Презентация лекции "Дифференциальное исчисление" для студентов медицинского училища.

• 1 слайд

  Дифференциальное исчисление
  Занятие №1 и №2
  Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
  Московской области
  «Московский областной медицинский колледж № 1»
  Рузский филиал
  Работа выполнена
  преподавателем:
  Володин В. М.
  Москва 2017 год.
  

• 2 слайд

  Функции
  Математический анализ занимается изучением функций.
  
  Так давайте вспомним что такое функция,
  какими они бывают, их свойства и т. д.
  
  Функция показывает,
  как одна величина связана с другой.
  
  Любая функция – это связь
  между величинами.
  
  

• 3 слайд

  Функции могут быть – Возрастающими и Убывающими.
  
  
  
  
  
  При возрастании величины «1» возрастает и величина «2», а график функции растёт вверх.
  
  
  
  
  
  При возрастании величины «1» уменьшается и величина «2», а график функции идёт вниз.
  
  
  

• 4 слайд

  Смешанные функции – это когда величина «2» то возрастает,
  то убывает в зависимости от изменений величины «1».
  

• 5 слайд

  Функцию можно нарисовать в виде графика.
  Как можно задать функцию?
  Функцию так же можно записать в виде таблицы.
  Где каждому значению одной величины соответствует значение другой величины.
  

• 6 слайд

  А можно и наоборот – по данным из таблицы построить график.
  

• 7 слайд

  Так же функция может быть задана и формулой.
  
  В таком виде: 𝒚=𝒙−𝟏
  Или таком - как принято в Математическом Анализе: 𝒚 𝒙 =𝒙−𝟏
  
  Надо учитывать, что 𝒙 – в данном случае просто указывает - от какой величины зависит искомая функция.
  Но также возможны и другие способы записи функций… 𝒇 𝒙 ;𝒛 𝒙 ;𝒛(𝒚)
   И так:
  ФУНКЦИЯ – это связь между величинами.
  ФУНКЦИЯ может быть задана в виде
  графика, таблицы или формулы.
  
  
  И так, мы немного вспомнили, что такое функция, какими они бывают, как строятся в виде графиков, записываются в виде таблиц и формул.
  

• 8 слайд

  Понятие производной
  Производную можно по праву назвать основным элементом «Математического анализа».
  Что же это такое?
  ПРОИЗВОДНАЯ – это скорость изменения функции.
  А теперь подробнее:
  Рассмотрим некоторую функцию, заданную формулой 𝒚=𝒇(𝒙)
  В начале изучения производной сразу же условимся, что мы для определения производной выбираем такие гладкие и непрерывные области определения функции в которых отсутствуют, изломы и разрывы графика.
  Именно такая функция и представлена на нашем графике.
  Любая функция может быть изображена в виде графика.
  Нарисуем примерный график нашей функции.
  

• 9 слайд

  А теперь выберем произвольную точку на графике:
  Определим её координаты на осях 0X и 0Y
  А теперь приём, который принят в «Математическом анализе», - изменим значение 𝒙 𝟎 , на небольшую величину.
  Эта величина в «Математическом анализе», называется приращением, и обозначается при помощи греческой буквы «Дэльта» - ∆𝒙.
  И этому новому значению аргумента соответствует новое значение функции
  𝒚=𝒇( 𝒙 𝟎 +∆𝒙)
  
  Разница между новым полученным значением функции и её старым значением 𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 −𝒇( 𝒙 𝟎 ) – это изменение нашей функции, и это значение также называется приращением, но в данном случае, приращением функции -
  ∆𝒚=𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 −𝒇( 𝒙 𝟎 ) – приращение функции.
  ∆𝒙 – это приращение аргумента;
  ∆𝒚 – приращение функции.
  

• 10 слайд

  Здесь надо обратить внимание, что приращение аргумента и функции могут иметь разные значения.
  Например, если мы возьмём другую точку 𝒙 𝟏 , то для неё, при том же приращении ∆𝒙 , будет другое приращение функции ∆𝒚
  В первом случае, для точки 𝒙 𝟎 – приращение функции ∆𝒚 было больше ∆𝒙, а во втором случаи, для точки 𝒙 𝟏 - приращение функции ∆𝒚<∆𝒙
  Сравнивают приращение функции с приращением аргумента
  с помощью отношения ∆𝒚 ∆𝒙
  А теперь оставим на чертеже только первую точку 𝒙 𝟎
  Поскольку ∆𝒙 величина может быть уменьшена до какой угодно малой величины, то отношение приращения функции к приращению аргумента, при ∆𝒙 стремящемся к нулю – будет стремиться к некоторой величине А
  Это записывается в таком виде:
  В точке 𝒙 𝟎 , при ∆𝒙→𝟎; ∆𝒚 ∆𝒙 →𝑨, и эту точку 𝑨 – называют ПРИРАЩЕНИЕМ функции в этой точке. И записывается следующим образом ∆𝒚 ∆𝒙 →𝒇′( 𝒙 𝟎 ) это выражение и называется - ПРОИЗВОДНАЯ
  Данная функция 𝒚=𝒇(𝒙) – называется дифференцируемая в точке 𝒙 𝟎 ,
  если у этой функции в данной точке 𝒙 𝟎 , есть производная.
  

• 11 слайд

  При изучении функций мы будем сталкиваться с функциями, заданными в виде формул. То есть для любого числа 𝒙 𝟎 , из области определения – значение числа 𝒚 – определяется по одной и той же формуле.
  А можно ли так же определить формулу для вычисления производной?
  Да МОЖНО! И посмотри, как…
  Пример: пусть задана функция 𝒚= 𝒙 𝟐
  График данной функции – Парабола – такая как мы рассматривали выше.
  Найдём производную данной функции. Для этого надо найти отношение приращения функции к приращению аргумента.
  Начнём с приращения функции:
  ∆𝒚=𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙 = 𝒙+∆𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙∆𝒙+ ∆𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟐 =𝟐𝒙∆𝒙+ ∆𝒙 𝟐
  Теперь находим отношение ∆𝑦 ∆𝑥 = 2𝑥∆𝑥+ ∆𝑥 2 ∆𝑥 = ∆𝑥(2𝑥+∆𝑥) ∆𝑥 =2𝑥+∆𝑥
  Так как ∆𝒙→𝟎, то 𝟐𝒙+∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 𝟐𝒙
  Имея формулу 𝒚= 𝒙 𝟐 мы получили формулу для вычисления производной 𝒚′=𝟐𝒙
  – что можно записать и в таком виде 𝒙 𝟐 ′=𝟐𝒙
  Это первая формула для вычисления производной, которую мы к тому же вывели сами.
  Дальше этих формул будет ещё много, но мы не будем заниматься их выведением, а просто рассмотрим, как с ними работать.
  
  

• 12 слайд

  Геометрический смысл производной
  С «Геометрическим смыслом производной» - мы познакомимся на основании представленного графика некоторой функции.
  На представленном графике есть некая функция 𝒚=𝒇(𝒙), и как мы уже знаем - любому значению аргумента 𝒙, всегда может быть определено значение функции 𝒚
  

• 13 слайд

  Так же на данном графике есть некоторая прямая, которая пересекает график нашей функции в точках A и B. Эта прямая называется «Секущая» - для данной кривой.
  Проведя дополнительные построения, мы можем записать координаты точек пересечения.
  𝑨 𝒙 𝟎 ;𝒇 𝒙 𝟎 ; 𝑩( 𝒙 𝟎 +∆𝒙;𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 )
  Так же на чертеже чётко обозначился прямоугольный треугольник ⊿𝑨𝑩𝑪
  Представленной на чертеже информации более чем достаточно для понимания Геометрического смысла производной.
  – прямая 𝑨𝑩 является гипотенузой данного треугольника, а угол 𝜶 – острый угол наклона к оси 𝟎𝑿 – исходя из чего мы можем найти 𝐭𝐠 𝜶= 𝑩𝑪 𝑨𝑪 = ∆𝒚 ∆𝒙 – также мы знаем, что 𝐭𝐠 𝜶 – угловой коэффициент. Исходя из чего, мы можем записать:
  Угловой коэффициент секущей равен отношению соответствующих приращений.
  Рассмотрим треугольник ⊿𝑨𝑩𝑪
  

• 14 слайд

  А теперь убрав всё лишнее с чертежа, начнём уменьшать расстояние между точками 𝑨 𝑩
  До тех пор, пока прямая не станет касательной к нашей функции в точке 𝑨
  При ∆𝒙→𝟎 точка 𝑩 𝒙 𝟎 +∆𝒙;𝒇 𝒙 𝟎 +∆𝒙 →𝑨 𝒙 𝟎 ;𝒇 𝒙 𝟎
  Так как секущая стремится стать касательной, то отношение приращения функции к приращению аргумента стремится к производной функции в данной точке.
  Секущая Касательная ∆𝒚 ∆𝒙 →𝒇′( 𝒙 𝟎 )
  

• 15 слайд

  Исходя из чего, мы можем сделать вывод:
  Угловой коэффициент касательной
  равен значению производной.
  А теперь запишем полное определение:
  Угловой коэффициент касательной
  к графику функции
  в точке с абсциссой 𝒙 𝟎
  равен значению производной
  данной функции в этой точке
  
  Вот так выглядит утверждение,
  которое называется – «Геометрическим смыслом производной».
  Геометрический смысл, связывает понятие производная, из математического анализа, с геометрической интерпретацией, любой кривой любой функции.
  
  
  

• 16 слайд

  Правила ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
  Правила вычисления производных
  

• 17 слайд

  Производная — это скорость изменения функции
  На рисунке — графики трёх функций.
  Как вы думаете, какая из них быстрее растёт?
  Ответ очевиден — третья.
  У неё самая большая скорость изменения,
  то есть самая бо́льшая производная.
  

