Презентация по математике "Решение текстовых задач в рамках итоговой государственной аттестации"

• 1 слайд

  Решение текстовых задач в рамках итоговой государственной аттестации в девятых и одиннадцатых классах.
  
  
  
  
  
  Учитель математики МОУ «СОШ д. Звягино» Т.А.Некрутова.
  

• 2 слайд

  Теоретические основы решения задач «на смеси и сплавы»
  Примем некоторые допущения:
  Все получающиеся сплавы и смеси однородны
  При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
  Определение.
  Процентным содержанием (концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
  Терминология:
  процентное содержание вещества;
  концентрация вещества;
  массовая доля вещества. Все это синонимы.
  

• 3 слайд

  Смешали 500г 10 % - го раствора соли и 400 г 55% - го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.
  Решение.
  I раствор: 10% (55 – X)% 500г
  X%
  
  II раствор: 55% (X-10)% 400г
  
  500/400 = (55-X)/(X-10)
  X= 30
  Ответ: 30
  
  Морская вода содержит 5% соли ( по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
  Решение.
  Морская вода: 5% 1,5% 30кг
  1,5%
  Пресная вода: 0% 3,5% Xкг
  
  30/X=1,5/3,5
  X=7
  Ответ: 7
  
  

• 4 слайд

  Смешали 14 литров 30 – процентного водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18 – процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Знак % в ответе не пишите.
  
  Решение.
  Пусть X% составляет концентрация получившегося раствора.
  
  I раствор 30% 18-X 14л
  X%
  II раствор 18% X-30 10л
  
  Получаем уравнение:
  (18 – X)/(X-30)=14/10
  7X-210=90-5X
  X=25
  
  Ответ: 25
  
  

• 5 слайд

  Имеются два сосуда, содержащие 42кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
  
  Решение.
  I раствор: X% 40 – Y 42кг
  40%
  II раствор: Y% X – 40 6кг
  
  Получаем уравнение: (40- Y)/(X – 40)=42/6
  
  I раствор: X% 50 – Y m кг
  50%
  II раствор: Y% X – 50 m кг
  
  Получаем уравнение:
  50 – Y = X- 50
  Эти два уравнения объединяем в систему, решаем ее и получаем,
  что X = 110/3%.
  Находим количество кислоты в первом растворе: (110*42)/ (3*100)=15,4 кг.
  
  Ответ: 15,4
  
  

• 6 слайд

  В сосуд, содержащий 10 литров 24 – процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
  
  Решение.
  
  Раствор: 24% X – 0 10л
  X%
  Вода: 0% 24 - X 5л
  
  Получаем уравнение:
  
  X/(24 – X) = 10/15
  
  5X = 10* (24 – X)
  X = 16
  
  Ответ: 16
  

• 7 слайд

  Смешав 70% - ый и 60% - ый растворы кислоты и добавив 2 кг воды, получили 50% - ый раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90% – ного раствора той же кислоты, то получили бы 70% - ый раствор кислоты. Сколько кг 70% - го раствора использовали для получения смеси?
  
  Решение.
  Пусть 70% - ого раствора Xкг, а 60% - ого раствора Y кг.
  Найдем концентрацию первого и второго раствора.
  
  0,7 X + 0,6 Y=0,5(X+Y+2)
  0,7 X+0,6 Y+0,9*2=0,7(X+Y+2)
  
  Y=4; X=3
  Ответ: 3
  

• 8 слайд

  Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах.
  Пусть X часов плыл теплоход по течению.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Путь по течению равен пути против течения, отсюда имеем уравнение:
  24X = 16(10 – X)
  После решения уравнения получаем, что X = 4ч, это время по течению, значит, путь по течению равен 24X, т.е. 24*4 = 96 км, а весь путь, пройденный теплоходом равен 96*2=192 км.
  Ответ: 192
  
  

• 9 слайд

  Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на круг?
  
  Решение.
  Пусть через X часов первый автомобилист будет опережать второго на круг.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  92X – 77X = 30
  X = 2 часа, т.е. 120 минут.
  
  Ответ: 120
  
  

• 10 слайд

  Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
  
  Решение.
  
  Пусть x ч – половина времени, затраченного на дорогу.
  
  
  
  
  
  
  
  Чтобы найти среднюю скорость, необходимо весь путь, пройденный автомобилем, разделить на все время, затраченное на этот путь.
  
  Отсюда имеем: V средняя = (60X + 46X)/2X = 53 км/ч.
  
  Ответ: 53
  

• 11 слайд

  Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 26 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
  Решение.
  
  
  
  
  
  
  
  Второй автомобиль прибыл в пункт B одновременно с первым, получаем уравнение:
  Y/X=Y/78+Y/(2*(X+26))
  
  Решая это уравнение, получим X=52км/ч (X = - 39 – посторонний корень).
  
  Ответ: 52
  
  

• 12 слайд

  Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,3 км от места отправления. Один идет со скоростью 4 км/ч, а другой – со скоростью 4,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча? Ответ дайте в километрах.
  Решение.
  Пусть X км пройдет второй человек в обратном направлении до встречи с первым человеком.
  
