Презентация по математике на тему "Двугранный угол" (10 класс)

• 1 слайд

  Геометрия 10 класс
  Двугранный
  угол
  Автор: Бобылева Елена Александровна
  Учитель математики и информатики
  МБОУ «СОШ №146 г. Челябинска»
  
  
  
  

• 2 слайд

  Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.
  Повторение
  

• 3 слайд

  Какие виды углов вы знаете?
  Повторение
  

• 4 слайд

  В каких единицах измеряются углы?
  Повторение
  В радианах и градусах:
  
  Ответ
  

• 5 слайд

  Повторение
  4П/3
  2П/3
  П/2
  Перевести из градусов в радианы
  120 градусов
  Верно!
  П/3
  

• 6 слайд

  Повторение
  П/12
  5П/12
  2П/7
  Перевести градусы в радианы
  75 градусов
  Верно!
  3П/4
  

• 7 слайд

  Повторение
  80
  72
  70
  Перевести радианы в градусы
  2П/5 радиан
  Верно!
  92
  

• 8 слайд

  Тема урока
  Двугранный
  угол
  
  
  
  

• 9 слайд

  Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
  Полуплоскости α и β – это грани двугранного угла.
  Прямая а – это ребро двугранного угла.
  

• 10 слайд

  На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О. В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.
  Измерение двугранного угла
  

• 11 слайд

  линейный угол двугранного угла.
  

• 12 слайд

  Пусть мы имеем двугранный угол. Выберем точку О и точку О1 на прямой а. Построим линейный угол соответствующий точке О, т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.
  Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.
  

• 13 слайд

  Из точки О1 проведем два перпендикуляра ОА1 и ОВ1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А1О1В1.
  Лучи О1А1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а.
  Аналогично,лучи О1В1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠АОВ = ∠А1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.
  Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.
  

• 14 слайд

  Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.
  Свойство линейного угла
  Доказать: а ⊥ АОВ.
  Доказательство:
  ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению.
  Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ, значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ, что и требовалось доказать.
  
  Доказательство свойства
  

• 15 слайд

  Виды двугранных углов
  Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.
  

• 16 слайд

  Виды двугранных углов
  Двугранный угол острый, если его линейный угол острый 
  

• 17 слайд

  Виды двугранных углов
  Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°
  

• 18 слайд

  Виды двугранных углов
  Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой
  

• 19 слайд

  Примеры построения линейных углов в реальных фигурах
  

• 20 слайд

  АВСD – тетраэдр.
  Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.
  Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.
  Задача №1
  

• 21 слайд

  Построение:
  Речь идет о двугранном угле, который образо­ван ребром АВ и гранями АВD и АВС.
  Про­ве­дем пря­мую DН пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти АВС, Н – ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем на­клон­ную DМ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой АВ,М – ос­но­ва­ние на­клон­ной. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах за­клю­ча­ем, что про­ек­ция на­клон­ной НМ также пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой АВ.
  То есть, из точки М вос­ста­нов­ле­ны два пер­пен­ди­ку­ля­ра к ребру АВ в двух гра­нях АВD и АВС. Мы по­лу­чи­ли ли­ней­ный угол DМН.
  За­ме­тим, что АВ, ребро дву­гран­но­го угла, пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ли­ней­но­го угла, т. е. плос­ко­сти DМН. За­да­ча ре­ше­на.
  Задача №1
  

• 22 слайд

  Построение:
  1.Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВD и АВС.
  Проведем прямую DН перпендикулярно плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ,М – основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикуляр­на прямой АВ.
  То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.
  Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.
  2. Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.
  Задача №1
  

• 23 слайд

  В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М –середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ
  Задача №2
  

• 24 слайд

  Решение:
  Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, треугольник AВC – равносторонний, ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.
  Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.
  Значит, ∠DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.
  Задача №2
  

• 25 слайд

  1. АВСD – тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:
  а) ВD                б) DС.
  2. АВСDA1B1C1D1 – куб. Построить линейный угол двугранного угла А1АВС с ребром АВ. Определите его градусную меру.
  Самостоятельная работа
  

• 26 слайд

  Список источников содержания и иллюстраций
  Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008-2014
  
  Иллюстрации:
  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Dihedral_angle.png/220px-Dihedral_angle.png
  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/192604/8cec0e80_8f8f_0132_547f_019b15c49127.png
  http://nekin.info/math/figs/m0403-1.png