• 18 слайд

  Производная функции обозначается - 𝑓′(𝑥)
  Покажем, как найти 𝑓′(𝑥) с помощью графика.
  Определим скорость изменения функции (производную функции) в точке A с абсциссой 𝑥 0 .
  Для этого проведём в этой точке касательную к графику функции.
  Производная функции 𝒇′(𝒙) в точке 𝑥 0 - равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. 𝒇 ′ 𝒙 = 𝒕𝒈 𝜶
  Обратите внимание! — в качестве угла наклона касательной мы берём угол между касательной и положительным направлением оси 0X
  Мы помним, что формула любой прямой 𝑦=𝑘𝑥+𝑏. Величина 𝑘 в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой.
  Найдём угловой коэффициент 𝒌= 𝒕𝒈 𝜶
  Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  Из треугольника AMN находим 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 = 𝒕𝒈 𝜶 = 𝑨𝑵 𝑴𝑵
  Мы получаем, что 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 = 𝒕𝒈 𝜶 =𝒌
  Запомним эту формулу! Она выражает геометрический смысл производной.
  Производная функции в точке 𝑥 0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
  Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
  Нарисован график некоторой функции - 𝑦=𝑓 𝑥 .
  

• 19 слайд

  У одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
  Проведём исследование графика представленной функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  На одних участках эта функция возрастает,
  на других — убывает, причём с разной скоростью.
  И у этой функции есть точки максимума и минимума.
  В точке А функция 𝑓 𝑥 возрастает.
  Касательная к графику, проведённая в точке А, образует острый угол 𝛼;
  с положительным направлением оси Х .
  Значит, в точке А производная положительна.
  В итоге:
  Если функция 𝒚=𝒇 𝒙 𝟎 возрастает, её производная 𝒇′ 𝒙 𝟎 (+).
  Если 𝒇 𝒙 𝟎 убывает, её производная 𝒇′ 𝒙 𝟎 (-).
  В точке В наша функция убывает.
  Касательная в этой точке образует тупой угол 𝛽,
  с положительным направлением оси Х.
  Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке В производная отрицательна.
  

• 20 слайд

  А что же будет в точках максимума и минимума?
  Мы видим, что в точках С (точка локального максимума) и D (точка локального минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
  Точка С - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «+» на «-».
  В точке D - точке минимума - производная тоже равна нулю, но её знак меняется с «-» на «+».
  Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
  Если производная 𝒇′ 𝒙 𝟎 положительна, то функция 𝒇 𝒙 𝟎 возрастает.
  Если производная 𝒇′ 𝒙 𝟎 отрицательная, то функция 𝒇 𝒙 𝟎 убывает.
  В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».
  В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «-» на «+».
  Запишем эти выводы в виде таблицы:
  

• 21 слайд

  Посмотрим, как же связана производная с поведением функции
  

• 22 слайд

  Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет.
  Это так называемая точка перегиба.
  В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю.
  Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать.
  Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.
  Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует.
  На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке F провести невозможно.
  Рассмотрим ещё 2 часто встречающихся случая.
  

• 23 слайд

  Примеры:
  𝟑∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ′ =
  𝟑∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙
  «Таблица производных» или «Правила ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ»
  𝟑∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ′ =
  𝟐 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟔 −𝟏 ′ =
  𝟔 𝒙 𝟗 −𝟐 𝒙 𝟑 ′ =
  𝟔∙𝟗 𝒙 𝟖 −𝟐∙𝟑 𝒙 𝟐 =
  𝟔 𝒙 𝟐 (𝟗 𝒙 𝟔 −𝟏
  𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙 ′ =
  𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝟐
  𝟑𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ′ =
  𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙+𝟑 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
  𝒙 𝟑 𝒙 ′ =
  𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝟑 ′ =
  𝒙 𝟏− 𝟏 𝟑 ′ =
  𝒙 𝟐 𝟑 ′ =
  𝟐 𝟑 𝒙 𝟐 𝟑 −𝟏 =
  𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟑 =
  𝟐 𝟑 𝟑 𝒙
  𝟐 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟔 −𝟏 ′ =
  𝟏𝟖 𝒙 𝟖 −𝟔 𝒙 𝟐 +𝟑𝟔 𝒙 𝟖 =
  =𝟓𝟒 𝒙 𝟖 −𝟔 𝒙 𝟐 =
  𝟔 𝒙 𝟐 (𝟗 𝒙 𝟔 −𝟏
  𝟐 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 ′ =
  𝟐 𝒙 ∙ 𝐥𝐧 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝟐 ∙ 𝟐 𝒙 =
  = 𝟐 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 + 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝟐 ∙ 𝟐 𝒙 =
  𝟐 𝒙 ( 𝐥𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝟐
  𝒙 𝟑 𝒙 +𝟏 ′ =
  𝟏 𝟑 𝒙 +𝟏 − 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝟑 −𝟏 ∙𝒙 𝟑 𝒙 +𝟏 𝟐 =
  𝟐 𝟑 𝟑 𝒙 +𝟏 𝟑 𝒙 +𝟏 𝟐
  𝟐∙𝟑 𝒙 𝟐 𝟑 𝒙 𝟔 −𝟏 +𝟑 ∙𝟔𝒙 𝟓 ∙𝟐 𝒙 𝟑 =
  

