Презентация по алгебре на тему "Методы решения уравнений" (11 класс)

• 1 слайд

  Общие методы решения уравнений
  

• 2 слайд

  Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x);
  Метод разложения на множители;
  Метод введения новой переменной;
  Функционально- графический метод.
  

• 3 слайд

  Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x):
  При решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения 𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒈(𝒙) (а>0, а≠1) к уравнению f(x)=g(x);
  При решении логарифмических уравнений, когда переходим от уравнения 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒈(𝒙) к уравнению f(x)=g(x);
  При решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения 𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒏 𝒈(𝒙) к уравнению f(x)=g(x).
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Когда можно применять:
  Только в том случае, когда у=h(x)- монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу.
  𝒚= 𝒙 𝟕 - возрастающая функция, поэтому от уравнения (𝟐𝒙+𝟐) 𝟕 = (𝟓𝒙−𝟗) 𝟕 можно перейти к уравнению 2х + 2 = 5х – 9
  𝒙= 𝟏𝟏 𝟑
  
  

• 5 слайд

  Когда нельзя применять:
  Когда у=h(x)- немонотонная функция, возможна потеря корней.
  Уравнение (𝟐𝒙+𝟐) 𝟒 = (𝟓𝒙−𝟗) 𝟒 нельзя заменить уравнением 2х + 2 = 5х – 9 с корнем 𝒙= 𝟏𝟏 𝟑 . Потеряли корень х = 1. Причина: 𝐲= 𝐱 𝟒 -немонотонная функция.
  Уравнение 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟕𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟕𝒙 нельзя заменить уравнением 17х = 7х
  

• 6 слайд

  Метод разложения на множители:
  Замена уравнения f(x)g(x)h(x)=0 совокупностью уравнений:
  f(x)=0;
  g(x)=0;
  h(x)=0.
  Все найденные корни проверить по ОДЗ исходного уравнения, посторонние отбросить.
  

• 7 слайд

  Пример:
  Решить уравнение
  ( 𝒙+𝟐 −𝟑)( 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟔𝒙+𝟓 −𝟏) 𝒍𝒏 𝒙−𝟖 =𝟎
  Решить совокупность уравнений
  𝒙+𝟐 −𝟑=𝟎;
  𝟐 𝒙 𝟐 +𝟔𝒙+𝟓 −𝟏=0;
  𝒍𝒏 𝒙−𝟖 =𝟎 .
  Получим корни: 𝒙 𝟏 =7; 𝒙 𝟐 =-1; 𝒙 𝟑 =-5; 𝒙 𝟒 =9.
  Проверим по ОДЗ исходного уравнения:
  𝒙+𝟐≥𝟎 𝒙−𝟖>𝟎
  𝒙 𝟏 =7; 𝒙 𝟐 =-1; 𝒙 𝟑 =-5 – посторонние корни
  Ответ: х =9.
  
  

• 8 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝒙 𝟑 −𝟕𝒙+𝟔=𝟎
  Представим слагаемое 7х в виде х +6х
  𝒙 𝟑 −𝒙−𝟔𝒙+𝟔=𝟎;
  Сгруппируем 1 и 2 слагаемые и 3 с 4:
  𝒙 𝒙 𝟐 −𝟏 −𝟔(𝒙−𝟏)=𝟎;
  Получим уравнение: х−𝟏 𝒙 𝟐 +х−𝟔 =𝟎;
  Решим совокупность: х−𝟏=0 и 𝒙 𝟐 +х−𝟔=0
  Получим корни: 𝒙 𝟏 =1, 𝒙 𝟐 =2, 𝒙 𝟑 =-3.
  Проверим корни : посторонних корней нет
  Ответ: 1, 2, -3.
  
  
  
  
  

• 9 слайд

  Метод введения новой переменной:
  Уравнение f(x)=0 преобразовать к виду p(g(x))=0;
  Ввести новую переменную 𝒖 =g(x);
  Решить уравнение p(𝒖)=0;
  Решить совокупность уравнений g(x)= 𝒖 𝟏 ; g(x)= 𝒖 𝟐 ;…; g(x)= 𝒖 𝒏 , где 𝑢 1 , 𝑢 2 ,…, 𝑢 𝑛 - корни уравнения p(𝑢)=0.
  
