Презентация по геометрии на тему "Метод следов"

• 1 слайд

  Построение сечений:
  метод следов
  Астрахань – 2012 г.
  

• 2 слайд

  Существует три основных метода построения сечений многогранников:
  
  Метод следов.
  Метод вспомогательных сечений.
  Комбинированный метод.
  

• 3 слайд

  Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника.
  Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.
  

• 4 слайд

  Задача 1.
  Дана призма ABCDA1B1C1D1.
  Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.
  
  P
  Q
  R
  

• 5 слайд

  Задача 1.
  Рассмотрим грань АА1В1В.
  В этой грани лежат точки сечения P и Q.
  Проведем прямую PQ.
  
  

• 6 слайд

  Задача 1.
  Прямая PQ, которая принадлежит сечению, пересекается с прямой АВ в точке S1.
  

• 7 слайд

  Задача 1.
  Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  
  

• 8 слайд

  Задача 1.
  Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
  
  

• 9 слайд

  Задача 1.
  Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т.
  Аналогично получаем TU и RT.
  Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости
  грани АА1D1D.
  

• 10 слайд

  Задача 1.
  PQRTU – искомое сечение.
  
  

• 11 слайд

  Задача 2.
  Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
  

• 12 слайд

  Задача 2.
  Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки.
  Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
  
  

• 13 слайд

  Задача 2.
  Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда.
  Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S.
  Эта точка принадлежит плоскости сечения.
  
  

• 14 слайд

  Задача 2.
  Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.
  
  

• 15 слайд

  Задача 2.
  Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.
  
  

• 16 слайд

  Задача 2.
  Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.
  Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP.
  

• 17 слайд

  Задача 2.
  
  Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.
  
  

• 18 слайд

  Задача 3.
  На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани ВСВ'С'.
  

• 19 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС').
  

• 20 слайд

  Задача 3.
  Находим точки В'' и С'' , в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ' и СС'. Точки В'' и С'' - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ' и СС'.
  

• 21 слайд

  Задача 3.
  Так как точки В'' и Р лежат в плоскости (АВВ'), то прямая В''Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В''Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.
  
  

• 22 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС'), то прямая РС'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').
  
  

• 23 слайд

  Задача 3.
  Находим точку V, в которой прямая РС'' пересекает ребро А'С'. Это след плоскости (PQR) на ребре А'С'.
  
  

• 24 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Q и V лежат в плоскости (А'В'С'), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС.
  
  Итак, мы получили многоугольник QB''PV - искомое сечение.
  

• 25 слайд

  Задача 4.
  На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани А'В'С‘.
  
  

• 26 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Q и R лежат в плоскости (А'В'С'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А'В'С').
  

• 27 слайд

  Задача 4.
  Находим точки D' и Е', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А'В' и А'С'. Так как точка D' лежит на ребре А'В', отрезок Е’D' - след плоскости (PQR) на грани А'В'С'.
  

• 28 слайд

  Задача 4.
  Так как точки D' и P лежат в плоскости (АВВ'), то прямая D'P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ'), а отрезок D'P - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.
  
  

• 29 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Р и Е' лежат в плоскости (АСС'), то в этой плоскости лежит прямая РЕ'. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').
  
  
  

• 30 слайд

  Задача 4.
  Находим точку К. Так как точка К лежит на ребре СС', то отрезок РК - это след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.
  
  

• 31 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Q и К лежат в плоскости (ВСС'), то прямая QК лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'), а отрезок QК- след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'. Итак, мы получили многоугольник QD'РК - это и есть искомое сечение.
  

• 32 слайд

  Спасибо за внимание!