Презентация по алгебре (8 класс) на тему "Какие уравнения называются квадратными"

Какие уравнения называются квадратными.

Выполните  задания.

1. Вычислите:

а) 3² =          б) 7² =          в) 12² =           г) 39² =  

д) (–3)² =     е) (–7)² =      ё) (–12)² =      ж) (–39)² =

2. Решите уравнение:

а) х² = 3²   б) х² = (–3)²        в) х² = 10²     г) х² = (–10)²   

            д) х² = 9                            е) х² = 100      

Решая уравнения второй строки, мы применяли свойство квадратного корня = |x|. То есть

если х ≥ 0, то = x;

если х < 0, то = –x.

«Кто ничего не замечает,

тот ничего не изучает,

тот вечно хнычет и скучает»

(Роман  Сеф)

Решим задачу.

Площадь прямоугольника равна 48 см². Одна из его сторон на 8 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

1. Изобразите в тетрадях прямоугольник и выберите его меньшую сторону. Обозначьте её за х см.

2. Запишите длину большей стороны, выразив её через меньшую сторону и разницу между ними.

3. Вспомните теорему о площади прямоугольника, запишите формулу.

4. Составьте математическую модель (уравнение) для площади данного прямоугольника с помощью составленных выражений, подставив их в формулу площади прямоугольника, а вместо площади – её значение.

S = a ∙ b

 

       48 = (х + 8) ∙ х

Перепишем полученное уравнение в привычном виде и решим его.

(х + 8) ∙ х = 48,

х² + 8х = 48,

х² + 8х – 48 = 0.

Формула сокращенного умножения квадрат суммы:

(n + m)² = n² + 2nm + m²

В нашем уравнении есть х² + 8х или х² + 2∙х∙4.

                                                                   n² + 2nm + m²

Видно, до полной формулы не хватает слагаемого 4².

Добавим это слагаемое и вычтем его одновременно в левой части уравнения, при этом значение выражения не изменится.

х² + 8х – 48 = х² + 8х + 4² – 4² – 48 =

= х² + 2∙х∙4 + 4² – 16 – 48 = (х + 4)² – (16 + 48) =

= (х + 4)² – 64.

Уравнение примет вид:  (х + 4)² – 64 = 0.

Такое преобразование выражения называется выделением квадрата двучлена.

Найдем его корни.    

(х + 4)² = 64,

 = ,

|(х + 4)| = 8,

х + 4 = –8     или     х + 4 = 8,

х = –12     или     х = 4.

За х см мы приняли меньшую сторону прямоугольника. Но поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, то подходит только корень, равный 4 см. Длина большей стороны будет 12 см.

Уравнение х² + 8х – 48 = 0, составленное по условию задачи, называется      (каким?)     .

В математике для записи коэффициентов перед переменной в уравнениях в общем виде применяют малые буквы латинского алфавита, часто начиная с первой и по порядку. Придумайте запись квадратного уравнения в общем виде.

Сравните свои записи с формулой в учебнике (п. 3.1, стр. 123)!

Определение.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + c = 0, где а, b и с – произвольные числа, причём а ≠ 0.

Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.

Число а называют старшим (первым) коэффициентом, b – вторым  коэффициентом, а с – свободным членом.

В уравнении х² + 8х – 48 = 0 а = 1, b = 8, c = – 48.

Примеры квадратных уравнений:

5х² – 6х + 10 = 0,    3х² – 7х = 0

– х² + х – 4,5 = 0,    х²– 32 = 0

Выпишите коэффициенты квадратного уравнения, пользуясь схемой:

5	х2	–	6	х	+	10	=	0
5	х2	+	(–6)	х	+	10	=	0
а	х2	+	b	х	+	c	=	0

Квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 1, называют приведённым (а = 1).

Коэффициент, равный 1, в математике не принято писать  1х² = х²!

Выполнить  № 423, 424 (б), 425 (б,г)

Оцените свои успехи:

+ + +		я всё понял, поэтому справился со всеми заданиями!
+ – +		я не всё понял, поэтому справился не со всеми заданиями!
+ – –		я мало что понял, поэтому справился с малым числом заданий!
– – –		я ничего не понял, поэтому не справился даже с одним заданием!

Домашнее задание:

п. 3.1, № 424 (а,в), 425 (а,г), 430*

Краткое описание документа:

Презентация к уроку создана в текстовом редакторе, который очень быстро запускается на любом компьютере (даже второго поколения). При изучении данной темы предполагается основная цель познакомиться с квадратными уравнениями, с его общим видом. Попутно, сталкиваясь проблемой решения нового уравнения, учащиеся знакомятся с преобразованием выражения - выделение квадрата двучлена. Одновременно у учащихся формируется алгоритм действий построения математической модели по условию задачи. Для лучшего восприятия учащимся в помощь предлагается схема соответствия числовых коэффициентов квадратного уравнения коэффициентам в уравнении общего вида. Задания и вопросы составлены самостоятельно в соответствии с содержанием учебника. Инструкция по решению задачи и рисунки к ней выполнены самостоятельно.