Презентация по алгебре на тему "Геометрические доказательства формул сокращенного умножения"

• 1 слайд

  Геометрические доказательства
  Формул сокращенного умножения
  

• 2 слайд

  Обращение к истории
  Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.
  Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.
  

• 3 слайд

  Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.
  

• 4 слайд

  Введение
  Евклид все действия над рациональными числами описывал на «геометрическом» языке: сложение чисел объяснял как сложение отрезков, а их произведение выражал площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам. Так возникла называемая геометрическая алгебра.
  Числа в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а произведение их аналогично площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата).
  Рассмотрим вывод формул сокращенного умножения, выполненный средствами геометрической алгебры. При этом, как будет показано, геометрические доказательства оказываются проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.
  

• 5 слайд

  Геометрическая алгебра
  В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников. Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой, вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку. Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках. Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же “приложения площадей”. Складывать можно было только однородные величины: отрезки с отрезками, прямоугольники с прямоугольниками. Во втором случае возникали трудности, ибо для объединения двух прямоугольников в один  необходимо, чтобы у них была пара одинаковых сторон.
  

• 6 слайд

  Построим квадрат со стороной a, его площадь S1 = a².
  Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со стороной a+b, площадь которого S =(a+b)²
  Вместе с тем, площадь квадрата со стороной a+b (S) состоит из площади квадрата со стороной a (S1), площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями ab (S2, S3).  Тогда S = S1 + S2 + S3 + S4 или (a+b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
  Геометрическое доказательство формулы (a+b)²=a²+2ab+b²
  S1
  S3
  S2
  S4
  a - b
  a
  b
  

• 7 слайд

  Геометрическое доказательство формулы
  a²-b²=(a-b)(a+b)
  Построим квадрат со стороной a и разделим его на квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a-b, a и a-b, b, соответственно. Площадь фигуры, определяемая как разность площади квадрата со стороной a (S) и площади квадрата со стороной b (S1) равна сумме площадей прямоугольников со сторонами a-b, a (S2) и a-b, b (S3). 
  Тогда S - S1 = S2 + S3 или a² – b² = (a - b)a + (a - b)b = (a - b)(a + b).
  S3
  S2
  S1
  a - b
  a
  b
  

• 8 слайд

  Построим квадрат со стороной a, его площадь S1 = a².
  Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со стороной a+b, площадь которого S =(a-b)². Проведем отрезки, соединяющие концы отрезков a-b и b на каждой из сторон. Площадь квадрата со стороной a (S) состоит из площади квадрата со стороной a-b (S1), площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями (a-b)b (S2, S3). Тогда S1 = S - S2 - S3 - S4 или (a-b)2 = a2 - (a-b)b - (a-b)b - b2 = a2 – ab + b2 – ab + b2 - b2 = a2 - 2ab + b2.
  Геометрическое доказательство формулы
  (a-b)²=a²-2ab-b²
  S1
  S3
  S2
  S4
  a - b
  a
  b