) (где к > 0) надо
сжать график функции у = f(x) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1
происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/k
раз.
5. Для построения графика функции у = -f(x) надо график функции y
= f(x) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай
преобразования 2 для m = -1).
6. Для построения графика функции у = f(-х) надо график функции y
= f(x) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай
преобразования 4 для k = -1).
Пример 1
Построим график функции у = -cos 3x + 2.
В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить
относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль
оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три
единицы вдоль оси ординат.
Полезно также напомнить правила преобразования графиков с
модулями.
1. Для построения графика функции y = |f(х)| надо сохранить часть
графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f(x), для
которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.
2. Для построения графика функции у = f(|х|) надо сохранить часть
графика функции у = f(x), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо
симметрично отразить влево относительно оси ординат.
3. Для построения графика уравнения |у| = f(х) надо сохранить
часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо
симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.
Пример 2
Построим график уравнения |у| = sin|x|.
Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по
правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого
графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз
относительно оси абсцисс.
Пример 3
Построим график сложной функции у = cos(2x + |х|).
Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию
переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и
получим: Для
двух таких промежутков построим график функции y(x). Учтем, что при х ≥ 0
график функции у = cos 3x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3
раза вдоль оси абсцисс.
Пример 4
Построим график функции
Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо
построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у =
cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль
оси ординат.
При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из
графика функции у = x2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1
единицу вверх вдоль оси ординат.
3.
Задание на уроке (просмотрите решение)
№ 13.1 (а, б);
№13.2 (а,б)
№13.3(а,б)
№13.4 (а.б)
№13.7 (а,б)
4. Задание на дом: § 13 прочитать, № 1 (в, г); №2 (в, г), №3 (в,
г),; №4 (в, г), №7 (в, г)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.