Презентация по математике на тему "Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса."

• 1 слайд

  Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  Презентация по физике преподавателя
  « Орского технического техникума имени А. И. Стеценко » филиал пос. Энергетик
  Николаевой Натальи Юрьевны
  Оренбургская область
  Новоорский район
  посёлок Энергетик.
  
  

• 2 слайд

  Условная вероятность
  Вероятность события A при условии того, что событие B произошло, называется условной вероятностью и обозначается 
  или
  

• 3 слайд

  Пример 1.
  Пусть пять студентов вытягивают на экзамене один билет из пяти, причем один из них - очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?
  Решение.
  
  Очевидно, что эта вероятность зависит от того, что попалось предыдущим студентам, и вытянуть удачный билет третий студент может только в том случае, когда его не взяли двое предыдущих:
  

• 4 слайд

  Пусть пять студентов вытягивают на экзамене один билет из пяти, причем один из них очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?
  

• 5 слайд

  
  Вероятность произведения двух
  независимых событий А и В равна
  произведению их вероятностей.
  Теорема умножения для
  независимых событий
  

• 6 слайд

  ОбозначимС= А выиграет белыми ;
  D= А выиграет черными ;
  р(С)=0,52; р(D)=0,3; события независимы;
  ОТВЕТ: 0,156
  
  ЗАДАЧА Если гроссмейстер А. играет белыми,
  то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
  0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
  с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
  партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
  Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
  Решение.
  

• 7 слайд

  Формула полной вероятности
  Для вычисления полной вероятности события A нужно перечислить все условия Hi, при которых может наступить A, и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности.
  
  
  Причем сумма вероятностей гипотез должна быть равна 1, т.е.
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  Формула Байеса
  Пусть событие A может быть вызвано набором причин Hi. Тогда вероятность того, что к событию A привело событие Hi, пропорциональна произведению вероятности соответствующей причины на вероятность следствия.
  
  

• 9 слайд

  Пример 2.
  Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных.
  Из каждой урны достали по одному шару. Найти вероятность того, что эти шары белые.
  Выбирается урна и из нее извлекается 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары белые. Найти вероятность того, что они были взяты из первой урны.
  Из первой урны во вторую переложили 1 шар, а затем из второй (пополненной) урны достали 2 шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что был переложен белый шар.
  

• 10 слайд

  Пример 2.1
  Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Из каждой урны достали по одному шару. Найти вероятность того, что эти шары белые.
  
  
  3/5
  3/6
  2/5
  3/6
  3/6
  3/6
  Из I урны
  Из II урны
  

• 11 слайд

  Пример 2.2
  Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Выбирается урна и из нее извлекается 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары белые. Найти вероятность того, что они были взяты из первой урны.
  
  
  1/2
  1/2
  3/6
  3/6
  3/5
  1/4
  2/5
  2/4
  2/4
  2/5
  3/5
  3/5
  2/5
  3/4
  

• 12 слайд

  Пример 2.3
  Имеются 2 урны с шарами. В первой урне находятся 2 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных. Из первой урны во вторую переложили 1 шар, а затем из второй (пополненной) урны достали 2 шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что был переложен белый шар.
  
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Ч
  Б
  Из I урны во II
  1 шар из II урны
  2 шар из II урны
  2/6
  4/6
  4/7
  3/7
  3/7
  4/7
  3/6
  3/6
  4/6
  2/6
  2/6
  4/6
  3/6
  3/6
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Дерево исходов
  C
  B
  A
  C
  A
  A
  C
  B
  B
  C
  A
  C
  A
  B
  A
  C
  B
  A
  C
  B
  A
  B
  C
  Ваш выбор
  B
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1/2
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1/3
  1
  1/2
  1
  1
  1/2
  1/2
  1/2
  1/2
  1
  1
  1
  Не меняет выбор и выигрывает
  Меняет выбор и выигрывает
  

• 15 слайд

  
  Формула Байеса
  Рассмотрим событие А, которое может наступить лишь при появления одного из несовместных событий В1, В2, В3,…,Вn , образующих полную группу. Если событие А уже произошло, то вероятность событий В1, В2, В3,…,Вn можно определить по формуле Байеса
  

• 16 слайд

  Задача 1
  Два автомата производят одинаковые детали. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероятность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60, а у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
  
  

• 17 слайд

  Решение
  Событие А - деталь отличного качества.
  Гипотезы:
  В1 – деталь произведена первым автоматом,   ,
  так как этот автомат производит деталей в два раза больше второго.
  В2 – деталь изготовлена вторым автоматом,
  Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом,  
  а вторым
  Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, вычисляем по формуле полной вероятности:
  .
  
  

• 18 слайд

  Решение
  
  
  Вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, вычисляется по формуле Байеса: 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 19 слайд

  Задача 2
  Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 4:1. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъезжала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина грузовая
  
  

• 20 слайд

  Решение
  Cобытие A - машина заехала на заправку.
  Гипотезы: H1 - это грузовая машина,
  H2 - это легковая машина,
  
  Условные вероятности:
  По формуле полной вероятности вероятность того, что случайным образом выбранная из общего потока машина зарулит на бензоколонку
  
  Искомую вероятность найдём по формуле Байеса
  
  
  Ответ: 0,727
  

• 21 слайд

  Задача 3
  Три студентки живут в одной комнате и по очереди моют посуду. Вероятность разбить тарелку для первой студентки равна 0.03, для второй 0.01, для третьей - 0.04. На кухне раздался звон разбитой тарелки. Найти вероятность того, что третья студентка мыла тарелку.
  
  

• 22 слайд

  Решение
  Событие A - разбили тарелку.
  Гипотезы:
  H1 - тарелку разбила 1-я студентка, P(H1)=0,03
  H2 - тарелку разбила 2-я студентка, P(H2)=0,01
  H3 - тарелку разбила 3-я студентка, P(H3)=0,04
  (гипотезы Н1,Н2,Н3 составляют полную группу событий)
  Условные вероятности (кто мыл посуду в момент катастрофы):
  
  

• 23 слайд

  Решение
  По формуле полной вероятности вероятность того, что в процессе мытья посуды будет разбита тарелка
  
  Искомую вероятность найдём по формуле Байеса (переоценка вероятности события H3
  
  
  
  Ответ: 0,5
  
  

• 24 слайд

  Полная группа событий
  в результате данного испытания обязательно появится хотя бы одно из них.
  

• 25 слайд

  Теорема
  Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А
  Р(А) = Р(Н1)РН1(А) + Р(Н2)РН2(А) + … + +Р(Нn)PHn(A)
  
  Формула полной вероятности
  

• 26 слайд

  Пример
  В цехе работают 20 станков.
  Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С.
  Вероятности того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
  Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь будет браком?
  
  

• 27 слайд

  Пример
  События
  А = «Наугад выбранная деталь будет с браком»
  Н1 = «Деталь обработана на станке марки А»
  Н2 = «Деталь обработана на станке марки В»
  Н3 = «Деталь обработана на станке марки С»
  
  

• 28 слайд

  Пример
  Всего в цехе 20 станков
  Р(Н1) = 10/20 = ½=0,5
  Р(Н2) = 6/20 = 3/10 = 0,3
  Р(Н3) = 4/20 = 1/5 = 0,2
  Условные вероятности
  PН1(А) = 1 – 0,9 = 0,1
  PН2(А) = 1 – 0,8 = 0,2
  PН3(А) = 1 – 0,7 = 0,3
  
  
  

• 29 слайд

  Пример
  По формуле полной вероятности
  Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) +
  + Р(Н2) ·PН2(А) +
  + Р(Н3) ·PН3(А) =
  = 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 =
  = 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17
  
  
  

• 30 слайд

  Теорема
  Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность гипотез после испытания, когда событие А уже имело место
  РA(Нi) = Р(Нi)РНi(А) /Р(A)
  
  Формула Байеса
  

• 31 слайд

  Пример
  В цехе работают 20 станков.
  Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С. Вероятность того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
  Наугад выбрали деталь. Она оказалась с браком.
  Какова вероятность того, что она была изготовлена на станке марки В?
  
  

• 32 слайд

  Пример
  События
  А = «Наугад выбранная деталь будет с браком»
  Н1 = «Деталь обработана на станке марки А»
  Н2 = «Деталь обработана на станке марки В»
  Н3 = «Деталь обработана на станке марки С»
  
  

• 33 слайд

  Пример
  Р(Н2) = 0,3
  PН2(А) = 0,2
  Р(А) = 0,17
  По формуле Байеса
  РA(Н2) = Р(Н2) · РН2(А) / Р(A) =
  = 0,3· 0,2 / 0,17 = 0,06 / 0,17 =
  = 0,35
  
  
  
  

• 34 слайд

  Пример
  По формуле Байеса
  РA(Н2) = Р(A) / (Р(Н2)РН2(А)) =
  
  Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) +
  + Р(Н2) ·PН2(А) +
  + Р(Н3) ·PН3(А) =
  = 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 =
  = 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17