Презентация по математике на тему: "Средние"

• 1 слайд

  Различные средние для нескольких отрезков
  Выполнила ученица 7 «А» класса МБОУ гимназии № 65 Таирова Лиана
  Учитель математики Наумкина Г.Г.
  
  
  

• 2 слайд

  Средние величины широко применяются в алгебре, геометрии, статистике, теории вероятностей при обработке результатов измерения или результатов сбора данных. Поэтому мне очень интересна эта тема, и я решила узнать подробнее о некоторых значениях средних величин и в какой зависимости они находятся.
  

• 3 слайд

  Цель: Познакомиться с понятиями среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного и изучить зависимость среднего арифметического и среднего геометрического.
  Задачи: Дать определения средних величин.Подробнее изучить средние величины в геометрии и связь между ними.
  

• 4 слайд

  История
  
  
  Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно.
  
  Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней.
  
  Свои названия, перечисленные средние величины получили в античные времена.
  Аристотель
  

• 5 слайд

  
  Несколько определений средней величины:
  
  
  Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.
  Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака.
  

• 6 слайд

  
  Средние величины делятся на два больших класса:
  
  Степенные средние:
  Средняя арифметическая
  Средняя геометрическая
  Средняя квадратичная
  Средняя гармоническая
  
  Структурные средние:
  Мода
  Медиана
  

• 7 слайд

  
  Средняя арифметическая
  
  Средним арифметическим действительных чисел a₁, a₂, … an (n≥2) называют действительное число A = (a₁ + a₂ + … + an )/n
  В математике и статистике средняя арифметическая — одна из наиболее распространённых мер и самый распространенный вид средней величины. Она используется, когда нужно получить среднее слагаемое.
  

• 8 слайд

  
  Средняя арифметическая
  
  По теореме о средней линии трапеции отрезок MN, параллельный основаниям и
  соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен среднему арифметическому оснований:
  

• 9 слайд

  
  Свойства
  
  
  если все варианты уменьшить (увеличить) в n раз (на число А), то среднее значение тоже уменьшится (увеличится) в n раз (на число А)
  если точкам A и B соответствуют числа на координатной прямой, то середина этого отрезка на координатной прямой имеет координату равную среднему арифметическому координат концов отрезка
  

• 10 слайд

  
  Прогрессия
  
  
  
  На средней арифметической величине основана арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида
  
  И каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.
  

• 11 слайд

  
  
  Задачи
  
  
  
  
  Например:
  1) Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3; 3,2; 3,3; 3,5; 3,8; 3,1; тыс. руб. Найти среднюю заработную плату
  Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.
  2) Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?
  Предположим, что такие числа существуют. Их сумма равна среднему арифметическому этих чисел, умноженному на их количество: 6,35*35=222,25.
  Поскольку сумма целых чисел должна быть целым числом, получаем противоречие.
  
  

• 12 слайд

  
  Средняя геометрическая
  
  
  
  Средней геометрической для нескольких величин называется корень из их произведения, показатель степени которого равен числу величин (также называется их средним пропорциональным). Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:
  
  

• 13 слайд

  
  Средняя геометрическая
  
  
  
  Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим (чисел a и b) оснований трапеции.
  
  

• 14 слайд

  Свойства
  
  Дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму а произведение значений.
  В геометрии: высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу
  Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
  

• 15 слайд

  Прогрессия
  
  
  На основе средней геометрической величины также существует геометрическая прогрессия.
  
  
  И каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов.
  
  
  

• 16 слайд

  Средняя квадратическая
  Средние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов определяются при помощи средней квадратической.
  
  Простая
  
  
  Взвешенная
  
  Кубическая
  
  

• 17 слайд

  Средняя квадратическая
  .Если в трапеции провести отрезок, разбивающий еѐ на две равновеликие трапеции, то
  этот отрезок есть среднее квадратичное оснований:
  
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  Средняя гармоническая
  Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число:
  
  
  В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
  

• 19 слайд

  Средняя гармоническая
  Отрезок KF, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям,
  равен среднему гармоническому оснований
  
  

• 20 слайд

  Неравенство между простыми средними
  Неравенство о средних гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство:
  
  
  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
  
  

• 21 слайд

  Неравенство между простыми средними
  В трапеции среднее геометрическое оснований трапеции расположено следующим образом:
  где m-среднее гармоническое основание;
  n-среднее геометрическое;
  p-среднее арифметическое;
  q-среднее квадратичное.
  

• 22 слайд

  Неравенство Коши
  Неравенство Коши – частный случай неравенства о средних, так как содержит в себе только
  среднее арифметическое и геометрическое).
  

• 23 слайд

  Заключение
  
  При работе над проектом я установила, что свои названия, перечисленные средние величины получили в античные времена.
  Исследовала: какие отрезки в трапеции являются средними арифметическими, средними геометрическими для нескольких отрезков, часть из которых равна одному основанию, а другая часть - другому основанию трапеции.
  Рассмотрела задачи на применение среднего арифметического и среднего геометрического в математике.
  Темы, изучаемые в данном проекте, важны еще и потому что они изучаются в курсе математики 8 класса.
  

• 24 слайд

  Список литературы
  1. Алгебра. Учебник для 9 кл. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 6-е изд. -М.: «Просвещение», 2011 г.
  2. Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс. М.”Просвещение”, 1997.
  3. Антонова Н., Солодовиков С. Неравенство Коши о среднем арифметическом и геометрическом // Математика, 1999, № 20.
  4. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996,.