Презентация по математике на тему "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Отбор корней при решении

тригонометрических уравнений

КурылеваЭ. Р.

учитель математики МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты

При решении уравнений возникают ситуации, когда необходимо из множества решений уравнения отобрать корни, удовлетворяющие каким-либо ограничениям, например ОДЗ уравнения, дополнительные условия, обозначенные в задании.

Ограничения данного уравнения будут введены на основании ОДЗ уравнения: cos x > 0.

Поэтому необходимо будет выполнить отбор корней, удовлетворяющих ОДЗ.

Необходимо будет выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию в задании.

Основные способы отбора корней:

1.     Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

2.     Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

3.     Геометрический способ:

а) изображение     корней  на   тригонометрической     окружности      с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

4.     Функционально-графический способ: выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

1. Арифметический способ: непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения.

1. Арифметический способ: непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения.

Пример 1. Найдите корни уравнения sin 3x = 1, удовлетворяющие неравенству cos x 0.

1. Арифметический способ: непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения.

Пример    1.   Найдите   корни   уравнения  sin  3x =    1, удовлетворяющие неравенству cos x ≥ 0.

Решение. Уравнение sin 3x = 1, имеет корни: 𝑥 = ^𝜋 + ^2𝜋 𝑛, 𝑛𝜖𝑍.

                                                                                                                                                                            6          3

Так как функции sin 3x и cos x имеют общий положительный период 2𝜋,

𝜋 то для проверки неравенства 𝑐𝑜𝑠 , достаточно рассмотреть значения 0, 1, 2 для параметра n (пройти весь период). Так как 𝑐𝑜𝑠^𝜋и

𝑐𝑜𝑠 , то получаем корни 𝑥  ^𝜋 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 и

𝑥 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍, удовлетворяющие данному условию.

Ответ: а) 𝑥 = ^𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 , 𝑥 = ^3𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.

                                                                               6                                                     2

Пример 2. а) Решите уравнение 𝟔𝒄𝒐𝒔^𝟐𝒙 − 𝟕𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟓 = 𝟎.

б) укажите корни, принадлежащие промежутку [−𝝅;𝟐𝝅]

Пример 2. а) Решите уравнение 𝟔𝒄𝒐𝒔^𝟐𝒙 − 𝟕𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟓 = 𝟎.

б) укажите корни, принадлежащие промежутку [−𝝅;𝟐𝝅]

Решение.

а) Решая уравнение относительно 𝑐𝑜𝑠𝑥, получим 𝑐𝑜𝑠𝑥 =  и 𝑐𝑜𝑠𝑥 = .

                                                                                                        2𝜋                                                                2𝜋

Находим корни 𝑥 =  + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 или 𝑥 = −  + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍

                                                                                                           3                                                                   3

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

                                                𝟐𝝅                                                                                                                  𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁                             Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

                                                  𝟑                                                                                                                     𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

                                                𝟐𝝅                                                                                                                  𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁                             Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

                                                  𝟑                                                                                                                     𝟑

2𝜋2𝜋

                            𝑛 𝜋        𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке

слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                        2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                 2𝜋                  4𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке

слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                             2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                   2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                   2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  4𝜋

𝑛 𝜋

                                                       2𝜋                  −8𝜋

𝑛 𝜋

добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке

слева и справа от данного промежутка.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                             2𝜋                  8𝜋

𝑛 𝜋

                                                   2𝜋                  −4𝜋

𝑛 𝜋

                                                   2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

2𝜋

𝑛 𝜋

                                                  2𝜋                  4𝜋

𝑛 𝜋

                                                       2𝜋                  −8𝜋

𝑛 𝜋

                                                2𝜋                  −10𝜋

𝑛 𝜋

Перебирая значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.

Ответ: а) ^2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − ^2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍

                                                                                                              3                                              3

2𝜋 2𝜋 4𝜋

                                                                                                     б) − ; ;      .

3 3 3

вычисление корней.

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–    3 ≤ 2 + 6𝑛 ≤ 6

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–    3 ≤ 2 + 6𝑛 ≤ 6

–    5 ≤ 6𝑛 ≤ 4

–

2𝜋

𝑛

вычисление корней.

Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это

значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–                3 ≤ 2 + 6𝑛 ≤ 6 – 5 ≤ 6𝑛 ≤ 4

–

2𝜋

𝑛

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–                3 ≤ −2 + 6𝑛 ≤ 6 – 1 ≤ 6𝑛 ≤ 8

–

2𝜋

𝑛

𝑛

вычисление корней. Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π]. Это

значит, что – π ≤ x ≤ 2π.

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 =  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–                3 ≤ 2 + 6𝑛 ≤ 6 – 5 ≤ 6𝑛 ≤ 4

–

2𝜋

𝑛

𝟐𝝅

Пусть 𝒙 = −  + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁

𝟑

Тогда –

–

–                3 ≤ −2 + 6𝑛 ≤ 6 – 1 ≤ 6𝑛 ≤ 8

–

2𝜋

𝑛

                                                                                     2𝜋                        4𝜋

𝑛

Ответ: а) ^2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − ^2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍

                                                                        3                                          3

2𝜋 2𝜋 4𝜋

                                                                б) − ; ;     .

3 3 3

Алгебраический способ: исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

Применение диофантовых уравнений при решении тригонометрических уравнений.

последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

а) 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍                                         [−𝝅; 𝟐𝝅]

               3                                              3

последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

а) 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍                                         [−𝝅; 𝟐𝝅]

               3                                              3

последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

а) 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − 2𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍                                         [−𝝅; 𝟐𝝅]

               3                                              3

2𝜋

𝑥1 = ₃

                                                                                                                                                                                                                                        𝜋                                                                                                                                        2𝜋

𝑥₂ = −𝜋 + ₃ = − ₃

                                                                                                                                                                                                                                       𝜋                                                                                                                                        4𝜋

𝑥3 = 𝜋 + 3 = 3

последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

а) ²3^𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − ²3^𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍                                   [−𝝅_; ^𝝅𝟐]

                                                                                                                                                                                                                                   𝜋                                                                                                2𝜋

𝑥 = −𝜋 +  = −

                                                                                                                                                                                                                                   3                                                                                                 3

отбором с учетом имеющихся ограничений.

отбором с учетом имеющихся ограничений.

Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [- π; 2π], слева и справа от него

отбором с учетом имеющихся ограничений.

Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [- π; 2π], слева и справа от него

отбором с учетом имеющихся ограничений.

Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.

Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [- π; 2π], слева и справа от него.

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни ^{− 2𝜋 ; 2𝜋 ; 4𝜋} .

3 3 3