Презентация по геометрии Вписанные и описанные конусы" по теме " (11 класс )

• 1 слайд

  Пирамида, вписанная в конус
  Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.
  Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.
  

• 2 слайд

  Упражнение 1
  Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  Ответ:
  

• 3 слайд

  Упражнение 2
  Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  Ответ:
  

• 4 слайд

  Упражнение 3
  Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.
  Ответ: 1.
  

• 5 слайд

  Пирамида, описанная около конуса
  Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.
  В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.
  

• 6 слайд

  Упражнение 1
  Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  Ответ:
  

• 7 слайд

  Упражнение 2
  Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  Ответ: 2.
  

• 8 слайд

  Упражнение 3
  Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.
  Ответ:
  

• 9 слайд

  Сфера, вписанная в конус
  Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.
  В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.
  Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле
  где S – площадь, p – полупериметр треугольника.
  

• 10 слайд

  Упражнение 1
  В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.
  Решение. Треугольник SAB равносторонний. Высота SH равна Площадь S равна Полупериметр p равен 3. По формуле r = S/p получаем
  

• 11 слайд

  Упражнение 2
  В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.
  Решение. Обозначим h высоту SH конуса. Из формулы r = S/p имеем:
  
  где r = 1, a = FG = 4, p =
  Решая уравнение
  находим
  

• 12 слайд

  Упражнение 3
  Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы.
  Ответ:
  Решение. Высота SH конуса равна 1. Образующая .
  Полупериметр p равен
  По формуле r = S/p, имеем
  

• 13 слайд

  Упражнение 4
  Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.
  Ответ: r = 3.
  Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3.
  

• 14 слайд

  Упражнение 5
  Можно ли вписать сферу в наклонный конус?
  Ответ: Нет.
  

• 15 слайд

  Сфера, вписанная в усеченный конус
  Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.
  В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.
  

• 16 слайд

  Упражнение 1
  В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.
  Решение. Имеем: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Следовательно, A1A2 = 3, A1C = 1.
  Таким образом,
  

• 17 слайд

  Упражнение 2
  В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания.
  Решение. Пусть A1O1= 2. Обозначим r = A2O2. Имеем: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. По теореме Пифагора, имеет место равенство из которого следует, что выполняется равенство Решая полученное уравнение относительно r, находим
  

• 18 слайд

  Упражнение 3
  В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите радиус вписанной сферы.
  Решение. Заметим, что осевым сечением конуса, из которого получен усеченный конус, является равносторонний треугольник со стороной 2. Радиус r сферы, вписанной в усеченный конус, равен радиусу окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, т.е.
  

• 19 слайд

  Упражнение 4
  Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы.
  Ответ:
  Решение. Воспользуемся формулой r = S/p, где S – площадь осевого сечения, p – полупериметр. В нашем случае S = 3. Для нахождения полупериметра напомним, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Значит, полупериметр равен удвоенной образующей цилиндра, т.е. p = 4. Следовательно, r = ¾.
  

• 20 слайд

  Упражнение 5
  Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус.
  Ответ: Нет.
  

• 21 слайд

  Сфера, описанная около конуса
  Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.
  Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.
  Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле
  где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника.
  

• 22 слайд

  Упражнение 1
  Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.
  Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc/4S получаем
  

• 23 слайд

  Упражнение 2
  Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.
  Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8.
  Ответ: h = 8.
  

• 24 слайд

  Упражнение 3
  Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус описанной сферы.
  Ответ: R = 1.
  Решение. Треугольник SAB – прямоугольный, равнобедренный. Следовательно, радиус R описанной сферы равен радиусу основания цилиндра, т.е. R = 1.
  

• 25 слайд

  Упражнение 4
  Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.
  Решение. В треугольнике SAB имеем: SA = SB = 10, SH = 8. По теореме Пифагора, AH = 6 и, следовательно, S = 48. Используя формулу R = abc/4S, получаем
  

• 26 слайд

  Упражнение 5
  Можно ли описать сферу около наклонного конуса?
  Ответ: Да.
  

• 27 слайд

  Сфера, описанная около усеченного конуса
  Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный конус называется вписанным в сферу.
  Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.
  

• 28 слайд

  Упражнение 1
  Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.
  Решение. Заметим, что A1O1B2O2 и O1B1B2A2 – ромбы. Треугольники A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 – равносторонние и, значит, A1B1 –диаметр. Следовательно, R =2.
  Ответ: R = 2,
  

• 29 слайд

  Упражнение 2
  Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.
  Решение. Имеем A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = , OO1 = O1C = 1. Следовательно, OO2 = 1 + и, значит,
  

• 30 слайд

  Упражнение 3
  Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.
  Решение. Имеем OO1 = 3, OO2 = 4 и, следовательно, O2A2 = 3.
  Ответ: 3.
  

• 31 слайд

  Упражнение 4
  Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.
  Учитывая, что O1O2 = 6, имеем равенство
  Решая его относительно R, находим
  Решение. Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда
  

• 32 слайд

  Упражнение 5
  Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса.
  Ответ: Нет.