• 24 слайд

  Физический (механический) смысл производной.
  Продемонстрируем механический смысл производной
  на примере перемещения некоторой точки в пространстве
  с некоторой скоростью и ускорением.
  Скорость - характеристика механического движения.
  Для определения координаты тела в любой момент времени, (что является основной задачей механики), необходимо знать характеристики движения:
  Начальную координату 𝒙 𝟎 ;
  Скорость в любой момент времени 𝒗;
  Время 𝒕;
  Перемещение 𝑺;
  Ускорение 𝒂;
  При равномерном движении, когда скорость не меняется, 𝒗 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
  Скорость 𝒗 равняется отношению пройденного пути ко времени, за который этот путь был пройден 𝒗 = 𝑺 𝒕
  
  

• 25 слайд

  Скорость равномерного движения – физическая величина, равная отношению перемещения, ко времени, за которое это перемещение произошло. 𝒗 = 𝑺 𝒕
  Если же движение не равномерное 𝒗 ≠𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕, то его можно характеризовать средней скоростью 𝒗 ср = 𝑺 𝒕
  Но средняя скорость не позволяет определять
  координату в любой момент времени.
  Потому что не даёт момент скорости
  в данный момент времени.
  Что такое скорость
  в данный момент времени?
  Как пример – это спидометр автомобиля,
  он показывает, скорость автомобиля
  в данный момент времени
  в данной точке траектории.
  
  

• 26 слайд

  Именно мгновенную скорость нужно знать, чтобы определить координату в любой момент времени. И решить основную задачу механики.
  Как определить мгновенную скорость?
  Если в формуле 𝒗 ср = 𝑺 𝒕 время 𝒕 взять очень маленькое ∆𝒕→𝟎
  – а перемещение взять как изменение перемещения за этот промежуток времени, то изменения перемещения к промежутку времени, даст значение скорости в данный момент времени – «мгновенная скорость». 𝒗 мгн = ∆𝑺 ∆𝒕 при ∆𝒕→𝟎
  Мгновенная скорость – это средняя скорость, измеренная за очень малый промежуток времени. 𝒗 мгн = ∆𝑺 ∆𝒕
  Для нахождения мгновенной скорости точки, в какой то определённый промежуток времени, нужно найти производную функции
  перемещения 𝑺′( 𝒕 𝟎 ) и подставить в неё соответствующее значение времени (значение 𝒕 𝟎 ).
  Соответственно 𝒗 мгн ( 𝒕 𝟎 )=𝑺′( 𝒕 𝟎 ) – мгновенная скорость
  в момент времени 𝒗 мгн ( 𝒕 𝟎 ) - это производная функции
  перемещения 𝑺′( 𝒕 𝟎 ) - в момент времени 𝒕 𝟎
  
  
  

• 27 слайд

  Ускорение - Есть ещё одна характеристика механического движения.
  Ускорение – физическая величина, которая характеризует изменение скорости в единицу времени 𝒂 = 𝒗 − 𝒗 𝟎 𝒕 = ∆𝒗 𝒕
  В общем случае, движение может быть таким, когда
  ускорение 𝒂, непостоянно, то есть 𝒂 ≠𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
  Как определить в таких условиях ускорение 𝒂 в данный момент времени?
  Для этого в формуле ускорения нужно взять очень малый промежуток времени практически стремящийся к нулю ∆𝒕→𝟎, тогда отношение ∆𝒗 ∆𝒕 это и есть ускорение 𝒂 в данный момент времени ∆𝒗 ∆𝒕 = 𝒂 =𝒗′(𝒕)
  Следовательно, ускорение тела есть производная скорости - по времени
  
  
  

• 28 слайд

  При равномерно ускоренном движении, перемещение можно посчитать по формуле 𝑺= 𝒗 𝟎 𝒕+ 𝒂 𝒕 𝟐 𝟐 ; это формула для перемещения, когда в ней стоят уже проекции векторов на ось и ускорение направлено в ту же сторону,
  что и скорость.
  Так как скорость это производная перемещения от времени 𝒗=𝑺′ то подставив вместо 𝑺, соответствующую формулу (𝒗 𝟎 𝒕+ 𝒂 𝒕 𝟐 𝟐 ) получим выражение
  𝒗=( 𝒗 𝟎 𝒕+ 𝒂 𝒕 𝟐 𝟐 )′ то есть скорость это производная от перемещения.
  Взяв эту производную получим что 𝒗= 𝒗 𝟎 𝒕+ 𝒂 𝒕 𝟐 𝟐 ′ = 𝒗 𝟎 +𝒂𝒕
  это известная вам формула скорости, при равноускоренном движении.
  Вы видите, что, использовав аппарат алгебры, мы можем гораздо проще и быстрее решать задачи кинематики.
  

