Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)

• 1 слайд

  
  «по частям»
  Метод интегрирования
  Учебная презентация по математике
  для студентов 2 курса СПО
  ГБПОУ «Кунгурский сельскохозяйственный колледж»
  Решение неопределённых интегралов
  

• 2 слайд

  Цель: сформировать понятие метода интегрирования «по частям» и умение применять данный метод при вычислении интегралов
  

• 3 слайд

  
  
  Первообразная
  
  Интегральное исчисление
  Раздел математики, в котором изучаются свойства
  и способы вычисления интегралов
  решает задачу обратную дифференцированию
  И. Ньютон
  Г.В. Лейбниц
  Функция 𝑭 𝒙 является первообразной для функции 𝒇(𝒙) в промежутке 𝒂≤𝒙≤𝒃, если в любой точке этого промежутка её производная равна 𝒇(𝒙)
  𝒅𝑭 𝒙 =𝒇 𝒙 𝒅𝒙,
  𝒂≤𝒙≤𝒃,
   
   
  Неопределённый интеграл
  Неопределенным интегралом от 𝒇(𝒙)
  называется совокупность всех первообразных вида F(x)+С
   
  (x) – подынтегральная функция,
  f(x)dx – подынтегральное выражение
  
  Определённый интеграл
  
  f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
  a – нижний предел интегрирования
  b – верхний предел интегрирования
  Формула Ньютона – Лейбница
  Методы вычисления
  Непосредственного интегрирования
  Замены переменной
  «По-частям»
  Основатели
  математического анализа
  

• 4 слайд

  Основными методами интегрирования являются:
  
  непосредственное интегрирование,
  интегрирование заменой переменной
  Интегрирование «по - частям»
  

• 5 слайд

  Интегрирование «по-частям»
  
  Формула интегрирования «по- частям» имеет вид:
  𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
  
  Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы
  
  Это метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций
  

• 6 слайд

  Интегрирование «по-частям»
  
  Данный метод интегрирования основан на тождестве:
  d(uv) = udv +vdu udv=d(uv) - vdu
  где u = f(x) и v = g(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные
  Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:
  𝑢𝑑𝑣= 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
  

• 7 слайд

  Интегрирование «по-частям»
  
  𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
  Эта формула используется, если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения сомножителей u и dv и получившийся интеграл
  𝑣𝑑𝑢 вычислить проще, чем исходный 𝑢 𝑑𝑣
  При этом за u берется та функция, которая при дифференцировании упростится, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен.
  
  

• 8 слайд

  Интегрирование «по - частям»
  
  𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
  Основываясь на этом разбиении,
  находятся функция v и дифференциал du
  Далее, используется формула интегрирования по частям:
  
  
  Метод интегрирования по частям может применяться несколько раз, пока неопределенный интеграл не будет найден
  
  

• 9 слайд

  Пример 1
  Найти интеграл 𝑥 𝑒 𝑥 dx
  20.12.2022
  Решение:
  Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании становится равной единице, а другая легко интегрируется
  Пусть u = x dv = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
  du=dx v = 𝑒 𝑥
  
  Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по - частям» и получаем
  
  𝑥 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 + C
  
  
  

• 10 слайд

  Пример 2
  Найти интеграл
  20.12.2022
  Решение:
  Здесь за u удобнее взять x, а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: sinxdx
  Пусть u = x dv = sin x dx
  du=dx v = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = – cosx
  Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем
  
  𝑥 sin 𝑥 dx = x(- cos x)- (– cosx )dx = -x cos x+ sin x +C
  
  𝑥 sin 𝑥 dx
  

• 11 слайд

  Пример3
  Найти интеграл
  Решение:
  Здесь за u удобнее взять 𝑥 2 , а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: 𝑒 𝑥 dx
  Пусть u = 𝑥 2 dv = 𝑒 𝑥 dx
  du=2xdx v = 𝑒 𝑥 dx = 𝑒 𝑥
  Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем
  
  𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx
  
  𝑥 2 𝑒 𝑥 dx
  

• 12 слайд

  Полученный интеграл 𝑒 𝑥 2xdx тоже вычисляется с помощью формулы интегрирования «по – частям»
  u= x dv=2 𝑒 𝑥 dx
  du=dx v=2 𝑒 𝑥 dx
  v = 2 𝑒 𝑥 +C
  𝑒 𝑥 2xdx = 2x 𝑒 𝑥 - 2𝑒 𝑥 dx= 2x 𝑒 𝑥 -2 𝑒 𝑥 +C
  Итак,
  
  𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx= 𝑥 2 𝑒 𝑥 -2x 𝑒 𝑥 +2 𝑒 𝑥 +C
  
  
  

• 13 слайд

  du= ∫dv=
  u= dv=
  Решить самостоятельно
  Найти интеграл: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=
  X+1
  cosXdx
  dx
  = 𝑥+1 sinx− sinxd𝑥 =
  𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
  v =
  Sinx+С
  Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
  𝑥+1 sinx + cosx + C
  Ответ: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 𝑥+1 sinx + cosx + C
  

• 14 слайд

  𝑥 2 2 +C
  𝑑𝑥 𝑥 2 +1
  du= ∫dv=
  u= dv=
  Решить самостоятельно
  Найти интеграл: 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥=
  arctgx
  = 𝑥 2 2 arctgx− 𝑥 2 𝑑𝑥 2(𝑥 2 +1) =
  𝑥𝑑𝑥
  v =
  Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
  𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 =
  xdx
  

• 15 слайд

  Решить самостоятельно
  Ответ: 𝑥 2 2 arctgx − 𝑥 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 +C
  𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = (1 - 1 𝑥 2 +1 )dx = 𝑑𝑥− 1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥=𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶
  = 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 (𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)+𝐶=
  

• 16 слайд

  Вычислить интегралы методом интегрирования- «по частям»
  20.12.2022
  2 вариант
  
  𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=
  
  2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥=
  
  3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥=
  
  1 вариант
  
  𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=
  
  2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥=
  
  3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥=
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 17 слайд

  Проверка
  2 вариант
  
  𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= 𝑥 2 2 ln|x| - 𝑥 2 4 +C
  
  2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥= −𝑥 cos 𝑥+ sin 𝑥 +C
  
  3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 2 sin 𝑥 + 2x cos 𝑥 − −2 sin 𝑥 + C
  
  1 вариант
  
  𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= x ln|x| – x + C
  
  2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 sin 𝑥+ cos 𝑥 +C
  
  3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥= – 𝑥 2 cos 𝑥 +
  +2x sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + C
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  Использованная литература:
  
  Богомолов, Н. В.  Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 439 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-09108-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт].
  

Краткое описание документа:

Учебная презентация на тему «Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле» составлена в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения. Предлагаемая учебная презентация включает теоретический материал по теме, методику нахождения неопределенных интегралов методом интегрирования по частям, решение типовых примеров, задания для самостоятельной работы обучающихся по теме с ответами и варианты проверочной работы. Учебную презентацию можно использовать как на уроках, так и для организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на дополнительных занятиях и консультациях. Цель учебной презентации – помочь обучающимся в освоении материала по теме «Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле» и получить необходимые практические навыки по применению теоретического материала в условиях конкретного задания.