  
  
  
  
  
  Оба человека были в пути одинаковое количество времени, получаем уравнение:
  (4,3 – X)/4=(4,3+X)/4,6
  X=0,3
  4-0,3=4
  
  Ответ: 4
  
  

• 13 слайд

  Товарный поезд, идущий со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Определите длину поезда ( в метрах).
  
  Решение.
  
  Длина поезда будет равна пути, пройденному поездом мимо придорожного столба.
  Значит, S =Vt = 30 км/ч * 36 сек. = 30*36/(60*60) = 0,3 км = 300м.
  
  Ответ: 300
  

• 14 слайд

  При температуре 00 С рельс имеет длину l0 = 25 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 12 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и длина его будет меняться по закону l (t0 ) = l0 (1+αt0 ), где α = 1,2*10-5 (C0)-1 - коэффициент теплового расширения, t0 - температура ( в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? ( Ответ выразите в градусах Цельсия.)
  
  Решение.
  
  12 мм= 0, 012м
  25+0,012=25* (1+ 1,2*10-5 )* t0
  t0 = 0,012/ (25*1,2* 10-5 )=40
  
  Ответ: 40
  
  

• 15 слайд

  Первая труба наполняет бак объемом 570 литров, а вторая труба – бак объемом 530 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды больше , чем другая. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?
  
  Пусть X литров в минуту пропускает вторая труба.
  
  
  
  
  
  
  Баки были заполнены за одно и то же время, отсюда имеем уравнение:
  570/ (X+4) = 530/X
  57X=53X = 212
  4X=212
  X=53 л в минуту пропускает вторая труба.
  
  Ответ: 53
  
  

• 16 слайд

  Плиточник должен уложить 300 М2 плитки. Если он будет укладывать на 5 М2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 5 дней раньше, чем наметил. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
  
  
  
  
  
  
  
  
  Плиточник закончит работу на 5 дней раньше,
  получаем уравнение:
  
  300/X – 300/ (X+5) = 5
  
  Решив это уравнение, получим X = 15 (X = - 20 – посторонний корень).
  
  Ответ: 15
  
  

• 17 слайд

  Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий – за 24 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1/X+1/Y=1/10
  1/Y+1/Z=1/15
  1/X+1/Z=1/24
  Складываем левые и правые части системы.
  2/X+2/Y+2/Z = 1/10+1/15+1/24
  (2YZ+2XZ+2XY)/XYZ = 25/120
  t= XYZ/(YZ+ZX+XY) = 120*2:25 =48/5 = 9,6
  Ответ: 9,6
  
  

• 18 слайд

  Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
  
  Решение.
  
  Брюки обозначим: Б; рубашку: Р; пиджак: П.
  По условию задачи:
  Б = Р+ 0,3Р,
  Б = П-0,22П.
  
  Значит, Р+ 0,3Р=П-0,22П
  1,3Р=0,78П
  Р=0,78П : 1,3=0,6П
  П- 0,6П=0,4П, т. е. на 40%.
  
  Ответ: 40
  

• 19 слайд

  Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
  
  Решение.
  
  Обозначим черешню: Ч, вишню: В, клубнику: К.
  По условию задачи имеем: 3Ч = 5В
  3В = 2К.
  1 кг черешни стоит 5В/3
  1 кг клубники стоит 3В/2.
  Найдем разность: 5В/3 – 3В/2 = 1В/10, значит, на 10%.
  
  Ответ:10
  
  

• 20 слайд

  В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
  
  Решение.
  Пусть x рублей стоили акции при открытии торгов в четверг, а на Y % подорожали акции компании в четверг.
  Значит, в четверг акции стали стоить X + 0,01YX.
  В пятницу акции подешевели на Y% от (X+ 0,01YX) и стали стоить
  X+0,01YX-(0,01XY+0,0001Y2 X).
  В результате акции стали стоить на 9% от X дешевле, отсюда получаем уравнение:
  
  X – (X-0,0001Y2 X) = 0,09X.
  После решения уравнения получаем, что Y2 = 900, значит, Y = 30.
  
  Ответ: 30
  
  
  
  
  
  

• 21 слайд

  Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?
  
  Решение.
  
  Пусть X – численность волков в первом заповеднике, тогда (220 – X) – численность волков во втором заповеднике.
  Через год в первом заповеднике будет (X+0,1X) волков, а во втором –
  ((220-X)+0,2*(220 – X)).
  В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей, получаем уравнение:
  (220 – X)+0,2*(220 – X) + (X +0,1X)=250
  X = 140
  
  Ответ: 140
  

• 22 слайд

  Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько кг винограда требуется для получения 50 кг изюма?
  
  Решение.
  
  
  
  
  
  
  
  47,5 кг – 10%
  X кг - 100%
  X = 475кг винограда надо взять.
  
  Ответ: 475
  
  

• 23 слайд

  Используемые ресурсы.
  
  Математика. ЕГЭ. Типовые текстовые задания. Под редакцией И.В.Ященко. Издательство «Экзамен», М., 2015
  
  https://yandex.ru/search/?lr=56&text=%D0%B5%D0%B3%D1%8D%20%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8