• 29 слайд

  С помощью этих утверждений можно решать различные задачи.
  Задача
  Перемещение тела в течении 12 с., описывает формула 𝑺=𝟔 𝒕 𝟐 +𝟓𝒕
  Найдите скорость и ускорение через 5 с., после начала движения.
  Как можно охарактеризовать это движение?
  Решение
  Задача эта конечно учебная. Но не противоречит ли она реальности?
  Проверим два следующих предположения:
  В начальный момент времени (движения), перемещение, также,
  как и скорость, должны быть равны нулю. 𝒗 𝒕 нач =𝑺 𝒕 нач =𝟎
  (Подставив вместо - 𝒕 – число - 𝟎 – и подсчитав получим, что 𝑺 𝒕 нач при 𝒕 нач =𝟎 равно 𝑺 𝒕 нач =𝟎, что и было записано выше);
  При увеличении времени 𝒕 пройденный путь 𝑺 должен увеличиваться.
  Так ли это?
  По формуле сразу видно, что это квадратичная функция, графиком которой является парабола. И построив параболу, легко убедиться, что на отрезке времени 𝟎<𝒕≤𝟏𝟐 при увеличении времени 𝒕, путь 𝑺 тоже будет увеличиваться.
  
  

• 30 слайд

  И так! Задача действительно не противоречит реальности, значит можно найти скорость и ускорение.
  Находим скорость 𝒗 (Скорость 𝒗 это производная функции, выражающая зависимость перемещения 𝑺 от времени 𝒕.)
  𝒗 𝒕 =𝑺′(𝒕);𝒗 𝒕 = 𝟔 𝒕 𝟐 +𝟓𝒕 ′ =𝟔∙𝟐𝒕+𝟓=𝟏𝟐𝒕+𝟓
  Подставив вместо 𝒕 заданное в условии время 5, получим
  𝒗 𝟓 =𝟏𝟐∙𝟓+𝟓=𝟔𝟎+𝟓=𝟔𝟓 (м/с.)
  2. Находим ускорение 𝒂 (Ускорение 𝒂 это производная функции, выражающеая зависимость скорости 𝒗 от времени 𝒕.)
  𝒂 𝒕 = 𝒗 ′ 𝒕 = 𝟏𝟐𝒕+𝟓 ′ =𝟏𝟐;
  Вычислив ускорение 𝒂 𝒕 как производную скорости 𝒗 ′ 𝒕 мы получили,
  что в любой промежуток времени ускорение 𝒂 𝒕 =𝟏𝟐
  Соответственно и при 𝒕=𝟓 ускорение то же будет равно 𝒂 𝟓 =𝟏𝟐 м/ с 𝟐
  Ответ.
  𝒗 𝟓 =𝟔𝟓 м/с. 𝒂 𝟓 =𝟏𝟐 м/ с 𝟐 .Равноускоренное движение.
  
  

• 31 слайд

  Исследование и построение графиков функций
  при помощи производной.
  Любой процесс, развивающийся во времени, можно представить в виде графика и описать соответствующей формулой или формулами.
  Давайте рассмотрим некоторую функцию и её свойства.
  Свойства функции 𝒚=𝒇(𝒙)
  Область определения 𝑫 𝒚 ; 𝑫(𝒇);
  Область значений 𝑬(𝒚);
  Чётность (нечётность);
  Нули функции;
  Промежутки знакопостоянства;
  Экстремумы;
  Промежутки монотонности.
  
  

• 32 слайд

  1. Область определения
  Это множество всех допустимых значений аргумента для функции 𝒚=𝒇(𝒙) и обозначаются области определения как 𝑫(𝒚) или же 𝑫(𝒇)
  Какая же разница между 𝑫(𝒚) и 𝑫 𝒇 . Если мы говорим о области определения формулы 𝒇 которой задана функция, то пишут 𝑫 𝒇 , а если при задании функции
  ещё как то ограничивается область определения и уже получают функцию по формуле,
  но с дополнительными ограничениями, то пишут 𝑫(𝒚) .
  Записывают область определения как промежуток 𝑫 𝒚 =( )
  и этот промежуток (тот что в скобках), имеет начало и конец.
  2. Область значений 𝑬(𝒚) это уже множество всех возможных значений, которые принимает зависимая переменная 𝒚 . Область значений записывают то же в виде промежутка.
  Как пример рассмотрим,
  известную нам функцию - 𝒚= 𝒔𝒊𝒏 𝒙
  Эта функция определена для всех значений - 𝒙 ,
  значит её область определений,
  𝑫 𝒚 =(−∞;+∞), но - 𝒔𝒊𝒏 𝒙 любому числу
  ставит в соответствие число от (−𝟏) до (+𝟏) ,
  значит область значений этой функции будет
  𝑬 𝒚 =[−𝟏;+𝟏] – включая граничные точки.
  

