Презентация по математике "Действительные числа" (10 класс)

• 1 слайд

  Действительные числа
  

• 2 слайд

  Cодержание
  Натуральные и целые числа
  1
  Рациональные числа
  2
  Иррациональные числа
  3
  Действительные числа
  4
  

• 3 слайд

  Натуральные
  и целые числа
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –
  ряд натуральных чисел N или (Z+)
  
  -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
  ряд противоположных натуральным чисел Z–
  
  …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
  ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)
  
  

• 4 слайд

  Множества чисел
  R
  Q
  Z
  N
  

• 5 слайд

  Делимость натуральных чисел
  Для двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq, то говорят, что число a делится на число b.
  a – делимое
  b – делитель
  q – частное
  a : b = q
  a b
  …
  – а делится на b без остатка
  

• 6 слайд

  1о Если a ⋮ с и с ⋮ b, то a ⋮ b.
  2о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то (a + c) ⋮ b.
  Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3, то 144 ⋮ 3.
  Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3, то (84 + 63) ⋮ 3.
  3о Если a ⋮ b и с не делится на b, то (a + c) не делится на b.
  Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3,
  то (48 + 52) не делится на 3.
  Свойства делимости
  

• 7 слайд

  4о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b, то c ⋮ b.
  5о Если a ⋮ b и с ⋮ d, то ac ⋮ bd.
  Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3, то 57 ⋮ 3.
  Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4, то (81∙56) ⋮ (3∙4).
  6о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ bc, и наоборот.
  Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N, то
  (48∙11) ⋮ (12∙11), и обратно.
  Свойства делимости
  

• 8 слайд

  7о Если a ⋮ b и с  N, то ac ⋮ b.
  8о Если a ⋮ b и с ⋮ b, то для любых n, k  N
  следует (an + ck) ⋮ b.
  Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N, то (48∙13) ⋮ 3.
  Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9, то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9.
  9о Среди n последовательных натуральных
  чисел одно и только одно делится на n.
  Свойства делимости
  Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)
  

• 9 слайд

  На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.
  Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.
  Признаки делимости
  Для того, чтобы натуральное число делилось
  На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).
  Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.
  На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.
  Пример: 56730 ⋮ 10.
  

• 10 слайд

  На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами.
  Пример: 56736 ⋮ 4, т.к. 36 ⋮ 4.
  Признаки делимости
  Для того, чтобы натуральное число делилось
  На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами.
  Пример: 56775 ⋮ 25, т.к. 75 ⋮ 25.
  На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами.
  Пример: 56552 ⋮ 8, т.к. 552 ⋮ 8.
  

• 11 слайд

  На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами.
  Пример: 56375 ⋮ 125, т.к. 375 ⋮ 125.
  Признаки делимости
  Для того, чтобы натуральное число делилось
  На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
  Пример: 56742 ⋮ 3, т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3.
  На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
  Пример: 56545 ⋮ 9, т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9.
  

• 12 слайд

  На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком «–», стоящих на четных местах, делилась на 11.
  Пример: 8637519 ⋮ 11, т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11.
  Признаки делимости
  Для того чтобы натуральное число делилось
  На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «–» для четных граней, делилась на 7 (на 13).
  Пример: 254 390 815 ⋮ 7, т.к. (815-390+254) ⋮ 7.
  

• 13 слайд

  Обозначения
  abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f
  Пример: 2543 = 2∙1000 + 5∙100 + 4∙10 + 3
  Пример: 100410 = 1∙100000 + 4∙100 + 1∙10
  n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n
  Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720
  2! = 1 ∙ 2 = 2
  1! = 1
  0! = 1
  

• 14 слайд

  Деление с остатком
  a = bq + r
  a – делимое
  b – делитель
  Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая что выполняется равенство:
  Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
  а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
  где q = 2, r = 7.
  q – неполное частное
  r – остаток
  Замечание. Если а ⋮ b, то можно считать, что r = 0.
  

• 15 слайд

  Простые числа
  Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом.
  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.
  Теорема 1. Любое, натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель.
  Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.
  Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.
  

• 16 слайд

  Cоставные числа
  Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом.
  1 не является ни простым, ни составным числом.
  4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа
  Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.
  Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.
  
  

• 17 слайд

  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
  Делители числа 72:
  Наибольший общий делитель (НОД)
  1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
  Делители числа 96:
  Среди них есть одинаковые:
  Их называют общими делителями чисел 72 и 96, а
  наибольшее из них называют наибольшим общим
  делителем (НОД) чисел 72 и 96.
  Найти НОД чисел: 72 и 96.
  НОД (72; 96) = 24
  1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24
  

• 18 слайд

  Наибольший общий делитель (НОД)
  Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1, т.е. НОД(a, b) = 1.
  Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
  т.к. НОД (35; 36) = 1.
  

• 19 слайд

  18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …
  Кратные числа 12:
  Наименьшее общее кратное (НОК)
  12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
  Кратные числа 18:
  Среди них есть одинаковые:
  Их называют общими кратными чисел 12 и 18, а
  наименьшее из них называют наименьшим общим
  кратным (НОК) чисел 12 и 18.
  Найти НОК чисел: 12 и 18.
  НОК (12; 18) = 36
  36, 72, 108, 144, …
  

• 20 слайд

  Разложение на простые множители
  3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7
  2
  2
  3
  3
  3
  5
  7
  3780
  1890
  945
  315
  105
  35
  7
  1
  2
  2
  2
  2
  3
  3
  7
  7
  7056
  3528
  1764
  882
  441
  147
  49
  7
  1
  7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72
  НОД (3780; 7056)=
  = 22 ∙ 32 ∙ 7 = 252
  НОК (3780; 7056)=
  = 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 72 =
  = 105840
  

• 21 слайд

  Рациональные числа
  Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
  Рациональные числа – это числа вида ,
  где m – целое число, а n – натуральное.
  Q - множество рациональных чисел.
  m
  n
  Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);
  
  6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).
  5
  28
  2
  7
  

• 22 слайд

  Рациональные числа
  Верно и обратное утверждение:
  Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
  Примеры: 0,3333… = 0,(3) = ;
  
  0,3181818… = 0,3(18) = .
  7
  22
  1
  3
  

• 23 слайд

  Рациональные числа
  Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
  Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…
  Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
  100х = 123,232323…
  х = 1,232323…
  100х – х = 122,000000…
  Т.е. 99х = 122, откуда х =
  122
  99
  Пример (1 способ):
  –
  

• 24 слайд

  Рациональные числа
  Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
  Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + …
  Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23:
  S1 = =
  S = 1 + =
  0,23
  1 – 0,01
  Пример (2 способ):
  23
  99
  23
  99
  122
  99
  

• 25 слайд

  Иррациональные числа
  Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).
  Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.
  0,1234567891011121314…
  π ≈ 3,1415926535897932…
  е ≈ 2,7182818284590452…
  √11 ≈ 3,31662479035539…
  Примеры: