Презентация на тему "Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений и разрешимость дифференциальных включений"

• 1 слайд

  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина» Институт математики, физики и информатики Кафедра алгебры и геометрии Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений и разрешимость дифференциальных включений Научный руководитель: Доцент, к. ф.-м. н. Панасенко Елена Александровна Тамбов 2015 Дымова Наталия Владимировна

• 2 слайд

  Актуальность темы Теория многозначных отображений — это интенсивно развиваемая в последние годы область математики, находящаяся на стыке топологии, теории функций действительного переменного и нелинейного функционального анализа. При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, принцип неподвижных точек. В настоящее время существуют нелинейные задачи (теория экстремальных задач, математическая экономика, вариационные неравенства и т.д.) для исследования которых широко используется теория многозначных отображений.

• 3 слайд

  Основные обозначения сфера открытый шар замкнутый шар дополнение к множеству М замыкание множества М расстояние от точки до множества полуотклонение по Хаусдорфу расстояние по Хаусдорфу между множествами

• 4 слайд

  и - множества всех непустых компактных и непустых замкнутых подмножеств пространства Теорема. Функция задает метрику в пространствах и . Определение. Пусть дано отображение Точка называется неподвижной точкой отображения, если

• 5 слайд

  Неподвижная точка является одним из самых простых и фундаментальных понятий, оно требует лишь представления о множестве и отображении. Существование неподвижных точек отображения зависит как от свойств отображения, так и от свойств самого пространства. В диссертации приводятся основные известные теоремы о существовании неподвижных точек отображений. Сначала рассматривается теорема Банаха, которая содержит конструктивный метод нахождения неподвижной точки.  Далее теоремы Брауэра и Шаудера, являющиеся основной для некоторых более общих теорем Затем переходим к рассмотрению многозначных отображений.

• 6 слайд

  Многозначные отображения в метрических пространствах. Пусть X и Y - метрические пространства. Обозначим через множество всех подмножеств мн-ва Y. Всякое отображение называется многозначным отображением. В этом случае каждой точке сопоставляется некоторое непустое подмножество множества Y. Точка называется неподвижной точкой отображения , если .

• 7 слайд

  Принцип Банаха. Если - сжимающее многозначное отображение, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Теорема Какутани. Пусть Х – банахово пространство, К – непустое компактное выпуклое множество в Х, а . многозначное отобр-ние, удовлетворяющее условиям: для каждой точки множество является непустым выпуклым подмножеством множества К; отображение F замкнуто. Тогда отображение F имеет неподвижную точку.

• 8 слайд

  Теорема Надлера. Пусть Х — полное метрическое пространство, многозначное отображение. Пусть существует число такое, что выполнены следующие условия: . для любой точки пересечение для любых . и справедливо нер-во Тогда для любого положительного числа существует неподвижная точка отобр-ния F такая, что

• 9 слайд

  Неподвижные точки многозначных отображений, не являющихся непрерывными в метрике Хаусдорфа Теорема. Пусть задано отобр-ние ,где метрическое пр-во Х полное. Пусть существуют такие отображения . и , что для многозначного отображения найдутся , при которых выполнено: множество непусто и замкнуто в Х при любом отображение является k - сжатием на шаре имеет место неравенство

• 10 слайд

  Пусть, далее, для любого множество либо пусто, либо для него справедливо неравенство . Тогда для каждого r, такого, что отображение F имеет неподвижную точку . Для исследования уравнений с помощью данной теоремы важно суметь выбрать отображения . Отображение является улучшением отображения F, если справедливо соотношение

• 11 слайд

  Следствие. Пусть метрическое пространство X - полное, .Пусть существуют такие, что: множество непусто и замкнуто при любом . ; для любых выполнено имеет место неравенство Тогда для каждого r, удовлетворяющего неравенству . отоб-ние F имеет неподвижную точку .

• 12 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