• 33 слайд

  3. Чётность (нечётность) функции
  Это свойство, можно назвать свойством симметричности функции.
  И оно характеризует именно ту форму, которую задаёт функция 𝒚=𝒇(𝒙)
  эта симметричность хорошо иллюстрируется на графике.
  Где представлена некоторая функция, график которой симметричен
  оси – 0Y, такая функция будет называться – чётная функция.
  Проверяется чётность простым образом, вместо (𝒙) подставляют в формулу (−𝒙) и, если после преобразований получают снова функцию 𝒇(𝒙) то значит, что рассматриваемая функция является чётной. 𝒇 𝒙 =𝒇 −𝒙
  Нечётная функция обладает симметричностью другого рода.
  График такой функции симметричен началу координат.
  Проверяется нечётность аналогичным образом, вместо (𝒙) подставляют в формулу (−𝒙) и если после преобразований получают функцию 𝒇 −𝒙 =−𝒇(𝒙) то значит,
  что рассматриваемая функция является нечётной.
  

• 34 слайд

  А бывают такие функции, которые являются ни чётными и не нечётными
  4. Нули функции – это такие значения аргумента, для которых значение функции равно нулю.
  Что бы найти нули функции,
  нужно приравнять функцию 𝒇
  к нулю𝒇 𝒙 =𝟎.
  А графически, нули функции
  представлены точками в которых
  график пересекает ось - 𝟎𝑿
  На представленном рисунке график пересекает ось абсцисс в точках 𝒙 𝟏 и 𝒙 𝟐 , которые и будут являться нулями функции.
  А ординаты этих точек равны нулю, так как точки лежат на оси 𝟎𝑿.
  Нули функций разбивают область определения на несколько промежутков.
  Эти промежутки называются промежутками знакопостоянства функции.
  Промежутки знакопостоянства это такие промежутки,
  в которых изменение аргумента не приводит к изменению знака функции.
  

• 35 слайд

  5. Промежутки знакопостоянства бывают 2-х видов:
  Первого вида – это когда значение функции больше нуля. График находится выше оси 𝟎𝑿
  И второго вида – это когда значение функции меньше нуля. График функции находится ниже оси 𝟎𝑿
  Для того, чтобы определить промежутки знакопостоянства нужно решить
  2 неравенства
  𝒇 𝒙 >𝟎
  𝒇 𝒙 <𝟎
  

• 36 слайд

  6. Экстремумы функции – это такие особые значения аргумента для которых значение функции будет максимальным или минимальным среди всех значений аргумента из некоторой окрестности экстремальной точки.
  Рассмотрим показанную на чертеже 1-ю точку с координатами 𝒙 𝟎 и 𝒇 𝒙 𝟎
  Если для этой точки значение функции 𝒇 𝒙 𝟎 в некотором небольшом диапазоне
  значений аргумента 𝒙 𝟎 будет максимальным, то такая точка называется
  – локальный максимум.
  Теперь рассмотрим показанную на чертеже 2-ю точку с координатами
  𝒙 𝟏 и 𝒇 𝒙 𝟏 Если для этой точки значение функции 𝒇 𝒙 𝟏
  в некотором небольшом диапазоне значений аргумента 𝒙 𝟏
  будет минимальным, то такая точка называется – локальный минимум.
  7. Промежутки монотонности функции – бывают 2-х видов:
  Промежутки возрастания
  – это такие промежутки возрастания аргумента в которых
  большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
  Промежутки убывания - это такие промежутки возрастания аргумента в которых большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
  Если рассмотреть представленный график, то сразу видно, что от точки 𝒙 𝟏 до точки 𝒙 𝟐 функция возрастает и такой отрезок 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 называется – промежуток возрастания.
  А от точки 𝒙 𝟐 до точки 𝒙 𝟑 функция убывает то такой отрезок 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑
  называется – промежуток убывания.
  

• 37 слайд

  При исследовании первых 5-и свойств функции, достаточно только самой формулы, которой задана функция.
  Но при исследовании 6-го свойства – Экстремумы функции.
  и 7-го свойства - Промежутки монотонности функции.
  Только самой формулы, которой задана функция, бывает и не достаточно. Вычисления могут быть очень сложными, и громоздкими.
  И вот ту нам на помощь приходит производная 𝒚′=𝒇′(𝒙)
  Для того, чтобы исследовать функцию на экстремумы и монотонность
  – достаточно просто сравнить производную с нулём.
  Если говорить о сравнении с нулём производной, то нулём можно сравнивать именно это отношение ∆𝒚 ∆𝒙 и тут возможны такие 3-и случая:
  ∆𝒚 ∆𝒙 >𝟎 (+)
  ∆𝒚 ∆𝒙 <𝟎 (−)
  ∆𝒚 ∆𝒙 =𝟎
  

