Презентация по математике на тему "Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Арксинус, арккосинус, арктангенс"

• 1 слайд

  Решение тригонометрических уравнений и неравенств
  Арксинус, арккосинус и арктангенс
  

• 2 слайд

  Теорема о корне
  Сформулируем важное утверждение, которым удобно пользоваться при решении уравнений.
  Т е о р е м а (о корне). Пусть функция 𝒇 возрастает (или убывает) на промежутке 𝑰, число 𝒂 ‒ любое из значений, принимаемых 𝒇 на этом промежутке. Тогда уравнение 𝒇 𝒙 =𝒂 имеет единственный корень в промежутке 𝑰.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим возрастающую функцию 𝑓 (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке 𝐼 существует такое число 𝑏, что 𝑓 𝑏 =𝑎. Покажем, что 𝑏 ‒ единственный корень уравнения 𝑓 𝑥 =𝑎.
  Допустим, что на промежутке 𝐼 есть ещё число 𝑐≠𝑏, такое, что 𝑓 𝑐 =𝑎. Тогда или 𝑐<𝑏, или 𝑐>𝑏. Но функция 𝑓 возрастает на промежутке 𝐼, поэтому соответственно либо 𝑓 𝑐 <𝑓 𝑏 , либо 𝑓 𝑐 >𝑓 𝑏 . Это противоречит равенству 𝑓 𝑐 =𝑓 𝑏 =𝑎. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке 𝐼, кроме числа 𝑏, других корней уравнения 𝑓 𝑥 =𝑎 нет.
  ⃝ П р и м е р 1. Решим уравнение 𝑥 3 +𝑥=2.
  Функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +𝑥 возрастает на 𝑹 (это сумма двух возрастающих функций). Поэтому уравнение 𝑓 𝑥 =2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является 𝑥=1.
  

• 3 слайд

  Арксинус
  Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке − 𝜋 2 ; 𝜋 2 и принимает все значения от −1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа 𝑎, такого, что 𝑎 ≤1, в промежутке − 𝜋 2 ; 𝜋 2 существует единственный корень 𝑏 уравнения sin 𝑥 =𝑎. Это число 𝑏 называют арксинусом числа 𝑎 и обозначают arcsin 𝑎 (рис. 65).
  О п р е д е л е н и е. Арксинусом числа 𝒂 называется такое число из отрезка − 𝝅 𝟐 ; 𝝅 𝟐 , синус которого равен 𝒂.
  
  
  
  
  
  Рис. 65
  ⃝ П р и м е р 2. Найдём arcsin 2 2 .
  arcsin 2 2 = 𝜋 4 , так как sin 𝜋 4 = 2 2 и 𝜋 4 ∈ − 𝜋 2 ; 𝜋 2 .
  ⃝ П р и м е р 3. Найдём arcsin − 1 2 .
  Число (из промежутка − 𝜋 2 ; 𝜋 2 ), синус которого есть − 1 2 , равно − 𝜋 6 . Поэтому arcsin − 1 2 =− 𝜋 6 .
  

• 4 слайд

  Арккосинус
  Функция косинус убывает на отрезке 0; 𝜋 и принимает все значения от −1 до 1. Поэтому для любого числа 𝑎, такого, что 𝑎 ≤1, на отрезке 0; 𝜋 существует единственный корень 𝑏 уравнения cos 𝑥 =𝑎. Это число 𝑏 называют арккосинусом числа 𝑎 и обозначают arccos 𝑎 (рис. 66).
  О п р е д е л е н и е. Арккосинусом числа 𝒂 называется такое число из отрезка 𝟎; 𝝅 , косинус которого равен 𝒂.
  
  
  
  
  
  Рис. 66
  ⃝ П р и м е р 4. arccos 3 2 = 𝜋 6 , так как cos 𝜋 6 = 3 2 и 𝜋 6 ∈ 0; 𝜋 .
  ⃝ П р и м е р 5. arccos − 2 2 = 3𝜋 2 , так как cos 3𝜋 4 =− 2 2 и 3𝜋 2 ∈ 0; 𝜋 .
  

• 5 слайд

  Арктангенс
  На интервале − 𝜋 2 ; 𝜋 2 функция тангенс возрастает и принимает все значения из 𝑹. Поэтому для любого числа 𝑎 на интервале − 𝜋 2 ; 𝜋 2 существует единственный корень 𝑏 уравнения tan 𝑥 =𝑎. Это число 𝑏 называют арктангенсом числа 𝑎 и обозначают arctan 𝑎 (рис. 67).
  О п р е д е л е н и е. Арктангенсом числа 𝒂 называется такое число из интервала − 𝝅 𝟐 ; 𝝅 𝟐 , тангенс которого равен 𝒂.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 67
  ⃝ П р и м е р 6. arctan 1 = 𝜋 4 , так как tan 𝜋 4 =1 и 𝜋 4 ∈ − 𝜋 2 ; 𝜋 2 .
  ⃝ П р и м е р 7. arctan − 3 =− 𝜋 3 , так как tan − 𝜋 3 =− 3 и − 𝜋 3 ∈ − 𝜋 2 ; 𝜋 2 .
  

• 6 слайд

  Арккотангенс
  Функция котангенс от 0; 𝜋 убывает и принимает все значения из 𝑹. Поэтому для любого числа 𝑎 в интервале 0; 𝜋 существует единственный корень 𝑏 уравнения cot 𝑥 =𝑎. Это число 𝑏 называют арккотангенсом числа 𝑎 и обозначают arccot 𝑎 (рис. 68).
  О п р е д е л е н и е. Арккотангенсом числа 𝒂 называется такое число из интервала 𝟎; 𝝅 , котангенс которого равен 𝒂.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 68
  ⃝ П р и м е р 8. arc cot 1 3 = 𝜋 3 , так как cot 𝜋 3 = 1 3 и 𝜋 3 ∈ 0; 𝜋 .
  ⃝ П р и м е р 9. arccot − 3 = 5𝜋 6 , так как cot 5𝜋 6 =− 3 и 5𝜋 6 ∈ 0; 𝜋 .