  
  

• 10 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝒙 𝟐 −𝒙+𝟐 + 𝒙 𝟐 −𝒙+𝟕 = 𝟐𝒙 𝟐 −𝟐𝒙+𝟐𝟏
  Введём новую переменную: 𝒖= 𝒙 𝟐 −𝒙;
  Получим уравнение: 𝒖+𝟐 + 𝒖+𝟕 = 𝟐𝒖+𝟐𝟏 ; Выполним преобразования и получим уравнение: 𝒖 𝟐 +𝟗𝒖−𝟐𝟐=𝟎
  Найдём корни уравнения: 𝒖 𝟏 =2 и 𝒖 𝟐 =-11
  Выполним проверку : 𝒖 𝟐 =-11 – посторонний корень.
  Вернёмся к исходной переменной 𝒙 𝟐 −𝒙=2.
  Решим уравнение, получим: 𝒙 𝟏 =2, 𝒙 𝟐 =-1.
  Ответ: 𝒙 𝟏 =2, 𝒙 𝟐 =-1.
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝟑 𝒙+𝟏 +𝟏 𝟕 = 𝟒 𝟑 𝒙−𝟐
  Так как 𝟑 𝒙+𝟏 =3• 𝟑 𝒙 , а 𝟑 𝒙−𝟐 = 𝟑 𝒙 ˸ 𝟑 𝟐 , то получим: 𝟑• 𝟑 𝒙 +𝟏 𝟕 = 𝟒•𝟗 𝟑 𝒙 .
  Введем новую переменную: 𝒖= 𝟑 𝒙
  Получим уравнение: 𝟑𝒖 +𝟏 𝟕 = 𝟑𝟔 𝒖 .
  Решим уравнение, получим: 𝒖 𝟏 =9 и 𝒖 𝟐 =− 𝟐𝟖 𝟑 . Вернёмся к исходной переменной: 𝟑 𝒙 =9 и 𝟑 𝒙 = − 𝟐𝟖 𝟑 . Второе уравнение не имеет корней.
  Ответ: 2.
  

• 12 слайд

  Пример:
  Решить уравнение ( 𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝟑 ) 𝟐 + 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟏 𝟏𝟎𝒙 −𝟕=𝟎. Приведём логарифмы к одному основанию :
  ( 𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝟑 ) 𝟐 = (𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ) 𝟐 = 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟐 х ;
  𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟏 𝟏𝟎𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 (𝟎,𝟏) −𝟏 (𝟏𝟎𝒙) −𝟏 =− 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝒙 =−( 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒙) =−(𝟏+ 𝒍𝒐𝒈 𝒙)
  Получаем: 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟐 х - (𝟏+ 𝒍𝒐𝒈 𝒙) - 7=0.
  Введём новую переменную: 𝒖= 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ;
  Получим: 𝟗𝒖 𝟐 −𝒖−𝟖=𝟎;
  Решим уравнение, получим: 𝒖 𝟏 =1 и 𝒖 𝟐 =− 𝟖 𝟗 .
  Вернёмся к исходной переменной: 𝒍𝒐𝒈 𝒙 =1, 𝒍𝒐𝒈 𝒙 = − 𝟖 𝟗 .
  Получим корни: 𝒙 𝟏 =10, 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝟖 𝟗 .
  Ответ: 10, 𝟏𝟎 − 𝟖 𝟗 .
  
  

• 13 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙−𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝒙 −𝟑=𝟎
  Перейдём к одной тригонометрической функции, к синусу: 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙= 𝟏− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙;
  Получаем уравнение: 𝟏− 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝒙 −𝟑=𝟎.
  Введем новую переменную: 𝐮= 𝐬𝐢𝐧 𝐱
  Решим уравнение: 𝟐𝒖 𝟐 +𝟓𝒖+𝟐=𝟎 , получим 𝒖 𝟏 =-2 и 𝒖 𝟐 =− 𝟏 𝟐 .
  Вернёмся к исходной переменной: 𝒔𝒊𝒏 𝒙 =− 𝟏 𝟐 и 𝒔𝒊𝒏 𝒙 =-2 .
  Второе уравнение корней не имеет, 𝒙= (−𝟏) 𝒏+𝟏 𝝅 𝟔 +𝝅𝒏.
  Ответ: (−𝟏) 𝐧+𝟏 𝛑 𝟔 +𝛑𝐧, 𝐧𝟄Z.
  
  
  
  

• 14 слайд

  Функционально – графический метод:
  Графический подход. Уравнение f(x)=g(x) разделить на две функции y= f(x) и y= g(x). Построить их графики в одной координатной плоскости, найти их точки пересечения, указать их абсциссы.
  Функциональный подход. Можно обойтись без построения графиков, опираясь на свойства функций.
  
  

• 15 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝒙 = 𝒙−𝟐 .
  Построим графики функций y= 𝒙 и y= 𝒙−𝟐 в одной системе координат.
  Они пересекаются в точках: А(1;1) и В(4;2)
  Значит, 𝒙 𝟏 =1, 𝒙 𝟐 = 𝟒.
  Ответ: 1, 4.
  

• 16 слайд

  Пример:
  Решить уравнение 𝒙 𝟓 +𝟓𝒙−𝟒𝟐=𝟎.
  Очевидно что х = 2. Докажем, что это единственный корень уравнения.
  Преобразуем уравнение: 𝐱 𝟓 =−𝟓𝐱+𝟒𝟐
  Замечаем, что функция y= 𝒙 𝟓 - возрастает, а функция y=−𝟓𝒙+𝟒𝟐 – убывает.
  Следовательно уравнение имеет один корень.
  Ответ: 2.