• 38 слайд

  Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
  Но сперва разберёмся от чего же зависит знак этого отношения ∆𝒚 ∆𝒙
  Ранее мы всегда рассматривали случаи, когда ∆𝒙 всегда положительное число.
  Действительно ∆𝒙 – это мера увеличения аргумента, соответственно величина заведомо положительная.
  Значит знак отношения ∆𝒚 ∆𝒙 целиком зависит от приращения функции ∆𝒚 .
  Рассмотрим случай, когда ∆𝒚>𝟎
  У нас есть точка (𝒙) и точка (𝒙+∆𝒙) им соответствуют значения функции 𝒇(𝒙) и 𝒇(𝒙+∆𝒙)
  Составим приращение функции ∆𝒚=𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙
  Поскольку 𝒇(𝒙+∆𝒙) больше 𝒇(𝒙) то их разность будет (+).
  Производная то же будет положительная.
  А график функции,
  в окрестности точки 𝒙 ,
  будет линейно
  направлен вверх.
  То есть функция
  будет возрастающая.
  Вывод можно сделать такой: Если приращение функции больше нуля 𝒇′(𝒙)>𝟎 – значит функция возрастает.
  А приращение функции у нас определяет отношение, и тем самым отношение, определяет производную.
  Окончательный вывод состоит в том, что, если в конкретной точке (𝒙) производная 𝒇′(𝒙)>𝟎 - тогда функция возрастает.
  

• 39 слайд

  Рассмотрим случай, когда ∆𝒚<𝟎
  Рассуждения будут аналогичными.
  У нас есть точка (𝒙) - и точка (𝒙+∆𝒙)
  им соответствуют значения функции 𝒇(𝒙) и 𝒇(𝒙+∆𝒙)
  Составим приращение функции ∆𝒚=𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙
  Поскольку 𝒇(𝒙+∆𝒙) меньше 𝒇 𝒙 , то их разность
  будет (−) отрицательная.
  Производная то же будет отрицательная.
  А график функции, в окрестности точки (𝒙)
  будет линейно направлен виз.
  То есть функция будет убывающая.
  А график функции,
  в окрестности точки (𝒙),
  будет линейно направлен вниз.
  То есть функция будет убывающая.
  Вывод можно сделать такой: Если приращение функции меньше нуля 𝒇′(𝒙)<𝟎 – значит функция убывает.
  А приращение функции у нас определяет отношение, и тем самым отношение, определяет производную.
  Окончательный вывод состоит в том, что, если в конкретной точке (𝒙) производная 𝒇′(𝒙)<𝟎
  – тогда функция убывает.
  
  

• 40 слайд

  Рассмотрим случай, когда ∆𝒚=𝟎
  Для двух различных
  значений аргумента,
  точка (𝒙) и точка (𝒙+∆𝒙)
  значения функций
  будут совпадать
  𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙+∆𝒙)
  То есть они находиться
  в одной и той же точке
  на оси - 𝟎𝒀
  Сказать, что при изменении аргумента изменение функции не происходит, не совсем верно.
  Изменение может иметь место, но оно настолько мало,
  что его не видно на графике.
  Соответственно ∆𝒚=𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)≈𝟎
  В этом случае график будет представлять собой линию, которая будет изогнута или так:
  Соответственно функция будет
  иметь этой точке экстремум –
  локальный минимум.
  Или так:
  Соответственно функция будет
  иметь в этой точке экстремум – локальный максимум.
  Выводы:
  Если в некоторой точке производная функции 𝒇 ′ 𝒙 =𝟎
  - эта функция имеет экстремум – max или min.
  Если в некоторой точке производная функции 𝒇 ′ 𝒙 <𝟎
  - эта функция убывающая.
  Если в некоторой точке производная функции 𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  - эта функция возрастающая.
  

• 41 слайд

  А теперь используя вышеизложенные утверждения рассмотрим некоторую задачу.
  Задача: Исследовать, описать свойства и построить график функции 𝒚= 𝒙 𝟒 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟖
  Решение:
  Область определения. Так как функция является многочленом, то областью определения является
  вся числовая ось 𝑫 𝒚 =𝑫 𝒇 =(−∞;+∞)
  Область значений - 𝑬 𝒚 = для данного случая, область знамений, проще описать, используя график.
  Чётность (нечётность) - Для того, чтобы проверить, чётность или нечётность данной функции, нам нужно в формулу вместо (𝒙) подставить −𝒙 . Так как у нас чётные степени, то минус просто уходит.
  𝒚= (−𝒙) 𝟒 −𝟐(− 𝒙) 𝟐 −𝟖= 𝒙 𝟒 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟖 Значит функция у нас – чётная.
  Нули функции. Для определения нулей функций, нужно приравнять правую часть формулы к нулю
  𝒙 𝟒 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟖=𝟎
  Это биквадратное уравнение и в нём можно ввести замену переменной 𝒙 𝟐 =𝒕 (и обязательное замечание, 𝒕 должно быть обязательно положительным числом 𝒙 𝟐 =𝒕>𝟎 , потому что это квадрат числа). Проведя замену переменных получим уравнение вида 𝒕 𝟐 −𝟐𝒕−𝟖=𝟎 обычное квадратное уравнение. Его корни ты можешь найти, используя формулы или по теореме «Виета».
  Корни будут такие: 𝒕 𝟏 =−𝟐; - по сколько значение нам не подходит (зачёркиваем его)
  и 𝒕 𝟐 =𝟒 – это именно тот корень, который мы выбираем.
  Поскольку 𝒕= 𝒙 𝟐 =𝟒 то соответственно 𝒙 𝟏 =𝟐 , и 𝒙 𝟐 =−𝟐 значит Функция имеет два нуля.
  Промежутки знакопостоянства. Для определения знакопостоянства нужно решить 2 неравенства:
  𝒚>𝟎 и 𝒚<𝟎. В данном конкретном случае мы не будем решать эти неравенства, а промежутки непостоянства определим из построенного графика.
  

• 42 слайд

  6. Экстремумы.
  Для нахождения экстремума функции нужно найти производную 𝒇 ′ 𝒙 = 𝒙 𝟒 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟖 ′ = 𝟒𝒙 𝟑 −𝟒𝒙
  Теперь приравниваем найденную производную к нулю 𝟒𝒙 𝟑 −𝟒𝒙=𝟎
  Решим данное уравнение и найдём его корни 𝟒𝒙 𝒙 𝟐 −𝟏 =𝟒𝒙(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟏)=𝟎
  Данное уравнение имеет 3 решения – соответственно 3 точки экстремумов: 𝒙 𝟏 =𝟎 ; 𝒙 𝟐 =𝟏 ; 𝒙 𝟑 =−𝟏
  7. Промежутки монотонности. Для нахождения промежутков монотонности нужно решить 2 неравенства.
  Производная меньше нуля и производная больше нуля: 𝒚′>𝟎 и 𝒚 ′ <𝟎
  Выписываем первое неравенство 𝟒𝒙 𝟑 −𝟒𝒙>𝟎 поскольку у нас производная уже разложена на множители 𝟒𝒙(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟏)>𝟎 это неравенство удобно решить методом интервалов.
  Метод интервалов поможет нам сразу определить где функция больше нуля и где она меньше нуля.
  Отметим на оси - 𝟎𝑿 - наши точки экстремумов
  
  Точки экстремумов разбивают ось 𝟎𝑿 на 4 интервала
  И поскольку кратных корней то тесть кратных нулей, наше выражение в левой части неравенства не имеет – значит знаки будут просто чередоваться (изменяться по очереди).
  Определяем знак в крайнем правом промежутке.
  Выбираем, например, число 𝟐
  Так как везде знак + , то в крайне правом промежутке знак то же будет +
  А теперь чередуем знаки
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 43 слайд

  Описать промежутки монотонности нам поможет следующая таблица
  

• 44 слайд

  А теперь построим график.
  Функция является чётной, значит её график будет идти
  симметрично относительно относительно оси 𝟎𝒀
  В первую очередь нам надо определиться
  как пройдёт график относительно оси 𝟎𝑿
  – высоко или низко.
  Для этого решим уравнение относительно
  точек экстремума
  𝒇 −𝟏 = (−𝟏) 𝟒 − 𝟐 −𝟏 𝟐 −𝟖=−𝟗
  𝒇 𝟎 = (𝟎) 𝟒 − 𝟐 𝟎 𝟐 −𝟖=−𝟖
  𝒇 𝟏 =𝒇 −𝟏 =−𝟗
  Теперь нарисуем оси координат таким образом,
  чтобы мы могли разместить на них точки
  найденные при решении уравнения
  относительно точек экстремума.
  
  

• 45 слайд

  Теперь отметим точки экстремумов на график
  Теперь отметим на оси 𝟎𝑿 точки нулей
  

• 46 слайд

  Теперь через эти точки проведём плавную линию
  Теперь на чертеже есть график нашей функции. Если помнишь, у нас ещё остались свойства, которые были не описаны, и которые мы собирались описать при помощи готового графика.
  Область значений 𝑬(𝒚) – это все те значения, которые принимает зависимая переменная. Значения определяются как проекция графика на ось ординат 𝟎𝒀
  Как видим из графика, нижняя точка (−𝟗), а вверх график уходит в (+∞)
  и записывается это так 𝑬 𝒚 =[−𝟗;+∞).
  Область значений функции от (−𝟗) включая (−𝟗) до (+∞)
  Промежутки знакопостоянства – это тогда, когда:
  𝒚>𝟎 – при 𝒙∈ −∞;−𝟐 ∪ 𝟐;+∞
  𝒚<𝟎 – при 𝒙∈(−𝟐;+𝟐)
  Крайние точки в обоих случаях мы не включаем, так как точки (−𝟐) и (𝟐)
  это точки где значение функции равно нулю, а мы рассматриваем
  только промежутки больше и меньше нуля.
  И так, свойства функции описаны, график построен,
  мы выполнили сейчас ту задачу, которой занимается математический анализ.
  Мы описали свойства данной функции.
  

• 47 слайд

  Как в проведенном исследовании участвует производная?
  Какова роль производной при исследовании свойств функции?
  Производная помогает описывать экстремумы функции,
  или же её возрастание и убывание.
  Для нахождения экстремумов (локальных минимумов и максимумов) необходимо найти значения аргумента, при которых производная равна нулю.
  Для определения промежутков монотонности необходимо решить неравенство, составленное при помощи производной.
  Все остальные свойства исследуются при помощи самой функции, при помощи формулы 𝒇(𝒙)